高中數(shù)學(xué)奧賽系列輔導(dǎo)材料數(shù)論函數(shù)教案

數(shù)論函數(shù)【內(nèi)容綜述】本講介紹數(shù)論中常有的一些函數(shù)的觀點(diǎn)、性質(zhì)及其應(yīng)用，主要有除數(shù)函數(shù)——自然數(shù)n的正因數(shù)的個數(shù)函數(shù)；——自然數(shù)

n的所有正因數(shù)的和函數(shù)；歐拉函數(shù)——設(shè)n是大于1的自然數(shù)，則歐拉函數(shù)是表示與n互素且不大于n的自然數(shù)的個數(shù)；（高斯函數(shù)或稱方括號函數(shù)[X]在下講介紹）為書寫清楚，同學(xué)們應(yīng)熟悉連加符號“”與連乘符號“”：；特別是“”表示對稱式的和；“”表示對稱式的積abc；【重點(diǎn)解說】1．約數(shù)個數(shù)函數(shù)2．約數(shù)和函數(shù)3．歐拉函數(shù)φ(n)★★§1．約數(shù)個數(shù)函數(shù)定義1設(shè)，則的正約數(shù)的個數(shù)稱為函數(shù)定理1設(shè)，且是質(zhì)數(shù)，

。

★則略證：由乘法原理，約數(shù)系由、、、的不一樣取法而生成，它們的取法分別有種（含不取該約數(shù)的

1種取法），故得證例1.求24的正約數(shù)個數(shù)。解：事實上，易求得約數(shù)分別是§2約數(shù)和函數(shù)定義設(shè)

1，2，3，4，6，8，12，24；個數(shù)正是，

8個。，則稱

的正約數(shù)和為函數(shù)

。定理

2

自然數(shù)

的正約數(shù)和函數(shù)（此中為的素數(shù)，）。略證注意到（），睜開后，其項數(shù)恰為的約數(shù)個數(shù)，又每項皆形如，可見每項皆自然數(shù)的約數(shù)且每個約數(shù)只出現(xiàn)一次，因而可知該積即例2.求780的正約數(shù)和。解：

，于是有定理

3若、證明：設(shè)∵

是互質(zhì)的自然數(shù)，即(a，b)=1，則，，故與各不同樣（i=1，2，，

，j=1，2，，m）§3.歐拉函數(shù)定義設(shè)如

（∵每個小于

互素且不大于的自然數(shù)的個數(shù)(，的自然數(shù)都與它互素）；反之可見，若

),稱為歐拉函數(shù)。易證是素數(shù)是合數(shù)，必有。對于歐拉函數(shù)

，有以下性質(zhì)定理定理４設(shè)P是素數(shù)，且則證明∵P是素數(shù)，明顯有與互素的充要條件是，即有：反之若，且知在1和之間，有以下個數(shù)是，而其他的數(shù)都與互素，進(jìn)而可知不超出

p的倍數(shù)：且與

，互素的自然數(shù)個數(shù)。當(dāng)自然數(shù)定理5

的素因數(shù)分解式中，不僅包括一個素因數(shù)時，有設(shè)大于1的自然數(shù)的素因數(shù)分解式為，此中

則有數(shù)的自然數(shù)

證明：由于素因數(shù)的個數(shù)）。

，故考慮采納數(shù)學(xué)概括法（下設(shè)

表有

k個素因（i）當(dāng)；（ii

）設(shè)

；注意到加入第個

k+1素因數(shù)

后，有，且當(dāng)于是由概括假定就有進(jìn)而時，定理建立；綜上，對隨意（★的補(bǔ)證：引理設(shè)(i)若

、、c∈N，則則,進(jìn)而可見故同理可證（ii

）若

，則存在素因數(shù)

，由同理，若再證定理

若

，則注意到并把從1到12

（★★），故中有一個數(shù)為的自然數(shù)排成長r

1時，（★★）明顯建立，現(xiàn)假定方陣：mm+1

m+2

m+r

2m2m+1

2m+2

2m+r

3m(n-1)m+1

(n-1)m+2

(n-1)m+r

nm與共有

則為上邊這組數(shù)中與互素的自然數(shù)的個數(shù)，由引理知它等于這組數(shù)中同時都互素的自然數(shù)個數(shù)。注意到(km+r，m)=(r，m)，所以當(dāng)時，第列中的每一個數(shù)都與互素，進(jìn)而這列數(shù)中共有列數(shù)與互素。下邊再證這列的每列數(shù)中，恰巧有個自然數(shù)與互素，這樣就能證明·個數(shù)，既與互素，也與互素，即定理為真。事實上，從第列看，∵，∴這列中的個數(shù)中，隨意兩個數(shù)被除時，所得余數(shù)都不會同樣。（若不然，設(shè)除同余，則此中

，，于是有序），而這

因題設(shè)）可見這第列中的個數(shù)被除的余數(shù)分別是0，1，2，3，，（個數(shù)中與互素的自然數(shù)個數(shù)正是，即第列中存在個與這就證了然。

-1）（不計順互素的數(shù)。例3求與300互素且不超出300的自然數(shù)的個數(shù)。解所求的數(shù)即解

★★★例4.試判斷能否存在自然數(shù)，使設(shè)

）則即這里應(yīng)預(yù)計到

中必有一個是奇數(shù)（不然若它們所有是偶數(shù)，則，于是但

必是

2的倍數(shù)，但它不等于

14，（否則

，只有

，且，不如令

（★★★）而7是素數(shù)，★★★式中

也是素數(shù)，因此不行能建立！

），于是只好是所以也不是建立的！綜上知，不存在。例5.試證：證明：（i）當(dāng)是奇數(shù)時，，注意到，于是ii）當(dāng)是偶數(shù)時，不如設(shè)綜i,ii，原命題建立。例6.證明的值或許是1或許是偶數(shù)，此中證明：（i）當(dāng)=1，2時，（）=1；（ii）當(dāng)>2時，若則

。是偶數(shù)；若，于是【能力訓(xùn)練】1．證明自然數(shù)的所有正約數(shù)的歐拉函數(shù)值的和為（即）2．設(shè)(m,n)d,則(mn)(m)(n)d.。(d)3．記不大于自然數(shù)而與互素的數(shù)（共，求證。參照答案【能力訓(xùn)練】1．第一注意，若自然數(shù)。這是由于不大于現(xiàn)記

而與

有條約數(shù)

的數(shù)只好是

。

，即，并注意到：不大于不大于

而與而與

以以

，于是有為最大條約數(shù)的數(shù)有為最大條約數(shù)的數(shù)有

個；個；不大于

而與

以

為最大條約數(shù)的數(shù)有

個；而任何一個不大于

的數(shù)與

最大條約數(shù)只好是

之一,于是

,即

.2．注意3.由

可見，

1與