2022-2023學(xué)年北師大版選擇性必修第二冊 2.7.2 實(shí)際問題中的最值問題 課件（34張）

7.2實(shí)際問題中的最值問題

生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題，通過前面的學(xué)習(xí)，知道，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大（?。┲档挠辛ぞ?，本節(jié)我們運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問題.1．了解導(dǎo)數(shù)在解決利潤最大、效率最高、用料最省等實(shí)際問題中的作用．(重點(diǎn))2．能利用導(dǎo)數(shù)求出某些實(shí)際問題的最大值(最小值)．(難點(diǎn)、易混點(diǎn))課標(biāo)要求1．通過導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．2．通過解決利潤最大、效率最高、用料最省等實(shí)際問題，提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．素養(yǎng)要求

在實(shí)際問題中，經(jīng)常會(huì)遇到解決一些如面積最小、體積最大、成本最低、時(shí)間最少等問題，這些問題通稱為最優(yōu)化問題.導(dǎo)數(shù)是解決最優(yōu)化問題的一個(gè)重要工具.探究點(diǎn)1面積、體積的最值問題

【思路點(diǎn)撥】【規(guī)律總結(jié)】例2如圖2-23(1),一邊長為48cm的正方形鐵皮，四角各截去一個(gè)大小相同的小正方形，然后折起，可以做成一個(gè)無蓋長方體容器，如圖2-23(2).所得容器的容積V(單位:cm3)是關(guān)于截去的小正方形的邊長x(單位：cm)的函數(shù).(1)隨著x的變化，容積V是如何變化的？(2)截去的小正方形的邊長為多少時(shí)，容器的容積最大？最大容積是多少?解(1)首先寫出V關(guān)于x的函數(shù)解析式.根據(jù)題意，可得V=V(x)=(48-2x)2x.由實(shí)際情況可知函數(shù)V(x)的定義域?yàn)閧x|0＜x＜24}.根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式表及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，可得v'(x)=-4x(48-2x)+(48-2x)2=(48-2x)(-6x+48)=12(x-24)(x-8).解方程 V'(x)=O,得 x1=8,x2=24.根據(jù)x1,x2,列出表2-12,分析V'(x)的符號(hào)、V(x)的單調(diào)性和極值點(diǎn).根據(jù)表2-12可知,x=8是函數(shù)V=V(x)的極大值點(diǎn)，相應(yīng)的極大值為V=V(8)=(48-16)2×8=8192(cm3).V=(48-2x)2x的大致圖象如圖2-24.根據(jù)對函數(shù)變化規(guī)律的討論可知：當(dāng)0<x≤8時(shí)，函數(shù)V=V(x)單調(diào)遞增；當(dāng)8≤x＜24時(shí)，函數(shù)V=V(x)單調(diào)遞減.(2)區(qū)間(0,24)上任意點(diǎn)的函數(shù)值都不超過V(8),因此，x=8是函數(shù)的最大值點(diǎn).此時(shí)V=V(8)=8192(cm3)是函數(shù)V=V(x)在區(qū)間(0,24)內(nèi)的最大值.即當(dāng)截去的小正方形的邊長為8cm時(shí),得到的容器容積最大，最大容積為8192cm3.例3對于企業(yè)來說，生產(chǎn)成本、銷售收入和利潤之間的關(guān)系是個(gè)重要的問題.

對一家藥品生產(chǎn)企業(yè)的研究表明,該企業(yè)的生產(chǎn)成本y(單位:萬元)和生產(chǎn)收入z(單位:萬元)都是產(chǎn)量x(單位:t)的函數(shù)，分別為y=x3-24x2+225x+10,z=180x.⑴試寫出該企業(yè)獲得的生產(chǎn)利潤ω(單位:萬元)與產(chǎn)量x之間的函數(shù)關(guān)系式；⑵當(dāng)產(chǎn)量為多少時(shí)，該企業(yè)可獲得最大利潤？最大利潤為多少？解(1)因?yàn)榭偫麧?總收入一總成本，即ω=z-y,所以ω=ω(x)=180x-(x3-24x2+225x+10),

即ω=-x3+24x2-45x-10(x≥0).(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式表及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，可得ω'(x)=3x2+48x-45=-3(x-1)(x-15).解方程 ω'(x)=0,得 X1=1,X2=15.由圖2-25可知，當(dāng)x≥15時(shí)，ω'(x)≤0,所以ω(x)<ω(15).比較x=0,x=l和x=15的函數(shù)值ω(0)=-10,ω(l)=-32,ω(15)=l340可知，函數(shù)ω=ω(x)在x=15處取得最大值，此時(shí)最大值為1340.即該企業(yè)的產(chǎn)量為15t時(shí)，可獲得最大利潤，最大利潤為1340萬元.CBB61．生活中的最優(yōu)化問題有哪些常見類型⑴利潤最大問題目標(biāo)函數(shù)是利潤，一般確定函數(shù)解析式的等量關(guān)系為利潤＝每件利潤×銷量，其中每件利潤＝每件售價(jià)－每件成本．實(shí)際問題中成本可分為兩類：可變部分(因產(chǎn)品數(shù)量變化而變化)與不變部分(不因產(chǎn)品數(shù)量變化而發(fā)生改變)．認(rèn)真審題，讀題兩遍：第一遍看完題目后根據(jù)關(guān)鍵詞確定函數(shù)模型(利潤最大問題)；第二遍讀題時(shí)應(yīng)標(biāo)清數(shù)據(jù)的地位與作用，不要張冠李戴．準(zhǔn)確確定定義域，最后用導(dǎo)數(shù)求最值⑵用料最省受一定資源限制，實(shí)際生活中有一類最優(yōu)化問題就是費(fèi)用最低、用料最省問題．通過審題將所需費(fèi)用(或幾何體的表面積等涉及用料問題的量)設(shè)為目標(biāo)變量，選擇恰當(dāng)?shù)淖宰兞?，抓住題中的等量關(guān)系，寫出函數(shù)解析式，一定要注意自變量的實(shí)際意義，準(zhǔn)確確定定義域．建立函數(shù)模型后，用導(dǎo)數(shù)法求