2022年新高考數(shù)列不等式的范圍與最值問(wèn)題經(jīng)典題型專題提升

數(shù)列不等式的范圍與最值問(wèn)題

一.選擇題(共3小題)

311

1.(2021秋?武昌區(qū)期末)已知數(shù)列｛〃,,｝的前〃項(xiàng)和設(shè)4=-------,7；為數(shù)列出“｝的前〃項(xiàng)

22anan+\

和，若對(duì)任意的〃wN*,不等式47；<9〃+3恒成立，則實(shí)數(shù)4的取值范圍為()

A.(-oo,48)B.(-oo,36)C.(一8,16)D.(16,+oo)

【解答】解：由題意，當(dāng)”=1時(shí)，a,=5,=1.12-1.1=1.

當(dāng)吟2時(shí)，

3131

22

=2n-2n-[2(n-l)-2(n-l)]=3n-2,

/.an=3n-2,〃￡N*.

、

貝i[b,=----1---=-----------1---------=—L(---I-------------1---)

4%(3〃-2)(3〃+1)33”23n+l,

設(shè)數(shù)列｛包｝的前〃項(xiàng)和《，則

1=4+H+???+〃

八、、、

=1(1—1)+1(/1—1)+...+L(I—1)

3434733n-23〃+1

111111、

=(1-+-+…+-)

34473H-23九+1

=1(1-1)

33〃+1

n

3〃+1

???對(duì)任意的〃￡N*,不等式27；<9〃+3恒成立，

n

二.對(duì)任意的〃eN*,不等式4?-------<9〃+3恒成立，

3〃+1

即對(duì)任意的〃cN*,不等式九<3(3〃+1廣恒成立.

n

構(gòu)造數(shù)列｛%｝:令C〃=3(3'+",〃wN*,

n

3(3〃+4)23(3〃+1)23(9"+9??-1)八

???W=1--八——L=一一,--'>°，〃cN*

n+inn(n+1)

二?數(shù)列｛%｝是單調(diào)遞增數(shù)列.

「?數(shù)列｛g｝的最小值為q=48.

A<48.

故選：A.

2.（2021?潮南區(qū)模擬）已知等差數(shù)列｛%｝中，/=9,%=17,記數(shù)列的前〃項(xiàng)和為工，若

52e-50；；；,（，*eZ）,對(duì)任意的成立，則整數(shù)機(jī)的最小值為（）

A.5B.4C.3D.2

【解答】解：設(shè)公差為d,

[a,+2d=9

由見(jiàn)=9,牝=17,得｛s,解得4=1,d=4,

⑼+44=17

afJ=4n-3,

故S=1-1----1----F...+

"594n-3

令b.=S]e-S“=---------1■…H--------

4〃+18〃+1

則％=[——!——+...+——?——]-[-^—+...+^—]=^—+^—

nl"4(n+1)+18(w+l)+l4M+18/2+18〃+58n+9

.??｛"｝是遞減數(shù)列，

，?匕1114

「?偽最大，為—I———,

15945

二根據(jù)題意,$2"+[一，

：.m的最小值為4.

故選：B.

3.（2021?宣城二模）等比數(shù)列的首項(xiàng)為正數(shù)，44”=4=1024,4―=8，若對(duì)滿足4>128的任意/,

,、加都成立，則實(shí)數(shù)〃%的取值范圍是（）

k-t

A.（-oo,-6]B.（-00,-8]C.（―,-10]D.（-8,-12]

【解答】解：由題意有可得4+左-2=12,:.k=l,.?.〃4=8.又d=1024,??.4=32,

x

.??公比4=2,an=%?qi=&x21=T-,故滿足4>128=2,的/的最小值等于9.

k+t_7+tI\=-l-；,在[9,+8)上是增函數(shù),

k-t1—tt—7t—7

k+t

故f取最小值9時(shí),7^7有最小值為-8,由題意可得-8》〃？，即實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（一℃,-8],

故選：B.

二.填空題(共4小題)

4.(2021秋?淮安期中)已知數(shù)列%=3",記數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為?；，若對(duì)任意的“eN*,區(qū)+|)珍3〃-6

恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍.

【解答】解：?.,4=3",

73(1-3")3(3"-1)

3=3向

…"22'

???(7；+|)心3〃-6,

,、3〃一62〃一4

%》----=-----

3.3〃，

~T

〃

*?,-2-(--+--1-)---4---2--/2--4-=-1--0---4-n

3〃3"|‘

-4

二?數(shù)列前3項(xiàng)單調(diào)遞增，從第3項(xiàng)起單調(diào)遞減，

2/7-42

二.當(dāng)〃=3時(shí)，數(shù)列｛———｝有最大值萬(wàn)，

故女》—.

27

2

故答案為：^―.

27

5.(2021秋?廣東月考)已知數(shù)列。｝的前〃項(xiàng)和5“=-4-(；)"-'+2(〃eN*),設(shè)數(shù)列｛Q｝滿足：

a?(C?-3")=為非零常數(shù)，nwN"),存在整數(shù)A，使得對(duì)任意nwN*，都有%>C?，則2=-1.

【解答】解：?.?5“=-。“-(；嚴(yán)+2(〃€%"),

q=S]=-q-1+2,解得q=；.

心2時(shí)，q=5“一S'T=一4「&嚴(yán)+2-[-a,--《尸+2],

變形為：2"an-2"-'al

數(shù)列｛2、〃｝是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1,公差為1.

/.2"=1+(?-1)=n,

n

??ci=

”T

?.?4((；,-3")=(-1)"9"(義為非零常數(shù)，〃eN?),

.?.^(C?-3)t)=(-ir12n,

：.(；=3"+(-1)"-九2",

存在整數(shù)A,使得對(duì)任意neN",都有q2|>Q,

3n+1+(-l)U?2n+l>3",

a

化為：（］）"T+（-i）"/i>o,

〃=2I(ZeW‘)時(shí)，2<

3

n=2kBt,A>-(1)2**'

3

.?.?2為非0整數(shù).則；l=T.

2

故答案為：-1.

/11nf

6.（2021?沈河區(qū)校級(jí)四模）數(shù)列｛4｝滿足：a,=1—+4=—,記若$2向-S"W玄對(duì)任意的

V?,；?,.+1I30

〃（〃eN+）恒成立，則正整數(shù)f的最小值為10.

【解答】解：：數(shù)列｛a,J滿足：4=l,J，+4

A，???力-I，，

數(shù)列｛4｝是以4為公差、以1為首項(xiàng)的等差數(shù)列，

易得：“；=丁=，令g（"）=S2S,,,

4〃一3

而g（”）-g（〃+1）=嗨-。黑2-%,+3=7^-7-7-77->。，為減數(shù)歹”，

4/?+18/?+58"+9

14t

所以：52M+1-S^（1）=—^―,而f為正整數(shù)，所以，%,=10

7.（2021?江西模擬）已知函數(shù)/（十）=/匕，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn),向量；=（0,1）,。“是

___COSftCOS&COSftCOSa3

向量與「的夾角,則使得而?+能+■+…+篇（，恒成立的實(shí)數(shù)’的取值范圍為念］

jr

【解答】解：根據(jù)題意得，萬(wàn)-。是直線。4的傾斜角，

7T

cos。sin(5_Q)

F，。乳卜)

=tan(；一%)

=f(n)

n

1

n(n4-2)

1)；

2n〃+2

cosO.cosO.cosO-,cos0tl

sin。、sinO2sin%sinOn

1Z1I、I111A11A1、

c(一C)+c(C-一C)

23221+4c2C3-5U)+…+c2(n〃+2

1111111

(Z11-+-+-+…+九+2）

232434n

1111、

(1+——)

22〃+1〃+2

32〃+33

=—<

4n2+3n+24'

COSacos仇cos伙cos0?

要使----1+----=+-----+…-I------<t恒成立

sin6〃id

sinqsin02sin03

3

則實(shí)處的取值范圍是

3

故答案為：叼

三.解答題（共16小題）

8.已知｛??）的前n項(xiàng)和為Sn=2a?-2（〃eN*）

（1）求｛”“｝的通項(xiàng)公式；

⑵若求⑥的前〃項(xiàng)和小

（3）若對(duì)于任意的〃eN'k>0,不等式2旭”2令2+4n+5恒成立,求％的取值范圍.

【解答】解：（1）當(dāng)〃=1時(shí)，4=2%-2,即q=2,

當(dāng)時(shí),an=S?-S?_,=(2an-2)-(2an,l-2),

故4=2%，

所以數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,

則求｛%｝的通項(xiàng)公式為q,=2";

(2)由(1)知log—=/悔2"=萬(wàn)，

1叫?！?1=/%2""="?,

]

nn+\

5?丁

4

〃(77+1)

=4(1-1),

nn+1

則｛a｝的前〃項(xiàng)和為

7>4(")+4(：-；)+…+4(1-1)

223nn+l

=4(1-1)；

〃+1

n

(3)由(1)知10gM=，嗚2"=萬(wàn),

所以2/。?4+2_2+2,

k——k-k

從而不等式2”傕必上2令2+4〃+5

k

77+2

等價(jià)于一-<n2+4?+5,

k

又發(fā)>0,則上式整理

可得加+(4k-1)〃+5k-2》0,

則△=(4k-If-4k(5k-2)

=1-4%0,

解得女》］.

9.（2021?溫州模擬）已知等差數(shù)列也｝滿足&=2,—=1,數(shù)列｛4｝的前“項(xiàng)和S"=$2-2-4,

U+4+4

neN"?

（1）求數(shù)列｛對(duì)｝、｛〃｝的通項(xiàng)公式;

AT6〃2

（2）記數(shù)列｛%"｝的前〃項(xiàng)和為7；,若存在正數(shù)k,使丁市~?對(duì)一切〃eN*恒成立，求A的取值

ann-9〃+36

范圍;

【解答】解：（1）??,數(shù)列電｝是等差數(shù)列，.?.4+々=2+4,b4+b5+b6=3b5,

及=i,得紋=i

由b5=3.

4+4+4，3瓦

_b~b,3-2|>則"=2+g(〃-3)=等;

4=2,5

又-5-3-2

：.b}=1,則5“=*2-2-4=2*2_4,

當(dāng)〃=1時(shí)，q=￡=4,

當(dāng)磋2時(shí)，a?=S?-5?_,=2"+2-4-2用+4=2n+1,

驗(yàn)證〃=1時(shí)成立，

(2)由(1)得，。,2=2向?等=(〃+1>2",

,,7；,=2x2'+3x22+4x23+...+(?+1)2",

27；,=2x22+3x23+4x24+...+(/?+l)2n+,,

23B+,

兩式作差可得:-Tn=4+2+2+...+2-(n+l)2"

=4+')-(n+1)2,,+|=-n-2,,+,,

1-2

n+,

：-Tn=n-2.

2

kT6nt

：T>〃2-9〃+36對(duì)一切“e”恒成立，

6〃k,>_________

.0.k>“對(duì)一切〃EN*恒成立，即36小對(duì)一切“cN”恒成立,

〃--9〃+36〃+----9

n

令儀”）=+36則g（"）=36/2商_9=2,當(dāng)且僅當(dāng)〃=6時(shí)等號(hào)成立.

〃+---9〃+---9、

nn

:.k>2.

故實(shí)數(shù)k的取值范圍是（2,+oo）.

3

10.（2021春?浙江期中）已知數(shù)列｛叫滿足4=3,%=萬(wàn)，且2%=3。,,-%.

（1）求證：數(shù)列他2-4｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛凡｝通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛〃”“｝的前〃項(xiàng)和為（，若7；>12-人對(duì)任意的正整數(shù)〃恒成立，求&的取值范圍.

n

【解答】解：⑴證明：=3a“-a”1，

q,+「q,_i

???數(shù)歹-4｝是首項(xiàng)為-耳，公比為5的等比數(shù)列，

a,^\-an~一3?(；)”,

即%-4=-3，(1)>a3-a2=-3*(1)2>…，an-a?-\=_3?g)"T

(磋2).

)n'1|

,則為=3彳嚴(yán)，(哈2)

等式兩邊同時(shí)相加得a?-a,=」——f—=-3+3.(-)"-'(*2)

2

又〃=1也適合上式，

.??丹=3彳產(chǎn)；

12

(2)解：???7；,=3x(i)°+6x(i)+9x(i)+...+3Hx(T),

7；,=3x(1)'+6x(l)2+...+(3n-3)x(l)1-1+3〃x(J"②，

平小111

由①-②得;<=3+3xG)i+3xG)2+...+"x(g)"T-3〃x(g)"：

=——f-—3x(-)n=6-6x(-r-3nx(-r

1-2

7；=12-(6n+12)x(l)",

又看>12-￡

n

.?">"(6"+12)(；)",

令c“=/i(6“+12)?(g)",

由%+「%=(〃+1)(6〃+18)《嚴(yán)-〃(6〃+12).(1)"=3.(1)"(3-n2),

.,.當(dāng)”=1時(shí)，c“+i>c?;當(dāng)"22時(shí)，cn+l<c?,

(GJa的=C2=12,

.\k>12.

2

11.(2021秋?沙河口區(qū)校級(jí)期中)已知數(shù)列｛4｝滿足S“=與豈，等比數(shù)列｛"｝滿足/=4,瓦=16.

(1)求數(shù)列｛%｝、數(shù)列｛b?｝的通項(xiàng)公式：

(2)求數(shù)列｛為?"｝的前〃項(xiàng)和4；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)哈2時(shí)詈三+2”-5》人恒成立，求女的取值范圍.

2*M

【解答】解：(1)數(shù)列｛4｝滿足，.?."=1時(shí)，4=工=1；心2時(shí)，

cn2+n(M-1)2+(M-1)

a?=S?—S?]=-------------------------------=n.

""22

”=1時(shí)也滿足，an=n.

設(shè)等比數(shù)列依｝的公比為4>0,,.屹=4,2=16.;.t>闖=4,刖''=16,解得b、=q=2,:也=2".

(2)an*bn=n?X.

數(shù)列｛4?瓦)的前〃項(xiàng)和7；=2+2x2?+3x2,+…+小2",

27；,=22+2x23+...+(n-l).2,,+n.2,,+l,

：.-T=2+22+...+2"~〃?2向=2。7)-w2"+l,

"2-1

.'.7；,=(n-l).2"+l+2.

(3)在(2)的條件下，當(dāng)〃22時(shí)占g+及恒成立，等價(jià)于：后或白+2"-5(“》2)恒成立.

時(shí)，3+2"一5221f當(dāng)且僅當(dāng)〃=2時(shí)取等號(hào).

,,"w?

4A

:.k的取值范圍是(ro,：].

12.(2021春?青秀區(qū)校級(jí)期末)已知數(shù)列他“｝的前〃項(xiàng)和S“=2-2-4(〃eN*),數(shù)列的,｝為等差數(shù)列，且滿

足勿+a=4,8$=3.

(1)分別求數(shù)列｛%｝、他,｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列｛C,｝滿足［=4坊“，刀,是數(shù)列￡｝的前“項(xiàng)和，若存在正實(shí)數(shù)使不等式

k(n2-9n+36)7^,>6〃2”,，對(duì)于一切的〃eN”恒成立，求k的取值范圍.

【解答】解：⑴數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和S“=2"+2-4(/1eN*),〃22時(shí)，4=5“-5?_,=2,,+2-4-(2),+|-4)=2)'+,.

3,,TI

〃=1時(shí)，=5|=2—4=4.”=1時(shí)滿^__t■式，an—2.

設(shè)等差數(shù)列｛"｝的公差為d,?.?4+%=4,々=3..?.24+44=4,優(yōu)+44=3,解得a=1,d=；.

、〃

.11/11+1

■,?^=1+2(?-)=2-

(2)C?=???/>?=(M+l)?2n.

.-.7；,=2x2+3x22+4x23+...+(n+l)?2".

27；=2x22+3x23+..,+n.2n+(n+l).2"+l,

:.-T?=4+22+23+...+2"-(〃+l).2n+,=2+2(2一(〃+l).2n+1,

2—1

可得：7；=〃?2"十二

不等式女("—9〃+36)(即不等式女(1—9〃+36)?小2〃+|>6"?2"+'化為：k>-------------.

〃--9〃+36

6<6

36c、12-9,當(dāng)且僅當(dāng)〃=6時(shí)取等號(hào).

nH-------y

n

,存在正實(shí)數(shù)k,使不等式k(/-9〃+36)7；>6").對(duì)于一切的〃eN"恒成立，

:.k>2.

即k的取值范圍為(2,+oo).

13.(2021?寶山區(qū)一模)已知數(shù)列｛“"｝的前"項(xiàng)和為S.，q=l,3%+4S,,=3(〃為正整數(shù)).

(1)求數(shù)列｛4,｝的通項(xiàng)公式；

(2)記S=q+/+…若對(duì)任意正整數(shù)〃，kS<S?恒成立，求女的取值范圍？

(3)已知集合4=｛劃f+。4。+1>,?>0｝,若以“為首項(xiàng)，。為公比的等比數(shù)列前”項(xiàng)和記為《，問(wèn)是

否存在實(shí)數(shù)a使得對(duì)于任意的〃eN",均有7；eA.若存在，求出。的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.

f3a“+i+4S“=3a,,1,

【解答】解：（1）由題意知，當(dāng)時(shí)，,/。。兩式相減變形得：—=--（?^2）

pa?+4S?_,=3an3

又“=1時(shí)，”2=一1，于是（1分）

11*

故｛4｝是以q=1為首項(xiàng)，公比g=的等比數(shù)列”“=7=h，（"eN）…（4分）

3（一力

S=]=341

（2）由14得％<1S“=1一二審=/（〃）…（5分）

1+1J（T）

QQ

當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)，/（"）是〃的增函數(shù)，于是/（〃）,”?,="2）=§,故“<§…（7分）

當(dāng)〃是奇數(shù)時(shí)，/（"）是〃的減函數(shù)，因?yàn)榘?（〃）=1,故K1.…（9分）

Q

綜上所述，k的取值范圍是（-8,§）…（io分）

a2+a-1^0

2

（3）①當(dāng)時(shí)，A=｛x|KxWa｝,T2=a+a,若《eA,則Ka+/Wa.得，。飛0

此不等式組的解集為空集.

即當(dāng)。即時(shí)，不存在滿足條件的實(shí)數(shù)。.…（13分）

②當(dāng)0<a<l時(shí)，A=｛x|aWx<l｝.

而T〃=a+〃~+…+a"=---（1—cin）是關(guān)于"的增函數(shù).

且\mathoplimlim加"一工=—^―，故1ea,—^―）.…（15分）

\-aL1-^7

0<〃<1

因此對(duì)任意的”eN",要使《6A,只需a一解得0<x：.…（18分）

----412

A-a

14.（2021秋?葫蘆島期末）已知數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，且滿足出=0,4=12,數(shù)列｛?｝的前"項(xiàng)和為月,

且4=1,%=2S“+1.

（1）求數(shù)列伍“｝的通項(xiàng)公式；

（2）證明：｛么｝是等比數(shù)列，并求也,｝的通項(xiàng)公式；

（3）若對(duì)任意的〃不等式&?（￡,+：）》見(jiàn)恒成立，求實(shí)數(shù)2的取值范圍.

【解答】解：（1）=4d=I2,，"=3,

%=4+（〃-2）d,即%=3〃-6;

（2）???ds=2S,,+l,

???￡i”=2（S「S,i）,；也7=3。（?2）,第=3（常數(shù)）,

"n

又％=2SI+1=3,%=3々也成立，

.??｛。｝是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，

.?g=3-

⑶s〃=W1-3W3n-l

i-q1-3-2

3"-11

k，Q------1■—）》3〃一6對(duì)〃wN恒成立，

22

即Z》歿3對(duì)“eN*恒成立，

人n-2n-2n-3-2"+7

令％=丁，，”_*=丁一尹=3“，

當(dāng)葭W3時(shí)，cn>c?.,,當(dāng)吟4時(shí)，c“<*,

12

，（c“）皿=C3=藥，故kN6c3=-,

2

即發(fā)的取值范圍為號(hào),+8）.

15.（2021春?東湖區(qū)校級(jí)月考）已知數(shù)列｛4｝滿足：4=1,an+,=^-a?.

22n

（1）求數(shù)列｛4,｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和S.；

（3）若集合4=｛”|2-5,,》々=/1｝中含有4個(gè)元素，求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

/?"+n

a,,1k+1

【解答】解：（1）由題意得3n4=5-------,

42n

n

又4=5也滿足上式，故〃〃=手；.........（3分）

⑵由（1）可得—=（+、+*+...+],①

lc12n-\n爾

2S"=>+牙+…++尹②

小爾e101111n.n+2

①-②，付5szi=5+齊+齊+…+亍尸=1一廣,

71+2

所以5“=2_亍..........（7分）

〃+2

(3)由(2)可得2-S.=1丁，

〃+2n+2〃+2+〃

所以2-5〃》下—XoA即加

n+nn2+n2〃

2

令f(n)="(neN").

33515

則/⑴=1,"2)=5,/(3)=p/(5)=-)

因?yàn)閥（〃+i）r（〃）=叫答由一嚶=如綺

所以，當(dāng)”》3時(shí),/(n+l)-/(n)<0,即/(“+l)</(").

22

因?yàn)榧螦含有4個(gè)元素，所以/IW2*(〃CN*),即-士》乙"€，的解的個(gè)數(shù)為4,

2〃2〃

因?yàn)?(2)=f(3)>f(4)>f(1)>f(5)>...,

.?./⑸<W(1),

二.—<?.

16

16.(2021?天津校級(jí)二模)己知數(shù)列｛4｝,q=l,前〃項(xiàng)和S“滿足〃S,用-(〃+3電=0,

(I)求｛4｝的通項(xiàng)公式；

(H)若"=4(7f,求數(shù)列((-1)也,｝的前”項(xiàng)和Tn；

(III)設(shè)1=2"(2-㈤，若數(shù)列R｝是單調(diào)遞減數(shù)列，求實(shí)數(shù)2的取值范圍.

°”

S“+]n+3

【解答】解：(I)由已知----,且S]=4=l,

當(dāng)哈2時(shí),

S,S3S”45〃+2〃5+1)(〃+2)

>,=，??...?=1??=

s,S]S,T12n-16'

，也適合，

當(dāng)〃》2時(shí)，a?=5?-5?.(=〃()，,且4也適合，

n(n+1)

,,,?！?2?

(n)d=4(%)2=(〃+1)2,設(shè)C,=(_1)"("+1)2,

n

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，a-+c?=(-ir,.n2+(—1)'“〃+ip=2〃+1,

n

~[5+(2n+l)]

n(n+3),

*=(G+c?)+(G+C4)+…GT+Q,)=5+9+...+(2〃-i)=------------

22

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，T”=T?_,+C?=(〃-D；〃+2)_(”+[)2=一"+；+4

且工=G=-4也適合.

_〃-+；+4(“為奇數(shù))

綜上得看=,

駕2(〃為偶數(shù))

(H1)C?=,使數(shù)列｛Q｝是單調(diào)遞減數(shù)列，

則Cfl+J-C,?=2"(\-----/I)<0,對(duì)〃wN,都成立,

〃+2〃+1

4-2)

則《max<'

n+2n+1

4_____2_2n_2

7n+2〃+1(n+1)(/?+2)〃+3+2,

n

---J)1

當(dāng)〃=1或2時(shí),,17max

2〃+13

17.(2021春?天津校級(jí)月考)設(shè)數(shù)列，為數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和,且S“=2a“-2向，n=l,2,3...

(I)求數(shù)列｛a“｝的通項(xiàng)公式；

(H)設(shè)a=l°g包心，數(shù)列｛"｝的前”項(xiàng)和B?,若存在整數(shù)m,使得對(duì)任意〃eN*且哈2都有％g

〃+i20

成立，求，"的最大值

IjI2

(111)設(shè)。=―^-1,證明：—+—+---+-^—<-(neN^

〃+1C2C3C“+l§

n+l

【解答】(T)M：vSn=2a?-2,

兩式相減得：cin—2?！ā?%_1—2",

,?an~2?！ㄒ粅=2",

兩邊同時(shí)除以2",可得：1^=1,

又4=5=2。1—22,

二4=4,y=2,

二|^=2+(〃-1)="+1,

=(〃+1)?2”;

(口)解：???《=5+1)?2'

b.=log紈2=bg2,2=L,

w+i〃

—B--------1--------F...H----,

3〃“n+1〃+23n

人〃、111

令/(")=ZT+Zr…+而'

1

則/(〃+])7(〃)==4----------1--------

3〃+23〃+3n+1

112

+一

3/7+13n4-23〃+3

112

>+

3〃+33n+33〃+3

=0,

即f(n+l)>f(n),

「?數(shù)歹4/(〃)為遞增數(shù)歹，

當(dāng)〃》2時(shí)，/(〃)的最小值為"2)=:+j+!+!=粵，

345620

…im19

由題意知一＜一

2020

.e.m<19,

的最大整數(shù)值為18;

(IU)證明：C“=a--1=2"-I,

H+1

11111

W

一Cfl-2-12"_2.2%，

,111

設(shè)Sc=---H-----+…+------

5YCM+I

。11,111、11“1、

則S<—+—(—+—…+—)=—+-(S--------)

Ia2GC3c?c22以'

。21212

即3<------------=-----------<—

CC3C3?

18.已知數(shù)列｛〃〃｝是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，公差為d,S〃為前〃項(xiàng)和，且滿足d=S2,“，nwN：數(shù)

列也,｝滿足",=---------,T?為數(shù)列色,｝的前”項(xiàng)和.

4總”+1

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式4,和數(shù)列出,｝的前〃項(xiàng)和T?；

(2)若對(duì)任意的〃eN",不等式幾7；,<8(-1)"-10恒成立，求實(shí)數(shù)2的取值范圍.

【解答】解：⑴=$2,ineN*，，d=所^^^)=(2〃—％,

????！ü?,?.a“=2〃-1,

,111,11、

?"一4?%一(2〃-1)(2〃+1)-22〃-12n+]'

,1、/I1、11v.1“1、〃

T—[(—)+(—)+...+z(—)]—(1—)=；

“213352n-l2n+l22n+l2〃+l

(2)???27；〈8x(—1)”—10恒成立,

n

/.2-<8x(—1)”—10恒成立,

2〃+1

①當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，有彳<-18(2+!)恒成立，解得：2<-18(2+-)=-54;

n1

②當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，有力<-2(2+3恒成立，解得：2<-2(2+-)=-5;

n2

綜合①②知：2<-54,

.?./I的取值范圍為(v,-54).

+,

19.(2021春?齊齊哈爾期中)已知數(shù)列｛?！埃凉M足4=2,a()+|-2??=2".

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)記1=(-+4〃+2",數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為(若7],+(_1嚴(yán)/<0對(duì)任意正整數(shù)“恒成立，求

—

實(shí)數(shù)義的取值范圍.

【解答】解：(1)數(shù)列｛?！埃凉M足4=2，4加-2q=2向.

.%an

??-2-〃---+-];-------2-〃----1,，

???數(shù)列快｝為等差數(shù)列，公差為1,首項(xiàng)為？=1.

祟=1+"-1=",可得：an-n?2".

.(一1)"("2+4〃+2)2"_(—1)"(，+4"+2)?2"(-1)”[(/+")+2("+1)+川(-1)"(-1)"(-1),|t|

⑵“==小2”?(”+1)?2”“=?(?+1).2"+,=+一(n+l).2"+l，

.T=i」一>1一?」+[(」■一上丫)+(上匚拉)++(w,(-ir

"21_(」)1x22x2-2x223x2,?……‘小2"(〃+1)?2向

=-%-(-、]+一匚(―嚴(yán)產(chǎn)-2」+41,

622(〃+1)?2'川33(〃+1)2

??口+(_1)“"0,一焉J嚴(yán).

①當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，一反(]嚴(yán)?

令〃")=番左(一；嚴(yán)?

3(n+1)2

則心+|)-仆)=羔^廣〃+4■嚴(yán)-n2-6〃一11八

-------------------<0,

3(〃+1)6(〃+1)(〃+2)

227

???4>一3+/(〃)〃而=-3+/°)=-12,

②當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，幾<.嚴(yán)='+/(〃).

33(〃+1)23

由①可知：/(〃)單調(diào)遞減，又當(dāng)〃-?+8時(shí)，/(/?)->0.

??:4

72

綜上可得：—五

20.(2018春?定州市校級(jí)期中)已知數(shù)列｛“"｝滿足4=1,前〃項(xiàng)和S“滿足”S“M-5+3)S“=0

(1)求｛S“｝的通項(xiàng)公式；

(2)求｛見(jiàn)｝的通項(xiàng)公式;

(3)設(shè)％=2"(：-力)，若數(shù)列｛CJ是單調(diào)遞減數(shù)列，求實(shí)數(shù)4的取值范圍

【解答】解：(1)咯+i-(〃+3)S“=0n*=5,

S”〃

S”.S,iS“S_n2n\4

,---?---?---??--2---+--?--+--?.?-

Sn.Sn2Sn,S,n-\n1'

S〃(〃+2)(〃+l)〃(〃+2)(〃+l)〃

—=-------------------=--------------------(*2),

S｝3-26'

S]=4=1滿足上式，

(〃+2)(〃+l)〃

5〃=

6

+1)(/?+2)(；2-\)n(n+1)_n(n+1)

⑵時(shí)，a=S-S_

nnn]―66~~T~

當(dāng)〃=1時(shí)，4=1符合上式,

n(n+1)

2

???｛1｝是遞減數(shù)列:NnwN”,cn+1<C?,即

774?4?

2n+'(-2)<2"(-2)=>-22<-2=>2>-,

〃+2九+1〃+2n+1n+2n+1

4242

二?只需幾〉(--——-)_設(shè)數(shù)列乩｝的通項(xiàng)公式乙=—-——-,

〃+2幾+1724-1n〃+2〃+1n

4〃(〃+1)—6n(n+2)+2(〃+1)(〃+2)4-2n

〃(幾+1)(〃+2)n(n+1)(〃+2)

.?.”>2時(shí)，t-O,即/“7小

當(dāng)”=2時(shí)，t2=tt

所以｛。｝的最大項(xiàng)為G=%=g,

21.（2021秋?下城區(qū)校級(jí)期中）已知數(shù)列｛凡｝滿足4>0,且對(duì)一切〃eN*,有a：+W+…+a；=S：,其中

9為數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和.

（1）求證：對(duì)一切nwN*,有a：”-?！?|=2sli；

（2）求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式;

J出"+i

【解答】(1)證明：?.?d+w+...+d=s3…+W+i=s：+i

兩式作差可得：

,,,(S”+i+S.)(50+1-5“)=4+1?即。“+|(S“+i+S“)=q

2

又an>0,得Sn+l+S?=an+i,則2S?+an+l=an+x

??°"+i—”"+i—2S“,

⑵解：當(dāng)心2時(shí)，由《「a用=25”及d-a“=2S,i

得3的-a“)(4,,+i+%)=??+1+4,

4川+4,>0，--a,7+1

當(dāng)〃=]時(shí)，q'=Sj=q2,q＞0,可得卬=1；

當(dāng)〃=2時(shí)，a^+a^=S^,得到1+電，=(1+生了，又生＞。，解得4=2,

-q=1,滿足4+i-q=1,

則數(shù)列｛q｝是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為4=l+(〃-l)xl=〃；

qa,4出“I1、

(3)證明：要證不等式----:---??一」＜7=成立,

。2。4

1352n-l

即證一X—X—X…X-----<

j2462nJ2〃+1，

2H-1…2462n

T.9M=-X—X—X...X-----------,/V=—X—X—X...X------------

2