新教材人教a版選擇性必修第三冊6.1分類加法計數原理與分步乘法計數原理課件2

第六章計數原理分類加法計數原理與分步乘法計數原理必備知識?探新知關鍵能力?攻重難課堂檢測?固雙基素養(yǎng)目標?定方向素養(yǎng)作業(yè)?提技能素養(yǎng)目標?定方向課程標準學法解讀通過實例，了解分類加法計數原理、分步乘法計數原理及其意義．1．了解兩個計數原理的特征．2．理解兩個計數原理的概念和區(qū)別．3．掌握兩個計數原理的應用．4．會根據實際問題的特征，合理地分類或分步．必備知識?探新知

分類加法計數原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有______________種不同方法．N＝m＋n

知識點1思考1：(1)定義中每一類中的每一種方法能否獨立完成這件事？(2)各種方案之間有何關系？每一類方案中各種方法之間有何關系？提示：(1)能，每一類中的每一種方法都能獨立完成這件事．(2)各種方案之間相互獨立，并且任何一類方案中任何一種方法也相互獨立．分步乘法計數原理完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝__________種不同的方法．思考2：(1)定義中每一步中的每一種方法能否獨立完成這件事？(2)根據定義完成一件事的方法數怎樣計算？提示：(1)不能，每一步中的每一種方法都不能獨立完成這件事．(2)從計數上看，各步的方法數的積就是完成這一件事的方法總數．m×n

知識點2分類加法計數原理與分步乘法計數原理的區(qū)別與聯系知識點3

分類加法計數原理分步乘法計數原理關鍵詞分類分步本質每類方案都能獨立完成這件事，它是獨立的、一次性的且每次得到的是最后結果，只需一種方法就可完成這件事每一步得到的只是中間結果，任何一步都不能獨立完成這件事，缺少任何一步也不能完成這件事，只有各個步驟都完成了，才能完成這件事各類(步)的關系各類方案之間是互斥的、并列的、獨立的，即“分類互斥”各步之間是關聯的、獨立的，“關聯”確保連續(xù)性，“獨立”確保不重復，即“分步互依”

思考3：分類加法計數原理每一類中的方法和分步乘法計數原理每一步中的方法有何區(qū)別？提示：分類加法計數原理每一類中的方案可以完成一件事情，而分步乘法計數原理每一步中的方法不能獨立完成一件事情．關鍵能力?攻重難題型探究題型一分類加法計數原理

在所有的兩位數中，個位數字比十位數字大的有多少？[分析]

根據情況安排個位、十位上的數字．先確定分類標準，再求出每一類的個數，最后得出結論．[解析]

方法一：按十位上的數字分別是1,2,3,4,5,6,7,8分成八類，在每一類中滿足條件的兩位數分別有8個、7個、6個、5個、4個、3個、2個、1個．由分類加法計數原理知，滿足條件的兩位數的個數是8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36．典例1方法二：按個位上的數字分別是2,3,4,5,6,7,8,9分成八類，在每一類中滿足條件的兩位數分別有1個、2個、3個、4個、5個、6個、7個、8個．由分類加法計數原理知，滿足條件的兩位數的個數是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36．方法三：考慮兩位數的個位數字與十位數字的大小關系，利用對應思想解決．所有的兩位數共有90個，其中個位數字等于十位數字的兩位數為11,22,33，…，99，共9個．個位數字與十位數字不能調換位置的兩位數為10,20,30，…，90，共9個．剩余的72個兩位數中，將每一個“個位數字(a)小于十位數字(b)的兩位數”的個位數字與十位數字調換位置后，都有一個“個位數字(b)大于十位數字(a)的兩位數”與其對應，故滿足條件的兩位數的個數是72÷2＝36．[規(guī)律方法]

應用分類加法計數原理解題時要注意以下三點：(1)明確題目中所指的“完成一件事”

指的是什么事，怎樣才算是完成這件事．(2)完成這件事的n類辦法中的各種方法是互不相同的，無論哪類辦法中的哪種方法都可以單獨完成這件事．(3)確立恰當的分類標準，這個“標準”必須滿足：①完成這件事情的任何一種方法必須屬于其中的一類；②不同類中的方法不能相同，即不重復，無遺漏．B

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[解析]

(1)若4本中有3本語文參考書和1本數學參考書，則有4種方法，若4本中有1本語文參考書和3本數學參考書，則有4種方法，若4本中有2本語文參考書和2本數學參考書，則有6種方法，若4本都是數學參考書，則有一種方法，所以不同的贈選方法共有4＋4＋6＋1＝15(種)．(2)完成這件事需要分兩類完成：第一類：選1名男生，有38種選法；第二類：選1名女生，有18種選法，根據分類加法計數原理，共有N＝38＋18＝56(種)不同的選法．題型二分步乘法計數原理由數字0,1,2,3這四個數字，可組成多少個：(1)無重復數字的三位數？(2)可以有重復數字的三位數？[分析]

(1)數字各不相同，且百位上的數字不可為0；(2)數字可以重復，但百位上的數字不可為0．典例2[解析]

(1)分三步完成．第一步：排百位，1,2,3三個數字都可以，有3種不同的方法；第二步：排十位，除百位上已用的，其余三個數字都可以，有3種不同的方法；第三步：排個位，除百位、十位上已用的，其余兩個數字都可以，有2種不同的方法．故可組成無重復數字的三位數共3×3×2＝18(個)．(2)分三步完成．第一步：排百位，1,2,3這三個數字都可以，有3種不同的方法；第二步：排十位，0,1,2,3這四個數字都可以，有4種不同的方法；第三步：排個位，0,1,2,3這四個數字都可以，有4種不同的方法．故可組成可以有重復數字的三位數共3×4×4＝48(個)．[規(guī)律方法]

利用分步乘法計數原理解題的一般思路(1)分步：將完成這件事的過程分成若干步．(2)計數：逐一求出每一步中的方法數．(3)結論：將每一步中的方法數相乘得最終結果．【對點訓練】?

(1)現有6名同學去聽同時進行的5個課外知識講座，每名同學可自由選擇其中的一個講座，不同選法的種數是 (

)A．56 B．65C．30 D．11(2)回文數是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數．如22,121,3443,94249等．顯然2位回文數有9個：11,22,33，…，99；3位回文數有90個101,111,121，…，191,202，…，999．則5位回文數有_______個．A

900

[解析]

(1)第一名同學有5種選擇方法，第二名也有5種選擇方法，…，依次，第六名同學有5種選擇方法，綜上，6名同學共有56種不同的選法．(2)第一步，選左邊第一個數字和右邊第一個數字相同，有9種選法；第二步，選左邊第二個數字和右邊第二個數字相同，有10種選法；第三步，選左邊第三個數字就是右邊第三個數字，有10種選法，故5位回文數有9×10×10＝900，故答案為900．題型三兩個計數原理的綜合應用

現有高一學生50人，高二學生42人，高三學生30人，組成冬令營．(1)若從中選1人作總負責人，共有多少種不同的選法？(2)若每年級各選1名負責人，共有多少種不同的選法？(3)若從中推選兩人作為中心發(fā)言人，要求這兩人要來自不同的年級，則有多少種選法？[分析]

要分清是“分類”還是“分步”．(1)是分類；(2)是分步；(3)是先分類后分步．典例3[解析]

(1)從高一選1人作總負責人有50種選法；從高二選1人作總負責人有42種選法；從高三選1人作總負責人有30種選法．由分類加法計數原理，可知共有50＋42＋30＝122(種)選法．(2)從高一選1名負責人有50種選法；從高二選1名負責人有42種選法；從高三選1名負責人有30種選法．由分步乘法計數原理，可知共有50×42×30＝63000(種)選法．(3)①高一和高二各選1人作為中心發(fā)言人，有50×42＝2100(種)選法；②高二和高三各選1人作為中心發(fā)言人，有42×30＝1260(種)選法；③高一和高三各選1人作為中心發(fā)言人，有50×30＝1500(種)選法．故共有2100＋1260＋1500＝4860(種)選法．[規(guī)律方法]

利用兩個計數原理的解題策略用兩個計數原理解決具體問題時，首先，要分清是“分類”還是“分步”，區(qū)分分類還是分步的關鍵是看這種方法能否完成這件事情．其次，要清楚“分類”或“分步”的具體標準，在“分類”時要遵循“不重不漏”的原則，在“分步”時要正確設計“分步”的程序，注意步與步之間的連續(xù)性；有些題目中“分類”與“分步”同時進行，即“先分類后分步”或“先分步后分類”．【對點訓練】?將3種農作物全部種植在如圖所示的5塊試驗田里，每塊試驗田種植一種農作物，且相鄰的試驗田不能種植同一種農作物，不同的種植方法共有______種．[解析]

分別用a，b，c代表3種農作物，將試驗田從左到右依次編號為①②③④⑤．先種①號田，有3種種植方法，不妨設種植a．再種②號田，可種植b或c，有2種種植方法，不妨設種植b．42

若③號田種植c，則④⑤號田分別有2種種植方法，則不同的種植方法共有2×2＝4(種)．若③號田種植a，則④號田可種植上b或c．(1)若④號田種植c，則⑤號田有2種種植方法；(2)若④號田種植b，則⑤號田只能種植c，有1種種植方法．綜上所述，不同的種植方法共有3×2×(4＋2＋1)＝42(種)．易錯警示分步標準不清致錯甲、乙、丙、丁4名同學爭奪數學、物理、化學3門學科知識競賽的冠軍，且每門學科只有1名冠軍產生，則不同的冠軍獲得情況共有______種．64

典例4[錯解]

分四步完成這件事．第一步，第1名同學去奪3門學科的冠軍，有可能1個也沒獲得，也可能獲得1個或2個或3個，因此，共有4種不同情況．同理，第二、三、四步分別由其他3名同學去奪這3門學科的冠軍，卻各自有4種不同情況．由分步乘法計數原理知，不同的冠軍獲得情況共有4×4×4×4＝256(種)．[辨析]

用分步乘法計數原理求解對象可重復選取的問題時，哪類對象必須“用完”就以哪類對象作為分步的依據．本題中要完成的“一件事”是“爭奪3門學科知識競賽的冠軍，且每門學科只有1名冠軍產生”，而錯解中可能出現某一學科冠軍被2人、3人甚至4人獲得的情形，另外還可能出現某一學科沒有冠軍產生的情況．[正解]

由題知，研究的對象是“3門學科”，只有3門學科各產生1名冠軍，才算完成了這件事，而4名同學不一定每人都能獲得冠軍，故完成這件事分三步．第一步，產生第1個學科冠軍，它一定被其中1名同學獲得，有4種不同的獲得情況；第二步，產生第2個學科冠軍，因為奪得第1個學科冠軍的同學還可以去爭奪第2個學科的冠軍，所以第2個學科冠軍也是由4名同學去爭奪，有4種不同的獲得情況；第三步，同理，產生第3個學科冠軍也有4種不同的獲得情況．由分步乘法計數原理知，不同的冠軍獲得情況共有4×4×4＝64(種)．課堂檢測?固雙基1．(2021·山東省煙臺市期末)自2020年起，山東夏季高考成績由“3＋3”組成，其中第一個“3”指語文、數學、外語3科，第二個“3”指學生從物理、化學、生物、政治、歷史、地理6科中任選3科作為選考科目．某同學計劃從物理、化學、生物3科中任選2科，從政治、歷史、地理3科中任選1科作為選考科目，則該同學3科選考科目的不同選法的種數為 (

)A．6 B．7C．8 D．9D

[解析]

分兩步，第一步，從物理、化學、生物3科中任選2科，有3種選法，第二步，從政治、歷史、地理3科中任選1科，有3種選法．根據分步乘法計數原理可得不同選法共有3×3＝9(種)．2．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P?

Q．把滿足上述條件的一對有序整數對(x，y)作為一個點的坐標，則這樣的點的個數是 (

)A．9 B．14C．15 D．21[解析]

因為P?Q，所以分兩類．當x＝2時，y∈{3,4,5,6,7,8,9}，所以點的個數為7；當x≠2時，x＝y(tǒng)∈{3,4,5,6,7,8,9}，所以點的個數為7．則滿足題意的點共有14個．B

3．把3封信投到4個信箱，所有可能的投法共有 (

)A．