2022屆湖北省武漢市高考數(shù)學(xué)模擬試卷【含答案】

2022屆湖北省武漢市高考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）

1.若集合4={0,1,2},8={MN-3X<0},則4。8為（）

A.{1,2}B.{0,1,2}C.{0,1,2,3}D.{x|0WxW3}

2.已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足（2—i）z=l+2i（i為虛數(shù)單位），則z的虛部為（）

A.1B.-1C.0D.i

3.已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)/（x）,當(dāng)x>0時(shí)，滿(mǎn)足/（x）=則f（l）+/（2）+/（3）+…+/

（2020）等于（）

A.Iog25B.—log25C.-2D.0

5x2yl

4.兩正數(shù)a,6的等差中項(xiàng)為5,等比中項(xiàng)為強(qiáng)，且a>6,則雙曲線(xiàn)。2—62=1的離心率e

為（）

叵

A.eqError!B.eqError!C.eqError!D.3

5.設(shè)函數(shù)/（x）=sin-Aos的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則。的值為（）

兀71

A.-6B.eqError!C.-3D.eqError!

6.過(guò)拋物線(xiàn)V=4x的焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦Z8,CD,則四邊形ZC8O面積的最小值為

（）

A.8B.16C.32D.64

7.已知數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和為S,,,勾=1,當(dāng)"22時(shí)，%+2S“T=〃，則S239的值為（）

A.1008B.1009C.1010D.1011

1

8.設(shè)點(diǎn)P為函數(shù)〃刈=12+2*與四）=3"2向+貼>0）的圖象的公共點(diǎn)，以P為切點(diǎn)可作

直線(xiàn)與兩曲線(xiàn)都相切，則實(shí)數(shù)6的最大值為（）

2：312|31

A.—e3B.—e3C.—e2D.—e2

3232

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的

得3分，有選錯(cuò)的得0分）

9.已知0<6々<1,O1,則下列各式中不成立的是（）

ba0

A.a<bB.c^cC.log（,c>log/,cD.blog/〉。1。&6

10.下列四個(gè)命題中正確的是（）

A.函數(shù)卜=。T心0且與函數(shù)y=l0gli且的定義域相同

B.函數(shù)丁=而與函數(shù)的值域相同

C.函數(shù)y=|x+l|與函數(shù)y=2*+i在區(qū)間[0,+8)上都是增函數(shù)

1+x

D.y=lgIf是奇函數(shù)

11.設(shè)/,m,〃表示不同的直線(xiàn)，a,夕，y表示不同的平面，給出下列四個(gè)命題中正確的是()

A.若加〃/,且機(jī)J_a,則/_La

B.若加〃/,且加〃a,則/〃a

C.若aA/?=/,[i^y=m,y^a=n,則/〃

D.若aCB=m,夕Cy=/,yQa^n,且〃〃夕，貝i"〃〃？

1

12.把函數(shù)y=sin的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的可縱坐標(biāo)不變)，再將圖象向右

兀

平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g(x)的圖象，則下列說(shuō)法不正確的是()

A.g(x)在上單調(diào)遞增B.g(x)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)

C.g(x)的最小正周期為4兀D.g(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)

第11卷(非選擇題共90分)

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

14

13.若/,8互為對(duì)立事件，其概率分別為P(Z)=y,P(B)=x,且x>0,y>0,則x+y的最

小值為.

14.已知正方形N8CZ)的邊長(zhǎng)為2,尸為平面/8CZ)內(nèi)一點(diǎn)，則(+>(+)

的最小值為.

15.將數(shù)列｛斯｝中的所有項(xiàng)排成如下數(shù)陣：其中每一行項(xiàng)數(shù)是上一行項(xiàng)數(shù)的2倍，且從第二

行起每一行均構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列.

“4，a§,。6，

恁，〃9，白10，〃11，。12，。13，。14，a\5

記數(shù)陣中的第1列。2,。4,…構(gòu)成的數(shù)列為物“｝，G為數(shù)列｛①｝的前"項(xiàng)和，

7；=5〃2+3〃，則與=,?025=.(本題第一空2分，第二空3分)

16.已知函數(shù)/(x)=若a,b,c互不相等，Jif(a)=f(b)=f(c),則a+b+c的取值范圍

是.

四、解答題(本大題共6小題，共70分)

17.(10分)已知等差數(shù)列｛為｝的首項(xiàng)為幻，公差為d(aiGZ,JGZ),前〃項(xiàng)的和為S”且

$7=49,24碼＜26.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列的前”項(xiàng)的和為7,”求

色

18.(12分)ZUBC的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知加os力+3a=c.

⑴求cos5；

(2)如圖，。為△48C外一點(diǎn)，若在平面四邊形NBCO中，￡)=25,且

AD=-\,CD=3,8C=府，求Z8的長(zhǎng).

19.(12分)如圖，四棱錐S—NB8的底面是正方形，每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的啦倍，P

為側(cè)棱SO上的點(diǎn).

⑴求證：ACA.SD-,

(2)若SOJ_平面尸ZC,求二面角夕一/C-S的大?。?/p>

(3)在(2)的條件下，側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E,使得BE〃平面尸4C若存在，求SC：SE的

值；若不存在，試說(shuō)明理由.

20.(12分)在全國(guó)第五個(gè)“扶貧日”到來(lái)之前，某省開(kāi)展“精準(zhǔn)扶貧，攜手同行”的主題活

動(dòng)，某貧困縣調(diào)查基層干部走訪(fǎng)貧困戶(hù)數(shù)量./鎮(zhèn)有基層干部60人，8鎮(zhèn)有基層干部60人,

C鎮(zhèn)有基層干部80人，每人都走訪(fǎng)了若干貧困戶(hù)，按照分層抽樣，從A,B,C三鎮(zhèn)共選

40名基層干部，統(tǒng)計(jì)他們走訪(fǎng)貧困戶(hù)的數(shù)量，并將走訪(fǎng)數(shù)量分成5組，[5,15),[15,25),

[25,35),[35,45),[45,55],繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求這40人中有多少人來(lái)自C鎮(zhèn)，并估計(jì)4B,C三鎮(zhèn)的基層干部平均每人走訪(fǎng)多少貧

困戶(hù)；(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)

(2)如果把走訪(fǎng)貧困戶(hù)達(dá)到或超過(guò)25戶(hù)視為工作出色，以頻率估計(jì)概率，從4B,C三鎮(zhèn)

的所有基層干部中隨機(jī)選取3人，記這3人中工作出色的人數(shù)為X,求X的分布列及均值.

x2y21

21.(12分)設(shè)橢圓“2+62=15>%>0)的離心率e=5,橢圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)Q的距離的最大值

為3.

(1)求橢圓C的方程：

(2)求桶圓C的外切矩形的面積S的取值范圍.

22.(12分)已知函數(shù)/(x)=ex-?r-a(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)若對(duì)任意xG(0,2],不等式f(x)>x-a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

e

(3)設(shè)〃￡N*,證明：〃+"+〃+…+?<e-1

答案精析

1.2.A2.A3.B3.B4.D5.D6.C

7.C[當(dāng)“22時(shí)，a“+2S〃i=小①

故斯+1+2s〃=〃+1,②

由②-①得，%+1-%+2(S〃-S〃-1)=1，

即+即=1(〃22),

所以S2019=+(〃2+的)+(〃4+〃5)+…+(。2018+^2019)=1010.]

8.B[設(shè)尸(孫加)，

1

由于點(diǎn)尸為切點(diǎn)，則2XQ+2辦o=3421nx0+b,

又點(diǎn)P的切線(xiàn)相同，則/(工0)=g'(X。),

3a2

即xo+2a=x°,

即(xo+3")(xo-〃)=0,又。>0,x()>0,Axo=a,

5

于是，b=2a2-3〃2[nQ(Q>0),

5

設(shè)h(x)=2/-3x2lnx(x>0),則hf(x)=2x(1-31nx)(x>0),

\_\_

所以/2(X)在(0,”)上單調(diào)遞增，在(”，+8)上單調(diào)遞減，

3

\__2

b的最大值為A(e3)=2e3.]

9.ABC[由于0〈bv〃vl,c>l,根據(jù)指數(shù)函數(shù)與早函數(shù)的圖象與性質(zhì)有心>心>〃，故選項(xiàng)

A錯(cuò)誤；

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)有Mvc。，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)有陶。，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

因?yàn)榻?gt;b",c>L則log4>logcb。，即blogq>Ho&6,故選項(xiàng)D正確.]

10.ACD[A項(xiàng)，函數(shù)、=砂(〃>0且〃W1),

y=logaax(a>0且aWl)的定義域都是R,故A正確；

B項(xiàng),函數(shù)>=而值域?yàn)閇0,+8),

函數(shù)y=3?，的值域?yàn)?0,+8),故B錯(cuò)誤；

C,當(dāng)x￡[0,+8)時(shí)，函數(shù)y=|x+l|=x+1是增函數(shù)，

函數(shù)歹=21+1是增函數(shù)，故C正確；

1+x1+x

D項(xiàng)，y=lgl—兀的定義域是(-1,1),令/(x)=lgf

\-x\+x

/(-x)=1g1+x=1g-'=-1gl-x=-/(x),

1+x

故函數(shù)y=lgl-x是奇函數(shù)，故D正確.]

11.AD[A正確，B中直線(xiàn)/可能平行于a也可能在a內(nèi)，故B錯(cuò)；C中直線(xiàn)/,m,〃可

能平行也可能相交于一點(diǎn)，故C錯(cuò)；D正確.]

1

12.BCD[把函數(shù)產(chǎn)而的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的5得到廣sin的圖象,

兀

再將圖象向右平移Z個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)

g(x)=sin=sin的圖象.

兀

若xG,則2X-6G,

，g(x)上單調(diào)遞增，故A正確；

1

由g=2/0知，

g(x)的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故B錯(cuò)誤；

g(x)的最小正周期為兀，故C錯(cuò)誤；

1

??g(0)=-2w±1,

，g(x)的圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故D錯(cuò)誤.]

13.9

1

解析由事件48互為對(duì)立事件，其概率分別0(4)=兒

414

P(8)=x,且QO,y>0,所以P(4)+P(8)=y+x=l,

4yx

所以x+y=(x+y)=5+%+V

25+2=9,

當(dāng)且僅當(dāng)x=6,y=3時(shí)取等號(hào)，所以x+y的最小值為9.

14.-4

解析由題意，以1為坐標(biāo)原點(diǎn)，Z8方向?yàn)閤軸，/￡＞方向?yàn)閥軸，建立平面直角坐標(biāo)系,

y

D------------|C

ABx

因?yàn)檎叫?BCD的邊長(zhǎng)為2,

所以可得4(0,0),5(2,0),C(2,2),0(0,2),

設(shè)尸(羽刃，貝(I=(一長(zhǎng)一切，

=(2-x,一>),

=(2-x,2-y),=(-x,2-y),

所以+=(2-2x,-2y),+=(2-2x,4-2y),

因此(+)?(+)=4(1-x)2-4^(2-^)=4(x-l)2+4(y-l)2-4^-4,

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=l時(shí)，取得最小值-4.

15.10/7-2216

解析為數(shù)列初〃｝的前幾項(xiàng)的和，7；=5層+3〃，

2

bn=Tn-*=(5/+3n)-[5(n-I)+3(n-l)]=10〃-2(〃22),

驗(yàn)證〃=1時(shí)，"=7]=8也符合，故b“=10〃-2,

41024=611=108，41025=2。1024=216.

16.

不妨令a<h<c,則由已知和圖象，得0<a<1<h<e<c<e2,

_EL-Ina=ln&=2-Inc,則ab=\,be=e2,

1e2l+e2

則4+b+c='+b+b=b+b,

l+e2

令g(x)=x+x,

l+e2

因?yàn)間'(x)=l-x2VO在x￡(l，e)時(shí)恒成立,

所以g(x)在(1，e)上單調(diào)遞減,

1l+e2

所以2e+e<b+<2+e2.

17.解(1)由題意得

???〃i￡Z,Jez,解得

/.an=a1+(〃-1)J=2/7-1(/7GN*).

1]1

⑵?.,〃〃?〃〃+1=(2/7—1)(2?+1)=2,

1

??.”

n

=2〃+l.

18.解(1)在△NBC中，由正弦定理得

更

sinBcosA+sinJ=sinC,

又。=兀_(4+8),

?

所以sinBcosA+3sin4=sin(A+B)>

故sin5cosA+3sin4=sinJcosB+cosJsinB,

色

所以sinJcosB=3sin4

正

又力￡(0,兀)，所以sin4K0,故cos8=3.

1

(2)因?yàn)镈=2B、所以cosD=2cos25-1=-3,

又在△4C。中，AD=1,CD=3,

所以由余弦定理可得AC2=AD2+CD2-2ADCDcosD

=1+9-2X3X=12,

所以AC=2小,

正

在△Z8C中，BC=NC=2由，cos5=3,

所以由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-lABBCcosB,

即12=/￥+6-2X8X#X3,化簡(jiǎn)得/#-2也/8-6=0,

解得AB=3"

故的長(zhǎng)為3dz

19.⑴證明連接8。交/C于。，連接SO,

由題意得，SOLAC.

在正方形/8CA中，AC1.BD,

又SOC\BD=O,SO,BDU平面SBD,

所以NC,平面S8Q,所以NCLSD

(2)解由題意知SO,平面N8CD以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，，分別為x軸、y軸、z軸

正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O-.如圖所示.

設(shè)底面邊長(zhǎng)為小則高S0=2a.

則S,D,

C,B,

又SZ)_L平面PAC,

則平面PNC的一個(gè)法向量=,

平面S4C的一個(gè)法向量=,

1

則cos<,>==-2,

又二面角P-/C-S為銳二面角，則二面角P-/C-S為60。.

(3)解在棱SC上存在一點(diǎn)E使〃平面PAC.

由(2)知是平面PNC的一個(gè)法向量，

且=，=，

=.設(shè)=t，厚[0,1],

則=+=+1

1

又BE〃平面PAC,所以?=0,解得f=3.

即當(dāng)SC：SE=3：2時(shí)，±,

而不在平面PNC內(nèi)，故〃平面P4C.

所以側(cè)棱SC上存在點(diǎn)E,

當(dāng)SC：CE=3：2時(shí)，有8E〃平面P4C.

20.解（1）因?yàn)镹,B,C三鎮(zhèn)分別有基層干部60人，60人，80人，共200人，利用分層

40

抽樣的方法選40人，則C鎮(zhèn)應(yīng)選取80X200=16（人），所以這40人中有16人來(lái)自C鎮(zhèn)，

因?yàn)槿?10X0.15+20X0.25+30X0.3+40X0.2+50X0.1=28.5,

所以三鎮(zhèn)基層干部平均每人走訪(fǎng)貧困戶(hù)28.5戶(hù).

3

⑵由直方圖得，從三鎮(zhèn)的所有基層干部中隨機(jī)選出1人，其工作出色的概率為二

顯然X可取0,1,2,3,且,則

8

P(X=0)=3=125,

36

P(X=l)=Cii2=125,

54

P(X=2)=C32i=125,

27

P(X=3)=3=125,

所以X的分布列為

X0123

8365427

pT25T25T25T25

83654279

所以均值E(X)=0X125+1X125+2X125+3X125=5.

C1

21.解(1)由題設(shè)條件可得。=5,〃+°=3,

解得a=2,c=1.**.Z>2=a2-c2=3,

x2y2

所以橢圓C的方程為4+3=1.

(2)當(dāng)矩形488的一組對(duì)邊所在直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，得矩形的面積S=8小，

當(dāng)矩形N8CD四邊所在直線(xiàn)的斜率都存在時(shí)，不防設(shè)8所在直線(xiàn)的斜率為九則

1

BC,力。所在直線(xiàn)的斜率為-%,

設(shè)直線(xiàn)的方程為夕=履+“，與橢圓聯(lián)立

可得(4左2+3)x2+3kmx+4m2-12=0,

由/=(8而)2-4(4R+3)(4m2-12)=0,得