2020-2021學年山東省濟南市第一中學高二上學期期中考試數(shù)學試題 解析版

PAGE濟南市第一中學2020-2021學年度上學期期中試題高二數(shù)學注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.1．直線的傾斜角()A． B． C． D．【答案】A【解析】可得直線的斜率為，由斜率和傾斜角的關(guān)系可得，又∵∴2.過原點且傾斜角為60°的直線被圓x2＋y2－4y＝0所截得的弦長為()A.eq\r(3)B．2C.eq\r(6) D．2eq\r(3)D解析：由題意可知，直線l的方程為y＝eq\r(3)x，圓x2＋y2－4y＝0可化為x2＋(y－2)2＝4，所以圓心坐標為(0，2)，半徑R＝2.圓心(0，2)到直線eq\r(3)x－y＝0的距離d＝eq\f(2,\r(（\r(3)）2＋（－1）2))＝1，所以弦長l＝2eq\r(R2－d2)＝2eq\r(3).3．在四面體中，為中點，，若，，，則（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】運用空間向量基本定理及向量的線性運算可解答此問題．【詳解】解：根據(jù)題意得，，，，故選：．【點睛】本題考查空間向量基本定理的簡單應用以及向量的線性運算，屬于基礎題．4．設橢圓的離心率為,焦點在軸上且長軸長為26,若曲線上的點到橢圓的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8,則曲線的標準方程為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為橢圓焦點在軸上且長軸長為26，所以，又因為橢圓的離心率為，所以，因為曲線上的點到橢圓的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8，所以，所以曲線的標準方程為.故選：A5.萬眾矚目的北京冬奧會將于2022年2月4日正式開幕，繼2008年北京奧運會之后，國家體育場（又名鳥巢）將再次承辦奧運會開幕式.在手工課上，王老師帶領(lǐng)同學們一起制作了一個近似鳥巢的金屬模型，其俯視圖可近似看成是兩個大小不同，扁平程度相同的橢圓，已知大橢圓的長軸長為40cm，短軸長為20cm，小橢圓的短軸長為10cm，則小橢圓的長軸長為（）cmA. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意先求大橢圓離心率為，根據(jù)兩個橢圓的離心率相同，小橢圓的離心率為，再根據(jù)小橢圓的短軸長為10cm，代入公式即可得解.【詳解】由大橢圓和小橢圓扁平程度相同，可得兩橢圓的離心率相同，由大橢圓長軸長為40cm，短軸長為20cm，可得焦距長為cm，故離心率為，所以小橢圓離心率為，小橢圓的短軸長為10cm，即cm，由，可得：cm，所以長軸為cm.故選：B.6．設，向量且，則（）A． B． C．3 D．4【答案】C【解析】，，，7.已知雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為漸近線方程為，所以.故選：A8、.在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為A． B． C． D．【答案】C【解析】以D為坐標原點，DA,DC,DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標系，則,所以,因為，所以異面直線與所成角的余弦值為，選C.9.已知點，若直線與線段有交點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，若直線l：kx﹣y﹣1＝0與線段AB相交，則A、B在直線的異側(cè)或在直線上，則有（2k﹣2﹣1）×（﹣k﹣3﹣1）≤0，即（2k﹣3）（k+4）≥0，解得k≤﹣4或k≥，即k的取值范圍是（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）．故選C．10．正三棱錐的側(cè)面都是直角三角形，，分別是，的中點，則與平面所成角的正弦為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】以點P為原點，PA為x軸，PB為y軸，PC為z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，設，則，，設平面PEF的法向量，則，取得，設平面與平面所成角為，則多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.11．圓和圓的交點為A，B，則有（）A．公共弦AB所在直線方程為B．線段AB中垂線方程為C．公共弦AB的長為D．P為圓上一動點，則P到直線AB距離的最大值為【答案】ABD【解析】對于A，由圓與圓的交點為A，B，兩式作差可得，即公共弦AB所在直線方程為，故A正確；對于B，圓的圓心為，，則線段AB中垂線斜率為，即線段AB中垂線方程為：，整理可得，故B正確；對于C，圓，圓心到的距離為，半徑，所以，故C不正確；對于D，P為圓上一動點，圓心到的距離為，半徑，即P到直線AB距離的最大值為，故D正確.故選：ABD12．已知雙曲線過點且漸近線為，則下列結(jié)論正確的是（）A．的方程為 B．的離心率為C．曲線經(jīng)過的一個焦點 D．直線與有兩個公共點【答案】AC【解析】對于選項A：由已知，可得，從而設所求雙曲線方程為，又由雙曲線過點，從而，即，從而選項A正確；對于選項B：由雙曲線方程可知，，，從而離心率為，所以B選項錯誤；對于選項C：雙曲線的右焦點坐標為，滿足，從而選項C正確；對于選項D：聯(lián)立，整理，得，由，知直線與雙曲線只有一個交點，選項D錯誤.13．如圖，設，分別是正方體的棱上兩點，且，，其中正確的命題為（）A．三棱錐的體積為定值B．異面直線與所成的角為C．平面D．直線與平面所成的角為【答案】AD【解析】解：對于A，故三棱錐的體積為定值，故A正確對于B，，和所成的角為，異面直線與所成的角為，故B錯誤對于C，若平面，則直線，即異面直線與所成的角為，故C錯誤對于D，以為坐標原點，分布以為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，設，則，，設平面的法向量為則，即令，則所以直線與平面所成的角為，正確14.已知實數(shù)，滿足方程，則下列說法錯誤的是（）A．的最大值為 B．的最大值為C．的最大值為 D．的最大值為【答案】CD【解析】對于A，設，則，表示直線的縱截距，當直線與圓有公共點時，，解得，所以的最大值為，故A說法正確；對于B，的幾何意義是表示圓上的點到原點距離的平方，易知原點到圓心的距離為2，則原點到圓上的最大距離為，所以的最大值為，故B說法正確；對于C，設，把代入圓方程得，則，解得，最大值為，故C說法錯誤；對于D，設，則，表示直線的縱截距，當直線與圓有公共點時，，解得，所以的最大值為，故D說法錯誤.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分15.雙曲線的其中一條漸近線方程為，且焦點到漸近線的距離為，則雙曲線的方程為_______【答案】【解析】【分析】由雙曲線的漸近線方程可得，再由焦點到漸近線的距離為可得，即可得答案；詳解】由題意得：，雙曲線的方程為，故答案為：.16．在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱的中點，G為棱上的一點，且，則點G到平面的距離為_________．【答案】【解析】以D為原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則，，所以，，，設平面的法向量為，則令，則，所以平面的一個法向量．點到平面的距離為，17．若雙曲線＝1(a>0，b>0)與直線y＝x無交點，則離心率e的取值范圍是________．【答案】(1,2]【解析】因為雙曲線的漸近線為y＝±x，要使直線y＝x與雙曲線無交點，則直線y＝x應在兩漸近線之間，所以有≤，即b≤a，所以b2≤3a2，c2－a2≤3a2，即c2≤4a2，e2≤4，所以1<e≤2.18．已知圓C的圓心在直線x＋y＝0上，圓C與直線x－y＝0相切，且在直線x－y－3＝0上截得的弦長為eq\r(6)，則圓C的方程為________________________．18.(x－1)2＋(y＋1)2＝2解析：所求圓的圓心在直線x＋y＝0上，所以設所求圓的圓心為(a，－a)．又因為所求圓與直線x－y＝0相切，所以半徑r＝EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(2|a|),2)＝|a|.又所求圓在直線x－y－3＝0上截得的弦長為，圓心(a，－a)到直線x－y－3＝0的距離d＝EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(|2a－3|),2)，所以d2＋EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(6),2)＝r2，即EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(（2a－3）2),2)＋EQ\*jc0\*hps21\o(\s\up9(3),2)＝2a2，解得a＝1，所以圓C的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2.解答題：本小題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.19.（本小題10分）若直線的方程為.（1）若直線與直線垂直，求的值；（2）若直線在兩軸上的截距相等，求該直線的方程.【解析】解：（1）直線與直線垂直，，解得．（2）當時，直線化為：．不滿足題意．當時，可得直線與坐標軸的交點，．直線在兩軸上的截距相等，，解得：．該直線的方程為：，．20.（本小題10分）已知雙曲線與雙曲線的漸近線相同，且經(jīng)過點.（Ⅰ）求雙曲線的方程；（Ⅱ）已知雙曲線的左右焦點分別為，直線經(jīng)過，傾斜角為，與雙曲線交于兩點，求的面積.【解析】（1）設所求雙曲線方程為代入點得，即所以雙曲線方程為，即.（2）.直線的方程為.設聯(lián)立得滿足由弦長公式得點到直線的距離.所以21.（本小題12分）在直角坐標系中，已知圓與直線相切，（1）求實數(shù)的值；（2）過點的直線與圓交于?兩點，如果，求.【解析】解:（1）圓的方程可化為，圓心，半徑，其中，因為圓與直線相切，故圓心到直線的距離等于半徑，即，解得；（2）當直線斜率不存在時，其方程為，此時圓心到直線的距離，由垂徑定理，，不合題意；故直線斜率存在，設其方程為，即，圓心到直線的距離，由垂徑定理，，即，解得，故直線的方程為，代入圓的方程，整理得，解得，，于是，，這里，)，所以.22.（本小題14分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，是上一點，且.；（2）求點到平面的距離；（3）二面角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因為所以平面（2）解1：過做于，平面，所以，所以平面，為點到平面的距離，在中，，又是中點，所以點到平面的距離為．解2：因為，平面，所以，在中，，所以，設點到平面的距離為，則，由，得，所以．又是中點，所以點到平面的距離為．（2）解法二：分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，設，則，所以，由，知，所以，為中點，所以，．，，設平面的法向量為，由，得，所以，取，得，所以是平面的一個法向量．所以點到平面的距離為(3)23.（本小題14分）已知橢圓左、右焦點為、，，若圓方程，且圓心滿足.（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線交橢圓于兩點，過與垂直的直線交圓于兩點，為線段中點，求的面積的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析