理論力學(xué)第十一章動量定理

第十一章動量定理§11–1質(zhì)點(diǎn)系的動量或此式為質(zhì)心的位矢表達(dá)通式質(zhì)點(diǎn)系的動量還可以用質(zhì)心的速度與總質(zhì)量的乘積來度量.§11－2質(zhì)點(diǎn)系的動量定理

設(shè)有一質(zhì)點(diǎn)系{mi}(i=1、2、3、…)對整個質(zhì)點(diǎn)系,動量定理可寫成:微分號與求和號交換后:此五式均是動量定理的不同形式亦稱質(zhì)心運(yùn)動定理對于一封閉的質(zhì)量系統(tǒng)，（1）式可寫成將動量用總質(zhì)量與質(zhì)心的速度的乘積表示，則（1）式可寫成：

幾點(diǎn)說明:1.前面的公式(1)(2)(3)(4)(5)的力學(xué)意義是等價的,適用于 不同的力學(xué)系統(tǒng).其中(3)(4)兩式也稱為質(zhì)心運(yùn)動定理.前面五個公式是動量定理的導(dǎo)數(shù)形式,在本課程中最常用.還有相應(yīng)的微分形式和積分形式.(見書上P246～247)動量定理是矢量定理,

在具體用到相應(yīng)的公式時一般用的是其投影形式.最常用的是直角坐標(biāo)系下的投影.(見書上P247)§11－3質(zhì)點(diǎn)系動量守恒,質(zhì)心運(yùn)動守恒.

如果一質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的外力系的主矢等于零,(不可說外力系為零) 則系統(tǒng)的動量保持為一常矢量.

或系統(tǒng)的質(zhì)心的速度為一常矢.

如果一質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的外力系的主矢在某一方向上的投影為零,

則系統(tǒng)的動量在此方向上的投影保持為一常量.

或系統(tǒng)的質(zhì)心的速度在此方向上的投影不變. ▲:在什么情況下用動量定理?(1)求剛體尤其剛體系統(tǒng)或質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的約束反力及線加速度問題.(2)守恒條件下的速度、位移和運(yùn)動軌跡問題.

O1ωm1gm2gO2φ例一.(書上例11–1)

電動機(jī)的外殼固定在水平基礎(chǔ)上,定子的質(zhì)量為m1,轉(zhuǎn)子的質(zhì)量為m2.設(shè)定子的質(zhì)心位于轉(zhuǎn)軸的中心O1,而轉(zhuǎn)子的質(zhì)心O2由于制造的誤差到O1的距離為e.已知轉(zhuǎn)子以勻角速度ω轉(zhuǎn)動,求基礎(chǔ)的支座反力.

解:取系統(tǒng)分析其受力與運(yùn)動如圖示,建立O1－xy坐標(biāo)系(與靜系固連).▲:(1)本題求出的Fx和Fy只是地腳螺栓和地面對基礎(chǔ)底座作用力的等 效力.(2)即使有未知的約束力偶,本題不可能求得.動量定理的式子里不會 出現(xiàn)力偶或力矩.anxyFxFy用質(zhì)心運(yùn)動定理求解:

建立坐標(biāo)系O1－xy如圖示由質(zhì)心坐標(biāo)公式:xyFxO1FyωO2φm1gm2gan例二.重為P1的物塊A沿傾角為α重量為W的斜面下滑,通過滑輪及繩 索帶 動重為P2的物塊B運(yùn)動.略去各處摩擦,不計(jì)滑輪和繩索的重量 求:物塊運(yùn)動時,臺階和地面對斜面的約束反力.a2a1P1WP2a2a1P1WP2xy例三.(書上習(xí)16－7P256)

均質(zhì)桿AB=L,直立于光滑的水平面上.求它從鉛直位置無初速地倒下時,端點(diǎn)A的運(yùn)動軌跡.OCαABxy例四.靜止于水中的小船上,一個人自船頭走到船尾.設(shè)人的質(zhì)量為m2,船的質(zhì)量為m1,船長為L,水的阻力不計(jì).求船的位移.解:由題意,系統(tǒng)的質(zhì)心在x方向守恒.因初始靜止,故質(zhì)心的水平坐標(biāo)值始終為一常數(shù).▲:(1)坐標(biāo)系的位置與船的位移無 關(guān),故可任選.(2)s的方向可選擇與x軸方向 一致,其結(jié)果無負(fù)號.表明s 的實(shí)際方向向右.xxybaL

設(shè)船向左的位移為s,于是有:補(bǔ)例:一質(zhì)量為210kg的小船靜止地靠在岸邊附近.船頭站立一人,質(zhì)量70kg.此人目測自 己離岸邊的距離為0.8m,于是便采取了如下的方法上岸:先將身體的重心前傾 0.4m,然后邁腿前跨0.4m.結(jié)果他卻踏入水中.假如他目測的距離是正確的.船在 水中的阻力忽略不計(jì).

求他跨入水中時,腳離岸邊的距離.解:人船系統(tǒng)質(zhì)心守恒xy答:此人跨人水中,腳離岸邊有0.1m.例六.(習(xí)11－10)

質(zhì)量為m的滑塊A可以水平光滑槽中運(yùn)動,具有剛性系數(shù)為k的彈簧一端與滑塊A相連,另一端固定.桿AB的長度為L,其質(zhì)量忽略不計(jì).其一端與滑塊鉸接,另一端固接一質(zhì)量為m1的小球.小球在鉛垂平面內(nèi)可繞A點(diǎn)運(yùn)動.設(shè)在力偶M

的作用下角速度ω是常數(shù).求滑塊A的運(yùn)動微分方程.AkφMB=t解:取系統(tǒng)分析.選彈簧原長時與A點(diǎn)重合的點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),

當(dāng)滑塊的A點(diǎn)運(yùn)動到距坐標(biāo)原點(diǎn)為x時,系統(tǒng)的受力及運(yùn)動分析如圖所示. ▲:此題的特點(diǎn)在于系統(tǒng)的水平力可用坐標(biāo)表示而系統(tǒng)中有一個物體的運(yùn)動情況已知,故可能用動量定理描述另一個物體的運(yùn)動.xFωABφm1gFNLxFωABφm1gFNLy★定常流動的,不可壓縮流體上的動反力問題.我們可以想象:一段管中的流體如果進(jìn)口速度與出口速度不相等,(即使進(jìn)出口的速率相等但是管道是彎曲的,則二者的速度仍不等.)表明這一段流體內(nèi)產(chǎn)生了加速度.有加速度必有力作用在流體上.這力就是管壁作用在流體上的動反力.

如果流體是不可壓縮的且定常流動的,我們便可通過動量定理得到相應(yīng)的計(jì)算公式: 取一段液體分析,如圖所示:AA′B′BDD′C′CAA′B′BDD′C′C例題:(書上習(xí)11－14)

已知:水的體積流量為qvm3/s,密度為ρkg/m3;水沖擊葉片的速度為v1m/s,方向沿水平向左;水流出葉片的速度為v2m/s,且與水平線成θ角.

求:水柱對渦輪固定葉片的水平作用力.作業(yè):思考題11–1(b)(c)(d)(f)習(xí)題11–211–4 11－811–1111－13補(bǔ)充習(xí)題.均質(zhì)桿OA=2l,重P,繞過O端的水平軸在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動.設(shè)轉(zhuǎn)動到 與水平成角時其角速度與角