湖南省長沙市2022年中考數(shù)學試卷(解析版)

湖南省長沙市2022年中考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．的倒數(shù)是（）A、2B、－2C、D、－考點：倒數(shù)．分析：根據(jù)乘積為的1兩個數(shù)倒數(shù)，可得一個數(shù)的倒數(shù)．解答：解：的倒數(shù)是2，故選：A．點評：本題考查了倒數(shù)，分子分母交換位置是求一個數(shù)的倒數(shù)的關鍵．2．下列幾何體中，主視圖、左視圖、俯視圖完全相同的是（）A． 圓錐 B．六棱柱 C．球 D． 四棱錐考點：簡單幾何體的三視圖．分析：找到從物體正面、左面和上面看得到的圖形全等的幾何體即可．解答：解：A、圓錐的主視圖、左視圖、俯視圖分別為等腰三角形，等腰三角形，圓及圓心，故A選項不符合題意；B、六棱柱的主視圖、左視圖、俯視圖分別為四邊形，四邊形，六邊形，故B選項不符合題意；C、球的主視圖、左視圖、俯視圖分別為三個全等的圓，故C選項符合題意；D、四棱錐的主視圖、左視圖、俯視圖分別為三角形，三角形，四邊形，故D選項不符合題意；故選C．點評：考查三視圖的有關知識，注意三視圖都相同的常見的幾何體有球和正方體．3．（3分）（2022?長沙）一組數(shù)據(jù)3，3，4，2，8的中位數(shù)和平均數(shù)分別是（）A．3和3B．3和4C．4和3D．4和4考點：中位數(shù)；算術平均數(shù)．分析：根據(jù)中位數(shù)及平均數(shù)的定義求解即可．解答：解：將數(shù)據(jù)從小到大排列為：2，3，3，4，8，則中位數(shù)是3，平均數(shù)==4．故選B．點評：本題考查了平均數(shù)及中位數(shù)的知識，中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到小）重新排列后，最中間的那個數(shù)（最中間兩個數(shù)的平均數(shù)），叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．4．（3分）（2022?長沙）平行四邊形的對角線一定具有的性質(zhì)是（）A．相等B．互相平分C．互相垂直D．互相垂直且相等考點：平行四邊形的性質(zhì)．分析：根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分可得答案．解答：解：平行四邊形的對角線互相平分，故選：B．點評：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，關鍵是掌握平行四邊形的性質(zhì)：①邊：平行四邊形的對邊相等．②角：平行四邊形的對角相等．③對角線：平行四邊形的對角線互相平分．5．（3分）（2022?長沙）下列計算正確的是（）A．+=B．（ab2）2=ab4C．2a+3a=6aD．a(chǎn)?a3=a4考點：冪的乘方與積的乘方；實數(shù)的運算；合并同類項；同底數(shù)冪的乘法．分析：根據(jù)二次根式的加減，可判斷A，根據(jù)積的乘方，可判斷B，根據(jù)合并同類項，可判斷C，根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，可判斷D．解答：解：A、被開方數(shù)不能相加，故A錯誤；B、積的乘方等于每個因式分別乘方，再把所得的冪相乘，故B錯誤；C、系數(shù)相加字母部分不變，故C錯誤；D、底數(shù)不變指數(shù)相加，故D正確；故選：D．點評：本題考查了積的乘方，積的乘方等于每個因式分別乘方，再把所得的冪相乘．6．（3分）（2022?長沙）如圖，C、D是線段AB上的兩點，且D是線段AC的中點，若AB=10cm，BC=4cm，則AD的長為（）A．2cmB．3cmC．4cmD．6c考點：兩點間的距離．分析：由AB=10cm，BC=4cm，可求出AC=AB﹣BC=6cm，再由點D是AC的中點，則可求得AD的長．解答：解：∵AB=10cm，BC=4cm，∴AC=AB﹣BC=6cm，又點D是AC的中點，∴AD=AC=43m，答：AD的長為3cm．故選：B．點評：本題考查了兩點間的距離，利用線段差及中點性質(zhì)是解題的關鍵．7．（3分）（2022?長沙）一個關于x的一元一次不等式組的解集在數(shù)軸上的表示如圖，則該不等式組的解集是（）A．x＞1B．x≥1C．x＞3D．x≥3考點：在數(shù)軸上表示不等式的解集．分析：根據(jù)不等式組的解集是大于大的，可得答案．解答：解：一個關于x的一元一次不等式組的解集在數(shù)軸上的表示如圖，則該不等式組的解集是x＞3．故選：C．點評：本題考查了不等式組的解集，不等式組的解集是大于大的．8．（3分）（2022?長沙）如圖，已知菱形ABCD的邊長為2，∠DAB=60°，則對角線BD的長是（）A．1B．C．2D．2考點：菱形的性質(zhì)．分析：利用菱形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定方法得出△DAB是等邊三角形，進而得出BD的長．解答：解：∵菱形ABCD的邊長為2，∴AD=AB=2，又∵∠DAB=60°，∴△DAB是等邊三角形，∴AD=BD=AB=2，則對角線BD的長是2．故選：C．點評：此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定，得出△DAB是等邊三角形是解題關鍵．9．（3分）（2022?長沙）下列四個圓形圖案中，分別以它們所在圓的圓心為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)120°后，能與原圖形完全重合的是（）A．B．C．D．考點：旋轉(zhuǎn)對稱圖形．分析：求出各旋轉(zhuǎn)對稱圖形的最小旋轉(zhuǎn)角度，繼而可作出判斷．解答：解：A、最小旋轉(zhuǎn)角度==120°；B、最小旋轉(zhuǎn)角度==90°；C、最小旋轉(zhuǎn)角度==180°；D、最小旋轉(zhuǎn)角度==72°；綜上可得：順時針旋轉(zhuǎn)120°后，能與原圖形完全重合的是A．故選A．點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)對稱圖形的知識，求出各圖形的最小旋轉(zhuǎn)角度是解題關鍵．10．（3分）（2022?長沙）函數(shù)y=與y=ax2（a≠0）在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（）A．B．C．D．考點：二次函數(shù)的圖象；反比例函數(shù)的圖象．分析：分a＞0和a＜0兩種情況，根據(jù)二次函數(shù)圖象和反比例函數(shù)圖象作出判斷即可得解．解答：解：a＞0時，y=的函數(shù)圖象位于第一三象限，y=ax2的函數(shù)圖象位于第一二象限且經(jīng)過原點，a＜0時，y=的函數(shù)圖象位于第二四象限，y=ax2的函數(shù)圖象位于第三四象限且經(jīng)過原點，縱觀各選項，只有D選項圖形符合．故選D．點評：本題考查了二次函數(shù)圖象，反比例函數(shù)圖象，熟記反比例函數(shù)圖象與二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關鍵，難點在于分情況討論．二、填空題（共8小題，每小題3分，共24分）11．（3分）（2022?長沙）如圖，直線a∥b，直線c分別與a，b相交，若∠1=70°，則∠2=110度．考點：平行線的性質(zhì)；對頂角、鄰補角．專題：計算題．分析：直線a∥b，直線c分別與a，b相交，根據(jù)平行線的性質(zhì)，以及對頂角的定義可求出．解答：解：∵∠1=70°，∴∠3=∠1=70°，∵a∥b，∴∠2+∠3=180°，∴∠2=180°﹣70°=110°．故填110．點評：本題考查兩直線平行，同位角相等及鄰補角互補．12．（3分）（2022?長沙）拋物線y=3（x﹣2）2+5的頂點坐標是（2，5）．考點：二次函數(shù)的性質(zhì)．分析：由于拋物線y=a（x﹣h）2+k的頂點坐標為（h，k），由此即可求解．解答：解：∵拋物線y=3（x﹣2）2+5，∴頂點坐標為：（2，5）．故答案為：（2，5）．點評：此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握拋物線y=a（x﹣h）2+k的頂點坐標為（h，k）．13．（3分）（2022?長沙）如圖，A、B、C是⊙O上的三點，∠AOB=100°，則∠ACB=50度．考點：圓周角定理．分析：根據(jù)圓周角定理即可直接求解．解答：解：∠ACB=∠AOB=×100°=50°．故答案是：50．點評：此題主要考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．14．（3分）（2022?長沙）已知關于x的一元二次方程2x2﹣3kx+4=0的一個根是1，則k=2．考點：一元二次方程的解．分析：把x=1代入已知方程列出關于k的一元一次方程，通過解方程求得k的值．解答：解：依題意，得2×12﹣3k×1+4=0，即2﹣3k+4=0，解得，k=2．故答案是：2．點評：本題考查了一元二次方程的解的定義．此題是通過代入法列出關于k的新方程，通過解新方程可以求得k的值．15．（3分）（2022?長沙）100件外觀相同的產(chǎn)品中有5件不合格，現(xiàn)從中任意抽取1件進行檢測，抽到不合格產(chǎn)品的概率是．考點：概率公式．分析：由100件外觀相同的產(chǎn)品中有5件不合格，直接利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：∵100件外觀相同的產(chǎn)品中有5件不合格，∴從中任意抽取1件進行檢測，抽到不合格產(chǎn)品的概率是：=．故答案為：．點評：此題考查了概率公式的應用．注意用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．16．（3分）（2022?長沙）如圖，在△ABC中，DE∥BC，=，△ADE的面積是8，則△ABC的面積為18．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)．分析：根據(jù)相似三角形的判定，可得△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得答案．解答：解；∵在△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∵=，∴=（）2=，，∴S△ABC=18，故答案為：18．點評：本題考查了相似三角形判定與性質(zhì)，利用了相似三角形的判定與性質(zhì)．17．（3分）（2022?長沙）如圖，點B、E、C、F在一條直線上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，則DF=6．考點：全等三角形的判定與性質(zhì)．分析：根據(jù)題中條件由SAS可得△ABC≌△DEF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AC=DF=6．解答：證明：∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF∵BE=CF，∴BC=EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴AC=DF=6．故答案是：6．點評：本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)問題，應熟練掌握．全等三角形的判定是結合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件．18．（3分）（2022?長沙）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（2，3），點B（﹣2，1），在x軸上存在點P到A，B兩點的距離之和最小，則P點的坐標是（﹣1，0）．考點：軸對稱-最短路線問題；坐標與圖形性質(zhì)．分析：作A關于x軸的對稱點C，連接BC交x軸于P，則此時AP+BP最小，求出C的坐標，設直線BC的解析式是y=kx+b，把B、C的坐標代入求出k、b，得出直線BC的解析式，求出直線與x軸的交點坐標即可．解答：解：作A關于x軸的對稱點C，連接BC交x軸于P，則此時AP+BP最小，∵A點的坐標為（2，3），B點的坐標為（﹣2，1），∴C（2，﹣3），設直線BC的解析式是：y=kx+b，把B、C的坐標代入得：解得．即直線BC的解析式是y=﹣x﹣1，當y=0時，﹣x﹣﹣1=0，解得：x=﹣1，∴P點的坐標是（﹣1，0）．故答案為：（﹣1，0）．點評：本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，軸對稱﹣最短路線問題的應用，關鍵是能找出P點，題目具有一定的代表性，難度適中．三、解答題（共2小題，每小題6分，共12分）19．（6分）（2022?長沙）計算：（﹣1）2022+﹣（）﹣1+sin45°．考點：實數(shù)的運算；負整數(shù)指數(shù)冪；特殊角的三角函數(shù)值．分析：本題涉及零指數(shù)冪、乘方、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式化簡四個考點．針對每個考點分別進行計算，然后根據(jù)實數(shù)的運算法則求得計算結果．解答：解：原式=1+2﹣3+1=1．點評：本題考查實數(shù)的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型．解決此類題目的關鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握負整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、二次根式、絕對值等考點的運算．20．（6分）（2022?長沙）先簡化，再求值：（1+）+，其中x=3．考點：分式的化簡求值．專題：計算題．分析：原式括號中兩項通分并利用同分母分式的加法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結果，將x的值代入計算即可求出值．解答：解：原式=?=?=，當x=3時，原式==．點評：此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．四、解答題（共2小題，每小題8分，共16分）21．（8分）（2022?長沙）某數(shù)學興趣小組在全校范圍內(nèi)隨機抽取了50名同學進行“舌尖上的長沙﹣我最喜愛的長沙小吃”調(diào)查活動，將調(diào)查問卷整理后繪制成如圖所示的不完整條形統(tǒng)計圖：請根據(jù)所給信息解答以下問題：（1）請補全條形統(tǒng)計圖；（2）若全校有2000名同學，請估計全校同學中最喜愛“臭豆腐”的同學有多少人？（3）在一個不透明的口袋中有四個完全相同的小球，把它們分別標號為四種小吃的序號A、B、C、D，隨機地摸出一個小球然后放回，再隨機地摸出一個小球，請用列表或畫樹形圖的方法，求出恰好兩次都摸到“A”的概率．考點：條形統(tǒng)計圖；用樣本估計總體；列表法與樹狀圖法．專題：計算題．分析：（1）總人數(shù)以及條形統(tǒng)計圖求出喜歡“唆螺”的人數(shù)，補全條形統(tǒng)計圖即可；（2）求出喜歡“臭豆腐”的百分比，乘以2000即可得到結果；（3）列表得出所有等可能的情況數(shù)，找出恰好兩次都摸到“A”的情況數(shù)，即可求出所求的概率．解答：解：（1）根據(jù)題意得：喜歡“唆螺”人數(shù)為：50﹣（14+21+5）=10（人），補全統(tǒng)計圖，如圖所示：（2）根據(jù)題意得：2000××100%=560（人），則估計全校同學中最喜愛“臭豆腐”的同學有560人；（3）列表如下：ABCDA（A，A）（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（B，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（C，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（D，D）所有等可能的情況有16種，其中恰好兩次都摸到“A”的情況有1種，則P=．點評：此題考查了條形統(tǒng)計圖，用樣本估計總體，以及列表法與樹狀圖法，弄清題意是解本題的關鍵．22．（8分）（2022?長沙）如圖，四邊形ABCD是矩形，把矩形沿對角線AC折疊，點B落在點E處，CE與AD相交于點O．（1）求證：△AOE≌△COD；（2）若∠OCD=30°，AB=，求△AOC的面積．考點：翻折變換（折疊問題）．分析：（1）根據(jù)矩形的對邊相等可得AB=CD，∠B=∠D=90°，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得AB=AE，∠B=∠E，然后求出AE=CD，∠D=∠E，再利用“角角邊”證明即可；（2）根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AO=CO，解直角三角形求出CO，然后利用三角形的面積公式列式計算即可得解．解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠B=∠D=90°，∵矩形ABCD沿對角線AC折疊點B落在點E處，∴AB=AE，∠B=∠E，∴AE=CD，∠D=∠E，在△AOE和△COD中，，∴△AOE≌△COD（AAS）；（2）解：∵△AOE≌△COD，∴AO=CO，∵∠OCD=30°，AB=，∴CO=CD÷cos30°=÷=2，∴△AOC的面積=AO?CD=×2×=．點評：本題考查了翻折變換的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并確定出三角形全等的條件是解題的關鍵．五、解答題（共2小題，每小題9分，共18分）23．（9分）（2022?長沙）為建設“秀美幸福之市”，長沙市綠化提質(zhì)改造工程正如火如荼地進行，某施工隊計劃購買甲、乙兩種樹苗共400棵對芙蓉路的某標段道路進行綠化改造，已知甲種樹苗每棵200元，乙種樹苗每棵300元．（1）若購買兩種樹苗的總金額為90000元，求需購買甲、乙兩種樹苗各多少棵？（2）若購買甲種樹苗的金額不少于購買一中樹苗的金額，至少應購買甲種樹苗多少棵？考點：一元一次不等式的應用；二元一次方程組的應用．分析：（1）設購買甲種樹苗x棵，則購買乙種樹苗（400﹣x）棵，根據(jù)購買兩種樹苗的總金額為90000元建立方程求出其解即可；（2）設至少應購買甲種樹苗a棵，則購買乙種樹苗（400﹣a）棵，根據(jù)購買甲種樹苗的金額不少于購買一中樹苗的金額建立不等式求出其解即可．解答：解：（1）設購買甲種樹苗x棵，則購買乙種樹苗（400﹣x）棵，由題意，得200x+300（400﹣x）=90000，解得：x=300，∴購買乙種樹苗400﹣300=100棵，答：購買甲種樹苗300棵，則購買乙種樹苗100棵；（2）設至少應購買甲種樹苗a棵，則購買乙種樹苗（400﹣a）棵，由題意，得200a≥300（400﹣a），解得：a≥240．答：至少應購買甲種樹苗240棵．點評：本題考查了列一元一次方程解實際問題的運用，一元一次不等式的解法的運用，解答時建立方程和不等式是關鍵．24．（9分）（2022?長沙）如圖，以△ABC的一邊AB為直徑作⊙O，⊙O與BC邊的交點恰好為BC的中點D，過點D作⊙O的切線交AC于點E．（1）求證：DE⊥AC；（2）若AB=3DE，求tan∠ACB的值．考點：切線的性質(zhì)．分析：（1）連接OD，可以證得DE⊥OD，然后證明OD∥AC即可證明DE⊥AC；（2）利用△ADE∽△CDE，求出DE與CE的比值即可．解答：（1）證明：連接OD，∵D是BC的中點，OA=OB，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥AC，∵DE是⊙O的切線，∴OD⊥DE，∴DE⊥AC；（2）解：連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∵DE⊥AC，∴∠ADC=∠DEC=∠AED=90°，∴∠ADE=∠DCE在△ADE和△CDE中，∴△CDE∽△ADE，∴，設tan∠ACB=x，CE=a，則DE=ax，AC=3ax，AE=3ax﹣a，∴，整理得：x2﹣3x+1=0，解得：x=，∴tan∠ACB=．點評：本題主要考查了切線的性質(zhì)的綜合應用，解答本題的關鍵在于如何利用三角形相似求出線段DE與CE的比值．六、解答題（共2小題，每小題10分，共20分）25．（10分）（2022?長沙）在平面直角坐標系中，我們不妨把橫坐標與縱坐標相等的點稱為“夢之點”，例如點（﹣1，﹣1），（0，0），（，），…都是“夢之點”，顯然，這樣的“夢之點”有無數(shù)個．（1）若點P（2，m）是反比例函數(shù)y=（n為常數(shù)，n≠0）的圖象上的“夢之點”，求這個反比例函數(shù)的解析式；（2）函數(shù)y=3kx+s﹣1（k，s是常數(shù)）的圖象上存在“夢之點”嗎？若存在，請求出“夢之點”的坐標；若不存在，請說明理由；（3）若二次函數(shù)y=ax2+bx+1（a，b是常數(shù)，a＞0）的圖象上存在兩個不同的“夢之點”A（x1，x1），B（x2，x2），且滿足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2，令t=b2﹣2b+，試求出t的取值范圍．考點：二次函數(shù)綜合題．分析：（1）先由“夢之點”的定義得出m=2，再將點P坐標代入y=，運用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)的解析式；（2）假設函數(shù)y=3kx+s﹣1（k，s是常數(shù)）的圖象上存在“夢之點”（x，x），則有x=3kx+s﹣1，整理得（3k﹣1）x=1﹣s，再分三種情況進行討論即可；（3）先將A（x1，x1），B（x2，x2）代入y=ax2+bx+1，得到ax12+（b﹣1）x1+1=0，ax22+（b﹣1）x2+1=0，根據(jù)方程的解的定義可知x1，x2是一元二次方程ax2+（b﹣1）x+1=0的兩個根，由根與系數(shù)的關系可得x1+x2=，x1?x2=，則（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1?x2==4，整理得出b2﹣2b=（2a+1）2﹣2，則t=b2﹣2b+=（2a+1）2+．再由﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2，得出﹣4＜x2＜4，﹣8＜x1?x2＜8，即﹣8＜＜8，又a＞0，解不等式組得出a＞，進而求出t的取值范圍．解答：解：（1）∵點P（2，m）是“夢之點”，∴m=2，∵點P（2，2）在反比例函數(shù)y=（n為常數(shù)，n≠0）的圖象上，∴n=2×2=4，∴反比例函數(shù)的解析式為y=；（2）假設函數(shù)y=3kx+s﹣1（k，s是常數(shù)）的圖象上存在“夢之點”（x，x），則有x=3kx+s﹣1，整理，得（3k﹣1）x=1﹣s，當3k﹣1≠0，即k≠時，解得x=；當3k﹣1=0，1﹣s=0，即k=，s=1時，x有無窮多解；當3k﹣1=0，1﹣s≠0，即k=，s≠1時，x無解；綜上所述，當k≠時，“夢之點”的坐標為（，）；當k=，s=1時，“夢之點”有無數(shù)個；當k=，s≠1時，不存在“夢之點”；（3）∵二次函數(shù)y=ax2+bx+1（a，b是常數(shù)，a＞0）的圖象上存在兩個不同的“夢之點”A（x1，x1），B（x2，x2），∴x1=ax12+bx1+1，x2=ax22+bx2+1，∴ax12+（b﹣1）x1+1=0，ax22+（b﹣1）x2+1=0，∴x1，x2是一元二次方程ax2+（b﹣1）x+1=0的兩個不等實根，∴x1+x2=，x1?x2=，∴（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1?x2=（）2﹣4?==4，∴b2﹣2b=4a2+4a﹣1=（2a+1）2﹣2，∴t=b2﹣2b+=（2a+1）2﹣2+=（2a+1）2+．∵﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2，∴﹣4＜x2＜0或0＜x