2023年高考數(shù)學壓軸題-圓錐曲線專題第11講：斜率問題三（原卷版）

第十一講：斜率問題（三）【學習目標】基礎目標：掌握橢圓，雙曲線，拋物線的簡單性質(zhì)，斜率的計算；應用目標：掌握圓錐曲線中斜率的加減乘除運算，并利用計算進行證明；拓展目標：能夠熟練應用圓錐曲線中的斜率關系，解決相關的位置關系和等量關系問題.素養(yǎng)目標：通過數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法，培養(yǎng)獨立思考和邏輯分析能力，提升學生的數(shù)學運算和數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).【基礎知識】1、斜率之和：通過點的坐標，表示出斜率，并表示出，利用通分，轉(zhuǎn)化為兩根之和，兩根之積的問題，利用韋達定理求解。2、斜率相乘或相除：通過點的坐標，表示出斜率，并表示出或；利用通分，轉(zhuǎn)化為兩根之和，兩根之積的問題，利用韋達定理求解。3、斜率倍數(shù)關系：通過點的坐標，表示出斜率，并表示出，轉(zhuǎn)化為；利用通分，轉(zhuǎn)化為兩根之和，兩根之積的問題，利用韋達定理求解。4、斜率呈等差數(shù)列或等比數(shù)列：當斜率呈等差數(shù)列時，則，當斜率呈等比數(shù)列時，則，最后利用通分，轉(zhuǎn)化為兩根之和，兩根之積的問題，利用韋達定理求解。5、斜率求解范圍：通過點的坐標，表示出斜率，并表示斜率的關系；利用通分，轉(zhuǎn)化為兩根之和，兩根之積的問題，韋達定理帶入，最后利用基本不等式、二次函數(shù)或?qū)?shù)求解最值。【考點剖析】考點一：斜率關系一（斜率加減運算）例1．在平面直角坐標系中，已知點，，點M滿足．記點M的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)設直線l不經(jīng)過點且與曲線C相交于A，B兩點．若直線l過定點，證明：直線PA與直線PB的斜率之和為定值.變式訓練1：如圖，橢圓經(jīng)過點，且長軸長是短軸長的倍．(1)求橢圓的方程；(2)經(jīng)過點，且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點、（均異于點），求證：直線與的斜率之和為定值．

變式訓練2：已知雙曲線的一條漸近線斜率為，且雙曲線C經(jīng)過點．(1)求雙曲線C的方程；(2)斜率為的直線l與雙曲線C交于異于M的不同兩點A、B，直線MA、MB的斜率分別為、，若，求直線l的方程．變式訓練3：已知圓：，定點，是圓上的一動點，線段的垂直平分線交半徑于點．(1)求點的軌跡的方程；(2)設直線過點且與曲線相交于兩點，不經(jīng)過點．證明：直線的斜率與直線的斜率之和為定值．

考點二：斜率關系二（斜率乘除運算）例1．已知橢圓的離心率為，左頂點到左焦點的距離為1，橢圓上一點位于第一象限，點與點關于原點對稱，直線與橢圓的另一交點為．(1)求橢圓的標準方程；(2)設直線的斜率為，直線的斜率為．求證：為定值．變式訓練1：已知拋物線的焦點為，直線與拋物線交于，兩點，且．(1)求拋物線的方程；(2)若，是拋物線上一點，過點的直線與拋物線交于，兩點（均與點不重合），設直線，的斜率分別為，，求證：為定值．

變式訓練2：已知點，，設動點滿足直線與的斜率之積為，記動點的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）若動直線經(jīng)過點，且與曲線交于（不同于）兩點，問：直線與的斜率之比是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請說明理由．變式訓練3：已知橢圓：的兩個焦點與短軸的一個端點構(gòu)成的三角形的面積為，且橢圓的離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過點且斜率不為零的直線與橢圓交于兩點，點，試探究：直線與的斜率之積是否為常數(shù).

考點三：斜率關系三（倍數(shù)關系）例1．已知橢圓C：的離心率為，橢圓C的左、右頂點分別為A、B，直線l：經(jīng)過橢圓C的右焦點F，且與橢圓交于M，N兩點．(1)求橢圓C的標準方程；(2)設直線BM，AN的斜率分別為，，若，求證：為定值．變式訓練1：已知橢圓的離心率為，短軸長為．(1)求橢圓的標準方程；(2)已知，A，B分別為橢圓的左、右頂點，過點A作斜率為的直線交橢圓于另一點E，連接EP并延長交橢圓于另一點F，記直線BF的斜率為．若，求直線EF的方程．

變式訓練2：已知圓，點，C為圓上任意一點，線段的垂直平分線交半徑于點，點P的軌跡為曲線E．(1)求曲線E的方程；(2)若直線不與坐標軸重合與曲線E交于兩點，O為坐標原點，設直線的斜率分別為，對任意的斜率k，是否存在實數(shù)λ，使得，若存在求實數(shù)λ的值，若不存在說明理由.

變式訓練3：已知橢圓：的離心率為，橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合．(1)求橢圓的方程．(2)如圖，A，B是橢圓的左、右頂點，過點F且斜率不為0的直線交橢圓C于點M，N，直線AM與直線交于點P．記PA，PF，BN的斜率分別為，，，是否存在實數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．考點四：斜率關系四（斜率成等差數(shù)列）例1．已知拋物線：，點在拋物線上.(1)求拋物線的焦點坐標和準線方程；(2)若直線：交拋物線于兩點，交直線：于點，記直線的斜率分別為，，，求證：，，成等差數(shù)列.

變式訓練1：已知橢圓C：的焦距為，點在上.(1)求的方程；(2)過點的直線與交于兩點，點R是直線：上任意一點，設直線的斜率分別為，，，若，，成等差數(shù)列，求的方程.變式訓練2：．已知為拋物線的焦點，過的動直線交拋物線于兩點．當直線與軸垂直時，．(1)求拋物線的方程；(2)設直線的斜率為1且與拋物線的準線相交于點，拋物線上存在點使得直線的斜率成等差數(shù)列，求點的坐標．

變式訓練3：已知中心在坐標原點，焦點在軸上，離心率為的橢圓過點.（1）求的標準方程；（2）是否存在不過原點的直線與交于兩點，使得直線的斜率成等比數(shù)列?若存在，求的值；若不存在，請說明理由.考點五：斜率關系五（范圍）例1．已知橢圓的離心率為，C的左，右焦點分別為，A，B是C上關于原點對稱的兩點，四邊形的周長為.(1)求C的方程；(2)設分別為直線和的斜率，求的取值范圍.

變式訓練1：已知橢圓：的一個焦點與拋物線的焦點相同，且橢圓過點(1)求橢圓的標準方程；(2)若橢圓的右頂點為，與軸不垂直的直線交橢圓于，兩點與點不重合，，且滿足，若點為中點，求直線與的斜率之積的取值范圍.變式訓練2：已知橢圓：過點，左焦點為.(1)求橢圓的方程；(2)已知直線與橢圓有兩個不同的交點，，點，記直線，的斜率分別為，，求的取值范圍.

變式訓練3：已知點是橢圓的左頂點，橢圓的離心率為，(1)求橢圓的方程；(2)斜率為的直線交橢圓于兩點，點在橢圓上，，且，證明：.【當堂小結(jié)】1、知識清單：（1）橢圓，雙曲線，拋物線簡單性質(zhì)；（2）斜率的相關表示，斜率的運算（加、減、乘、除）；（3）利用基本不等式，導數(shù)等方法求解范圍；2、易錯點：斜率的計算和范圍求解；3、考查方法：基本不等式，數(shù)形結(jié)合思想，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；4、核心素養(yǎng)：數(shù)學運算，數(shù)學抽象.【過關檢測】1．在平面直角坐標系中，點在橢圓上，過點的直線l與C交于M，N兩點（異于點A），記直線AM，AN的斜率分別為，，當時，．(1)求C的方程；(2)證明：為定值．2．已知動點M到直線的距離是M與點距離的倍，記M的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)動直線與C交于兩點A，B，曲線C上是否存在定點P，使得直線的斜率和為零？若存在求出點P坐標；若不存在，請說明理由.

3．已知橢圓C的兩個焦點為，，并且橢圓C經(jīng)過點.(1)求橢圓C的標準方程；(2)斜率不為0的直線l過定點，且與橢圓C交于點A?B兩點，在橢圓C上是否存在定點P，使得為定值？如果存在，求出定點P的坐標和定值；如不存在，請說明理由.4．已知雙曲線C：（，）的一條漸近線的方程為，雙曲線C的右焦點為，雙曲線C的左、右頂點分別為A，B．(1)求雙曲線C的方程；(2)過右焦點F的直線l與雙曲線C的右支交于P，Q兩點（點P在x軸的上方），直線AP的斜率為，直線BQ的斜率為，證明：為定值．

5．已知拋物線的焦點為F，點是拋物線C上一點，點Q是PF的中點，且Q到拋物線C的準線的距離為．(1)求拋物線C的方程；(2)已知圓，圓M的一條切線l與拋物線C交于A，B兩點，O為坐標原點，求證：OA，OB的斜率之差的絕對值為定值．6．在平面直角坐標系中，已知點，，直線與直線的斜率之積為，記動點的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)若點為曲線上的任意一點（不含短軸端點），點，直線與直線交于點，直線與軸交于點，記直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值．

7．如圖，已知點是拋物線的準線上的動點，拋物線上存在不同的兩點滿足的中點均在上.(1)求拋物線的方程；(2)記直線的斜率分別為，請問是否存在常數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.8．已知橢圓的焦距為，點在橢圓上.過點的直線l交橢圓于A，B兩點.(1)求該橢圓的方程；(2)若點P為直線上的動點，記直線PA，PM，PB的斜率分別為，，.求證：，，成等差數(shù)列