圓冪定理 課件

1.3.1圓冪定理導(dǎo)入新課

在前面的知識(shí)當(dāng)中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了有關(guān)圓的切線定理，知道了圓的切線是一條經(jīng)過(guò)圓的半徑的外端且垂直于這條半徑的直線.APO

如圖，我們通過(guò)圓外的一點(diǎn)P作該圓的切線PC，同時(shí)，引一條割線交圓于A、B兩點(diǎn)，那么圓的切線PC與割線PA、PB

有什么關(guān)系呢？CPOAB

而對(duì)于任意位置一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P的割線交圓于A、B兩點(diǎn)，割線

PA

·

PB

的值又與哪些因素有關(guān)系呢？

這就是本節(jié)我們即將探討的問(wèn)題.OPAB教學(xué)內(nèi)容ACBDPO

如圖，弦

AB和

CD交⊙O內(nèi)一點(diǎn)P，那么，圖中相等的角有哪些？由此能得到哪兩個(gè)三角形相似？并推出哪些線段成比例呢？探究

下面，我們利用圓周角定理和弦切角定理以及相似三角形進(jìn)行討論.

如圖，AB、CD為圓O的兩條任意弦.相交于點(diǎn)P，連接AD、BC，則∠D=∠B，∠A=∠C.所以△APD∽△BPC.所以相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的

兩條線段長(zhǎng)的積相等.APPCPDBP=AP·BP=PC·PDACBDPO在相交弦定理中，有兩個(gè)特例：(1)如圖，若圓內(nèi)的兩條弦交于圓心O，則有PA

＝PB＝PC＝PD＝圓的半徑R，此時(shí)AB，

CD是直徑，相交弦定理當(dāng)然成立.ACBDO(2)如圖當(dāng)P點(diǎn)逐漸遠(yuǎn)離圓心O，運(yùn)動(dòng)到圓上時(shí)，

點(diǎn)P和B，D重合，這時(shí)PB＝PD＝O，仍然有

PA?PB＝PC?PD＝O，相交弦定理仍然成立.

ACP(

B，D

)O切割線定理：

如圖，PT為圓切線，PAB為割線.連接TA，TB，則∠PTA=∠B(弦切角等于同弧圓周角)所以△PTA∽△PBT，所以PABTPTPBPAPT=PT2=PA·PB

從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓焦點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng).下面對(duì)相交弦定理和切割弦定理作進(jìn)一步分析：

由切割線定理和相交弦定理不難看出，不論點(diǎn)P在圓內(nèi)或圓外，通過(guò)圓的任一條割線交圓于A，B兩點(diǎn)，只要點(diǎn)P的位置確定了，則

PA?PB

都是定值.PABO設(shè)定植為k，則：當(dāng)點(diǎn)P在圓外時(shí)，如圖，由切割線定理，可得k=PA?PB=PT2=PO2-r2

(

r表示⊙O的半徑

)PATOBr當(dāng)點(diǎn)P在圓內(nèi)時(shí)，

如圖，

過(guò)點(diǎn)P作AB垂直于OP，

則：k=PA?PB=PA2=r2

-PO2

(

r表示⊙O的半徑

)OABCPDr當(dāng)點(diǎn)P在圓上時(shí)，顯然k=0.

已知⊙(O，r)，通過(guò)一定點(diǎn)

的任意一條割線交圓于A，B兩點(diǎn)，則：當(dāng)點(diǎn)P在圓外時(shí)，k=PO2-r2；當(dāng)點(diǎn)P在圓內(nèi)時(shí)，k=r2-PO2；當(dāng)點(diǎn)P在⊙O上時(shí)，k=0.由上，我們可以得到：我們稱定值k為點(diǎn)

P對(duì)⊙O的

“冪”圓冪定理：例1.

已知圓中兩條弦相交，第一條弦被交點(diǎn)分為

12cm和16cm兩段，第二條弦的長(zhǎng)度為32cm，

求第二條弦被交點(diǎn)分成的兩端的長(zhǎng).例題解析解：

設(shè)第二條弦被交點(diǎn)分成的一端長(zhǎng)為

x

cm，

則另

一段長(zhǎng)為

(32–x)

cm，根據(jù)相交弦定理，有

x

(32–x)=12×16，即x2–32x+192=0.

解得x1=8或x2=24.因此

32–x1=24，32–x2=8.

另一條弦被交點(diǎn)分成的兩端長(zhǎng)分別為8cm

，24cm.例2.

已知：線段a，b(如圖)求作：線段c，使c2=ab.作法：1.作線段AP=a；2.延長(zhǎng)AP到點(diǎn)B，使PB=b；3.以AB為直徑作半圓；4.過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB，交半圓于點(diǎn)C.PC就是a，b的比列中項(xiàng)c.例3.

已知如圖，在⊙O中，C是⊙O上異于A，B的一點(diǎn)，弦AB的延長(zhǎng)線與過(guò)點(diǎn)C的切線相交于P，過(guò)B作⊙O的切線交CP于點(diǎn)D，且∠CDB=90°，CD=3，PD=4.求⊙O的弦AB的長(zhǎng).解：因?yàn)镈C切⊙O于點(diǎn)C，DB切⊙O于點(diǎn)B，所以CD=BD=3，因?yàn)椤螩DB=90°，PD=4，所以變式：

1.如圖：AE切圓于D，并和弦CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)A，

CD平分∠BDE

，

CD=7，

AD=12，

求AC的長(zhǎng).ADECB解：依題意，知AE切圓O于D，推得∠EDC=∠DBC，

又DC平分角BDE，推得∠EDC=∠BDC

，則可得

∠DBC=∠BDC

，所以△DBC是等腰三角形，BC=CD=7，由切割線定理得

AD2=AB·AC，122=(AC-7)·AC

設(shè)AC=x，122=(x-7)x

，

得

x1=16，x2=-9(舍)，

所以

AC=16.2.如圖：△ABC中，∠C=90°，

BC=2cm，

D是AC上的一點(diǎn)，以CD為直徑的圓與AB相交于E，F(xiàn)，且AE=EF=FB，求圓的直徑CD.解：設(shè)AE長(zhǎng)為x，依題意可知BC

是圓的切線，由切割線定理

得BC2=BF

·BE=22=4，又知

AE=EF=FB=x，可得

BF·BE=2x2=4，x=2

則AB=32，所以在RT△ABC中AD2=AB2-BC2

得AC=14，

又AE·AF=AD·AC，從而得到DFECBA1475CD=AC-

AD=cm3.AB是△ABC的外接圓⊙O的直徑，D是⊙O上

的一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，且DE的延長(zhǎng)線分別

交AC、

⊙O、BC于點(diǎn)F、M、G

.

(1)

求證：AE

·BE=EF

·EG.

(2)

連結(jié)BD，若BD⊥BC于且EF=MF=2，求AE、MG.

(1)證明

△AEF∽△GEB

即可.

(2)

DE⊥AB，所以DE=EM=4，連結(jié)AD，可得

△AEF∽△GEA，所以AE2=DE

·EF，所以

AE=22，由相交弦定理

DE·EM=AE

·BE

.

因?yàn)?/p>

△AEF∽△GEB

所以

EF·