福建省莆田市2022年中考數(shù)學試卷（解析版）

2022年福建省莆田市中考數(shù)學試卷一、精心選一選：本大題共10小題，每小題4分，共40分1．的絕對值是（）A． B． C．2 D．﹣22．下列運算正確的是（）A．3a﹣a=0 B．a(chǎn)?a2=a3 C．a(chǎn)4÷a3=a2 D．（a3）2=a3．一組數(shù)據(jù)3，3，4，6，8，9的中位數(shù)是（）A．4 B．5 C． D．64．圖中三視圖對應的幾何體是（）A． B． C． D．5．菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是（）A．對邊相等 B．對角相等C．對角線互相平分 D．對角線互相垂直6．如圖，OP是∠AOB的平分線，點C，D分別在角的兩邊OA，OB上，添加下列條件，不能判定△POC≌△POD的選項是（）A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC=OD C．∠OPC=∠OPD D．PC=PD7．關于x的一元二次方程x2+ax﹣1=0的根的情況是（）A．沒有實數(shù)根 B．只有一個實數(shù)根C．有兩個相等的實數(shù)根 D．有兩個不相等的實數(shù)根8．規(guī)定：在平面內(nèi)，將一個圖形繞著某一點旋轉一定的角度（小于周角）后能和自身重合，則稱此圖形為旋轉對稱圖形．下列圖形是旋轉對稱圖形，且有一個旋轉角為60°的是（）A．正三角形 B．正方形 C．正六邊形 D．正十邊形9．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，將△ABC折疊，使點A落在BC邊上的點D處，EF為折痕，若AE=3，則sin∠BFD的值為（）A． B． C． D．10．如圖，在平面直角坐標系中，點A（0，2），在x軸上任取一點M，完成以下作圖步驟：①連接AM．作線段AM的垂直平分線l1，過點M作x軸的垂線l2，記l1，l2的交點為P；②在x軸上多次改變點M的位置，用①的方法得到相應的點P，把這些點用平滑的曲線順次連接起來，得到的曲線是（）A．直線 B．拋物線 C．雙曲線 D．雙曲線的一支二、細心填一填：本大題共6小題，每小題4分，共24分11．莆田市海岸線蜿蜒曲折，長達217000米，用科學記數(shù)法表示217000為______．12．在平面直角坐標系中，點P（﹣1，2）向右平移3個單位長度得到的點的坐標是______．13．已知直線a∥b，一塊直角三角板如圖所示放置，若∠1=37°，則∠2=______．14．在大課間活動中，同學們積極參加體育鍛煉，小紅在全校隨機抽取一部分同學就“一分鐘跳繩”進行測試，并以測試數(shù)據(jù)為樣本繪制如圖所示的部分頻數(shù)分布直方圖（從左到右依次分為六個小組，每小組含最小值，不含最大值）和扇形統(tǒng)計圖，若“一分鐘跳繩”次數(shù)不低于130次的成績?yōu)閮?yōu)秀，全校共有1200名學生，根據(jù)圖中提供的信息，估計該校學生“一分鐘跳繩”成績優(yōu)秀的人數(shù)為______人．15．如圖，CD為⊙O的弦，直徑AB為4，AB⊥CD于E，∠A=30°，則的長為______（結果保留π）．16．魏朝時期，劉徽利用下圖通過“以盈補虛，出入相補”的方法，即“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類”證明了勾股定理．若圖中BF=1，CF=2，則AE的長為______．三、耐心做一張：本大題共10小題，共86分17．計算：|﹣3|﹣+．18．先化簡，再求值：﹣÷，其中x=﹣1．19．解不等式組：．20．小梅家的陽臺上放置了一個曬衣架如圖1，圖2是曬衣架的側面示意圖，A，B兩點立于地面，將曬衣架穩(wěn)固張開，測得張角∠AOB=62°，立桿OA=OB=140cm，小梅的連衣裙穿在衣架后的總長度為122cm，問將這件連衣裙垂掛在曬衣架上是否會拖落到地面？請通過計算說明理由（參考數(shù)據(jù)：sin59°≈，cos59°≈，tan59°≈）21．在一次數(shù)學文化課題活動中，把一副數(shù)學文化創(chuàng)意撲克牌中的4張撲克牌（如圖所示）洗勻后正面向下放在桌面上，從中隨機抽取2張牌，請你用列表或畫樹狀圖的方法，求抽取的2張牌的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率．22．甲車從A地駛往B地，同時乙車從B地駛往A地，兩車相向而行，勻速行駛，甲車距B地的距離y（km）與行駛時間x（h）之間的函數(shù)關系如圖所示，乙車的速度是60km/h（1）求甲車的速度；（2）當甲乙兩車相遇后，乙車速度變?yōu)閍（km/h），并保持勻速行駛，甲車速度保持不變，結果乙車比甲車晚38分鐘到達終點，求a的值．23．如圖，在?ABCD中，∠BAC=90°，對角線AC，BD相交于點P，以AB為直徑的⊙O分別交BC，BD于點E，Q，連接EP并延長交AD于點F．（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）求證：EF2=4BP?QP．24．如圖，反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象與直線y=x交于點M，∠AMB=90°，其兩邊分別與兩坐標軸的正半軸交于點A，B，四邊形OAMB的面積為6．（1）求k的值；（2）點P在反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象上，若點P的橫坐標為3，∠EPF=90°，其兩邊分別與x軸的正半軸，直線y=x交于點E，F(xiàn)，問是否存在點E，使得PE=PF？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．25．若正方形有兩個相鄰頂點在三角形的同一條邊上，其余兩個頂點分別在三角形的另兩條邊上，則正方形稱為三角形該邊上的內(nèi)接正方形，△ABC中，設BC=a，AC=b，AB=c，各邊上的高分別記為ha，hb，hc，各邊上的內(nèi)接正方形的邊長分別記為xa，xb，xc（1）模擬探究：如圖，正方形EFGH為△ABC的BC邊上的內(nèi)接正方形，求證：+=；（2）特殊應用：若∠BAC=90°，xb=xc=2，求+的值；（3）拓展延伸：若△ABC為銳角三角形，b＜c，請判斷xb與xc的大小，并說明理由．26．如圖，拋物線C1：y=﹣x2+2x的頂點為A，與x軸的正半軸交于點B．（1）將拋物線C1上的點的橫坐標和縱坐標都擴大到原來的2倍，求變換后得到的拋物線的解析式；（2）將拋物線C1上的點（x，y）變?yōu)椋╧x，ky）（|k|＞1），變換后得到的拋物線記作C2，拋物線C2的頂點為C，點P在拋物線C2上，滿足S△PAC=S△ABC，且∠APC=90°．①當k＞1時，求k的值；②當k＜﹣1時，請直接寫出k的值，不必說明理由．

2022年福建省莆田市中考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、精心選一選：本大題共10小題，每小題4分，共40分1．的絕對值是（）A． B． C．2 D．﹣2【考點】絕對值．【分析】根據(jù)負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)解答．【解答】解：﹣的絕對值是．故選：A．【點評】本題考查了絕對值，一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0．2．下列運算正確的是（）A．3a﹣a=0 B．a(chǎn)?a2=a3 C．a(chǎn)4÷a3=a2 D．（a3）2=a【考點】同底數(shù)冪的除法；合并同類項；同底數(shù)冪的乘法；冪的乘方與積的乘方．【分析】分別根據(jù)合并同類項、同底數(shù)冪的乘除法和冪的乘方分別計算即可得出答案．【解答】解：A、3a﹣2a=a，故A不正確；B、a?a2=a3，故B正確；C、a4÷a3=a，故C不正確；D、（a3）2=a6，故D不正確；故選B．【點評】本題主要考查冪的運算，掌握同底數(shù)冪的運用性質(zhì)是解題的關鍵．3．一組數(shù)據(jù)3，3，4，6，8，9的中位數(shù)是（）A．4 B．5 C． D．6【考點】中位數(shù)．【專題】統(tǒng)計與概率．【分析】根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)，可以求得這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．【解答】解：數(shù)據(jù)3，3，4，6，8，9的中位數(shù)是：=5，故選B．【點評】本題考查中位數(shù)，解題的關鍵是明確中位數(shù)的定義，可以將一組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列，找出這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．4．圖中三視圖對應的幾何體是（）A． B． C． D．【考點】由三視圖判斷幾何體．【分析】由主視圖和左視圖可得此幾何體為柱體，根據(jù)俯視圖可判斷出此上面是圓柱體，由此即可得出結論．【解答】解：由主視圖可以推出這個幾何體是上下兩個大小不同柱體，從主視圖推出這兩個柱體的寬度相同，從俯視圖推出上面是圓柱體，直徑等于下面柱體的寬．由此可以判斷對應的幾何體是C．故選C．【點評】不同考查三視圖，用到的知識點為：由主視圖和左視圖可得幾何體是柱體，錐體還是球體，由俯視圖可確定幾何體的具體形狀．5．菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是（）A．對邊相等 B．對角相等C．對角線互相平分 D．對角線互相垂直【考點】菱形的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．【分析】由菱形的性質(zhì)可得：菱形的對角線互相平分且垂直；而平行四邊形的對角線互相平分；則可求得答案．【解答】解：∵菱形具有的性質(zhì)：對邊相等，對角相等，對角線互相平分，對角線互相垂直；平行四邊形具有的性質(zhì)：對邊相等，對角相等，對角線互相平分；∴菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是：對角線互相垂直．故選D．【點評】此題考查了菱形的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)．注意菱形的對角線互相平分且垂直．6．如圖，OP是∠AOB的平分線，點C，D分別在角的兩邊OA，OB上，添加下列條件，不能判定△POC≌△POD的選項是（）A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC=OD C．∠OPC=∠OPD D．PC=PD【考點】角平分線的性質(zhì)；全等三角形的判定．【分析】要得到△POC≌△POD，現(xiàn)有的條件為有一對角相等，一條公共邊，缺少角，或著是邊，根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結論．于是答案可得．【解答】解：A．PC⊥OA，PD⊥OB得出∠PCO=∠PDO=90°，根據(jù)AAS判定定理成立，B．OC=OD，根據(jù)SAS判定定理成立，C．∠OPC=∠OPD，根據(jù)ASA判定定理成立，D．PC=PD，根據(jù)SSA無判定定理不成立，故選D．【點評】本題考查了角平分線的定義，全等三角形的判定，熟記全等三角形的判定定理是解題的關鍵．7．關于x的一元二次方程x2+ax﹣1=0的根的情況是（）A．沒有實數(shù)根 B．只有一個實數(shù)根C．有兩個相等的實數(shù)根 D．有兩個不相等的實數(shù)根【考點】根的判別式．【分析】先計算判別式的值，然后非負數(shù)的性質(zhì)和判別式的意義判斷方程根的情況．【解答】解：∵△=a2+4＞0，∴，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根．故選D．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2﹣4ac有如下關系：當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；當△＜0時，方程無實數(shù)根．8．規(guī)定：在平面內(nèi)，將一個圖形繞著某一點旋轉一定的角度（小于周角）后能和自身重合，則稱此圖形為旋轉對稱圖形．下列圖形是旋轉對稱圖形，且有一個旋轉角為60°的是（）A．正三角形 B．正方形 C．正六邊形 D．正十邊形【考點】旋轉對稱圖形．【分析】分別求出各旋轉對稱圖形的最小旋轉角，繼而可作出判斷．【解答】解：A、正三角形的最小旋轉角是120°，故此選項錯誤；B、正方形的旋轉角度是90°，故此選項錯誤；C、正六邊形的最小旋轉角是60°，故此選項正確；D、正十角形的最小旋轉角是36°，故此選項錯誤；故選：C．【點評】本題考查了旋轉對稱圖形的知識，解答本題的關鍵是掌握旋轉角度的定義，求出旋轉角．9．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，將△ABC折疊，使點A落在BC邊上的點D處，EF為折痕，若AE=3，則sin∠BFD的值為（）A． B． C． D．【考點】翻折變換（折疊問題）；等腰直角三角形；銳角三角函數(shù)的定義．【分析】由題意得：△AEF≌△DEF，故∠EDF=∠A；由三角形的內(nèi)角和定理及平角的知識問題即可解決．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，∴∠A=∠B，由折疊的性質(zhì)得到：△AEF≌△DEF，∴∠EDF=∠A，∴∠EDF=∠B，∴∠CDE+∠BDF+∠EDF=∠BFD+∠BDF+∠B=180°，∴∠CDE=∠BFD．又∵AE=DE=3，∴CE=4﹣3=1，∴在直角△ECD中，sin∠CDE==．故選：A．【點評】主要考查了翻折變換的性質(zhì)及其應用問題；解題的關鍵是靈活運用全等三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等知識來解決問題．10．如圖，在平面直角坐標系中，點A（0，2），在x軸上任取一點M，完成以下作圖步驟：①連接AM．作線段AM的垂直平分線l1，過點M作x軸的垂線l2，記l1，l2的交點為P；②在x軸上多次改變點M的位置，用①的方法得到相應的點P，把這些點用平滑的曲線順次連接起來，得到的曲線是（）A．直線 B．拋物線 C．雙曲線 D．雙曲線的一支【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標特征；線段垂直平分線的性質(zhì)；作圖—基本作圖．【分析】按照給定的作圖步驟作圖，根據(jù)圖形中曲線的特征即可得出該曲線為拋物線．【解答】解：根據(jù)作圖步驟作圖，如圖所示．由此即可得出該曲線為拋物線．故選B/【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、線段的垂直平分線的性質(zhì)以及基本作圖，解題的關鍵是按照給定的作圖步驟完成作圖．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，熟悉各曲線的圖形是關鍵．二、細心填一填：本大題共6小題，每小題4分，共24分11．莆田市海岸線蜿蜒曲折，長達217000米，用科學記數(shù)法表示217000為×105．【考點】科學記數(shù)法—表示較大的數(shù)．【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值＞1時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù)．【解答】解：將217000用科學記數(shù)法表示為：217000=×105．故答案為：×105．【點評】此題考查科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．12．在平面直角坐標系中，點P（﹣1，2）向右平移3個單位長度得到的點的坐標是（2，2）．【考點】坐標與圖形變化-平移．【分析】將點P的橫坐標加3，縱坐標不變即可求解．【解答】解：點P（﹣1，2）向右平移3個單位長度得到的點的坐標是（﹣1+3，2），即（2，2）．故答案為（2，2）．【點評】此題主要考查了坐標與圖形的變化，關鍵是掌握橫坐標，右移加，左移減；縱坐標，上移加，下移減．13．已知直線a∥b，一塊直角三角板如圖所示放置，若∠1=37°，則∠2=53°．【考點】平行線的性質(zhì)．【分析】首先作平行線，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得到∠1+∠2=90°，據(jù)此求出∠2的度數(shù)．【解答】解：作直線AB∥a，∵a∥b∴AB∥a∥b，∵AB∥a，∴∠1=∠3，∵AB∥b，∴∠2=∠4，∵∠3+∠4=90°，∴∠1+∠2=90°，∵∠1=37°，∴∠2=90°﹣37°=53°，故答案為53°．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，構成直線AB∥a是解題的關鍵，熟練掌握兩直線平行，內(nèi)錯角相等．14．在大課間活動中，同學們積極參加體育鍛煉，小紅在全校隨機抽取一部分同學就“一分鐘跳繩”進行測試，并以測試數(shù)據(jù)為樣本繪制如圖所示的部分頻數(shù)分布直方圖（從左到右依次分為六個小組，每小組含最小值，不含最大值）和扇形統(tǒng)計圖，若“一分鐘跳繩”次數(shù)不低于130次的成績?yōu)閮?yōu)秀，全校共有1200名學生，根據(jù)圖中提供的信息，估計該校學生“一分鐘跳繩”成績優(yōu)秀的人數(shù)為480人．【考點】頻數(shù)（率）分布直方圖；用樣本估計總體；扇形統(tǒng)計圖．【分析】首先由第二小組有10人，占20%，可求得總人數(shù)，再根據(jù)各小組頻數(shù)之和等于數(shù)據(jù)總數(shù)求得第四小組的人數(shù)，利用總人數(shù)260乘以樣本中“一分鐘跳繩”成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)所占的比例即可求解．【解答】解：總人數(shù)是：10÷20%=50（人），第四小組的人數(shù)是：50﹣4﹣10﹣16﹣6﹣4=10，所以該校九年級女生“一分鐘跳繩”成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)是：×1200=480，故答案為：480．【點評】本題考查讀頻數(shù)分布直方圖的能力和利用統(tǒng)計圖獲取信息的能力；利用統(tǒng)計圖獲取信息時，必須認真觀察、分析、研究統(tǒng)計圖，才能作出正確的判斷和解決問題．15．如圖，CD為⊙O的弦，直徑AB為4，AB⊥CD于E，∠A=30°，則的長為π（結果保留π）．【考點】弧長的計算；垂徑定理．【分析】連接AC，由垂徑定理的CE=DE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AC=AD，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠CAB=∠DAB=30°，由圓周角定理得到∠COB=60°，根據(jù)弧長的計算公式即可得到結論．【解答】解：連接AC，∵CD為⊙O的弦，AB是⊙O的直徑，∴CE=DE，∵AB⊥CD，∴AC=AD，∴∠CAB=∠DAB=30°，∴∠COB=60°，∴的長==π，故答案為：π．【點評】本題考查的是垂徑定理，線段的垂直平分線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握垂徑定理是解答此題的關鍵．16．魏朝時期，劉徽利用下圖通過“以盈補虛，出入相補”的方法，即“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類”證明了勾股定理．若圖中BF=1，CF=2，則AE的長為3．【考點】勾股定理的證明．【專題】證明題；等腰三角形與直角三角形．【分析】由BF+CF求出BC的長，即為正方形ABCD的邊長，由AB與CE平行，得比例求出CE的長，由DC+CE求出DE的長，在直角三角形ADE中，利用勾股定理求出AE的長即可．【解答】解：∵BF=1，CF=2，∴BC=BF+CF=1+2=3，∵AB∥EC，∴=，即=，解得：CE=6，在Rt△ADE中，AD=3，DE=DC+CE=3+6=9，根據(jù)勾股定理得：AE==3，故答案為：3【點評】此題考查了勾股定理的證明，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解本題的關鍵．三、耐心做一張：本大題共10小題，共86分17．計算：|﹣3|﹣+．【考點】實數(shù)的運算；零指數(shù)冪．【專題】計算題．【分析】根據(jù)絕對值、算術平方根和零指數(shù)冪的意義計算．【解答】解：原式=3﹣﹣4+1=﹣．【點評】本題考查了絕對值的運算：實數(shù)的運算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實數(shù)既可以進行加、減、乘、除、乘方運算，又可以進行開方運算，其中正實數(shù)可以開平方．注意零指數(shù)冪的意義．18．先化簡，再求值：﹣÷，其中x=﹣1．【考點】分式的化簡求值．【專題】計算題．【分析】先把x2﹣4分解因式和除法運算化為乘法運算，再約分后進行同分母的減法運算得到原式=，然后把x的值代入計算即可．【解答】解：原式=﹣?（x+2）=﹣==，當x=﹣1時，原式==﹣1．【點評】本題考查了分式的化簡求值：先把分式化簡后，再把分式中未知數(shù)對應的值代入求出分式的值．在化簡的過程中要注意運算順序和分式的化簡．化簡的最后結果分子、分母要進行約分，注意運算的結果要化成最簡分式或整式．19．解不等式組：．【考點】解一元一次不等式組．【分析】先解不等式組中的每一個不等式，再求出它們的公共解即可．【解答】解：．由①得x≤1；由②得x＜4；所以原不等式組的解集為：x≤1．【點評】考查了一元一次不等式解集的求法，其簡便求法就是用口訣求解．求不等式組解集的口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）．20．小梅家的陽臺上放置了一個曬衣架如圖1，圖2是曬衣架的側面示意圖，A，B兩點立于地面，將曬衣架穩(wěn)固張開，測得張角∠AOB=62°，立桿OA=OB=140cm，小梅的連衣裙穿在衣架后的總長度為122cm，問將這件連衣裙垂掛在曬衣架上是否會拖落到地面？請通過計算說明理由（參考數(shù)據(jù)：sin59°≈，cos59°≈，tan59°≈）【考點】解直角三角形的應用．【分析】過點O作OE⊥AB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得∠OAB，再在Rt△AEO中，利用三角函數(shù)sin∠OAB=，求得OE，即可作出判斷．【解答】證明：過點O作OE⊥AB于點E，∵OA=OB，∠AOB=62°，∴∠OAB=∠OBA=59°，在Rt△AEO中，OE=OA?sin∠OAB=140×sin59°≈140×=，∵＜122，∴這件連衣裙垂掛在曬衣架上會拖落到地面．【點評】本題考查了解直角三角形的應用，解題的關鍵是構造直角三角形和三角函數(shù)的定義的綜合運用．21．在一次數(shù)學文化課題活動中，把一副數(shù)學文化創(chuàng)意撲克牌中的4張撲克牌（如圖所示）洗勻后正面向下放在桌面上，從中隨機抽取2張牌，請你用列表或畫樹狀圖的方法，求抽取的2張牌的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率．【考點】列表法與樹狀圖法．【專題】概率及其應用．【分析】列出得出所有等可能的情況數(shù)，找出抽取2張牌的數(shù)字之和為偶數(shù)的情況數(shù)，即可求出所求的概率．【解答】解：列表如下：34563﹣﹣﹣﹣（4，3）（5，3）（6，3）4（3，4）﹣﹣﹣﹣（5，4）（6，4）5（3，5）（4，5）﹣﹣﹣﹣（6，5）6（3，6）（4，6）（5，6）﹣﹣﹣﹣所有等可能的情況數(shù)有12種，抽取2張牌的數(shù)字之和為偶數(shù)的有4種，則P==．【點評】此題考查了列表法與樹狀圖法，概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．22．甲車從A地駛往B地，同時乙車從B地駛往A地，兩車相向而行，勻速行駛，甲車距B地的距離y（km）與行駛時間x（h）之間的函數(shù)關系如圖所示，乙車的速度是60km/h（1）求甲車的速度；（2）當甲乙兩車相遇后，乙車速度變?yōu)閍（km/h），并保持勻速行駛，甲車速度保持不變，結果乙車比甲車晚38分鐘到達終點，求a的值．【考點】分式方程的應用；函數(shù)的圖象．【專題】方程與不等式．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象可知甲2小時行駛的路程是（280﹣120）km，從而可以求得甲的速度；（2）根據(jù)第（1）問中的甲的速度和甲乙兩車相遇后，乙車速度變?yōu)閍（km/h），并保持勻速行駛，甲車速度保持不變，結果乙車比甲車晚38分鐘到達終點，可以列出分式方程，從而可以求得a的值．【解答】解：（1）由圖象可得，甲車的速度為：=80km/h，即甲車的速度是80km/h；（2）相遇時間為：=2h，由題意可得，=，解得，a=75，經(jīng)檢驗，a=78是原分式方程的解，即a的值是75．【點評】本題考查分式方程的應用、函數(shù)圖象，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結合的思想解答問題．23．如圖，在?ABCD中，∠BAC=90°，對角線AC，BD相交于點P，以AB為直徑的⊙O分別交BC，BD于點E，Q，連接EP并延長交AD于點F．（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）求證：EF2=4BP?QP．【考點】切線的判定；平行四邊形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】證明題．【分析】（1）連接OE，AE，由AB是⊙O的直徑，得到∠AEB=∠AEC=90°，根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，得到PA=PC推出∠OEP=∠OAC=90°，根據(jù)切線的判定定理即可得到結論；（2）由AB是⊙O的直徑，得到∠AQB=90°根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∴PA2=PB?PQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PF=PE，求得PA=PE=EF，等量代換即可得到結論．【解答】證明：（1）連接OE，AE，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB=∠AEC=90°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴PA=PC，∴PA=PC=PE，∴∠PAE=∠PEA，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∴∠OEP=∠OAC=90°，∴EF是⊙O的切線；（2）∵AB是⊙O的直徑，∴∠AQB=90°，∴△APQ∽△BPA，∴，∴PA2=PB?PQ，在△AFP與△CEP中，，∴△AFP≌△CEP，∴PF=PE，∴PA=PE=EF，∴EF2=4BP?QP．【點評】本題考查了切線的判定，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關鍵．24．如圖，反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象與直線y=x交于點M，∠AMB=90°，其兩邊分別與兩坐標軸的正半軸交于點A，B，四邊形OAMB的面積為6．（1）求k的值；（2）點P在反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象上，若點P的橫坐標為3，∠EPF=90°，其兩邊分別與x軸的正半軸，直線y=x交于點E，F(xiàn)，問是否存在點E，使得PE=PF？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．【分析】（1）過點M作MC⊥x軸于點C，MD⊥y軸于點D，根據(jù)AAS證明△AMC≌△BMD，那么S四邊形OCMD=S四邊形OAMB=6，根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義得出k=6；（2）先根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征求得點P的坐標為（3，2）．再分兩種情況進行討論：①如圖2，過點P作PG⊥x軸于點G，過點F作FH⊥PG于點H，交y軸于點K．根據(jù)AAS證明△PGE≌△FHP，進而求出E點坐標；②如圖3，同理求出E點坐標．【解答】解：（1）如圖1，過點M作MC⊥x軸于點C，MD⊥y軸于點D，則∠MCA=∠MDB=90°，∠AMC=∠BMD，MC=MD，∴△AMC≌△BMD，∴S四邊形OCMD=S四邊形OAMB=6，∴k=6；（2）存在點E，使得PE=PF．由題意，得點P的坐標為（3，2）．①如圖2，過點P作PG⊥x軸于點G，過點F作FH⊥PG于點H，交y軸于點K．∵∠PGE=∠FHP=90°，∠EPG=∠PFH，PE=PF，∴△PGE≌△FHP，∴PG=FH=2，F(xiàn)K=OK=3﹣2=1，GE=HP=2﹣1=1，∴OE=OG+GE=3+1=4，∴E（4，0）；②如圖3，過點P作PG⊥x軸于點G，過點F作FH⊥PG于點H，交y軸于點K．∵∠PGE=∠FHP=90°，∠EPG=∠PFH，PE=PF，∴△PGE≌△FHP，∴PG=FH=2，F(xiàn)K=OK=3+2=5，GE=HP=5﹣2=3，∴OE=OG+GE=3+3=6，∴E（6，0）．【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，全等三角形的判定與性質(zhì)，反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，有一定難度．利用數(shù)形結合與分類討論是解題的關鍵．25．若正方形有兩個相鄰頂點在三角形的同一條邊上，其余兩個頂點分別在三角形的另兩條邊上，則正方形稱為三角形該邊上的內(nèi)接正方形，△ABC中，設BC=a，AC=b，AB=c，各邊上的高分別記為ha，hb，hc，各邊上的內(nèi)接正方形的邊長分別記為xa，xb，xc（1）模擬探究：如圖，正方形EFGH為△ABC的BC邊上的內(nèi)接正方形，求證：+=；（2）特殊應用：若∠BAC=90°，xb=xc=2，求+的值；（3）拓展延伸：若△ABC為銳角三角形，b＜c，請判斷xb與xc的大小，并說明理由．【考點】三角形綜合題；相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】（1）先根據(jù)EH∥FG，判定△AEH∽△ABC，再根據(jù)相似三角形對應邊成比例，列出比例式變形即可得到+=；（2）先根據(jù)（1）中的結論得出，再將hb=c和xb=2代入變形，即可求得+的值；（3）先根據(jù)（1）中的結論得出和，變形得出，，再根據(jù)△ABC得到bhb=chc，hb=csinA，hc=bsinA，最后代入代數(shù)式進行變形推導，即可得出xb與xc的大小關系．【解答】解：∵正方形EFGH中，EH∥FG，∴△AEH∽△ABC，∵AD⊥BC，∴，即，∴+=；（2）由（1）得：，∵∠A=90°，∴hb=c，又∵xb=2，∴；（3）xb＞xc．證明：由（1）得：，，∴，，∵S=bhb=chc，∴2S=bhb=chc，又∵hb=csinA，hc=bsinA，∴===，∵b＜c，sinA＜1，∴＜0，即＜0，∴xb＞xc．【點評】本題主要考查了三角形的綜合運用，難度較大，解決問題的關鍵是掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．解題時注意，當三角形的高出現(xiàn)時，可以考慮相似三角形的對應高之比等于相似比；其中第（2）個問題也可以運用相似三角形的性質(zhì)進行計算求解