4-1-2簡諧運動旋轉矢量法簡諧運動的動力學講解

波動與光學第1章振動(Vibration)生活中觀察的：搖曳的樹枝、飄蕩的小船，人類發(fā)明中的：顫動的琴弦或鼓膜，人類自身中的：聲帶、耳膜、心臟，不易感覺的：傳遞聲音的空氣分子的振動、 傳遞溫度的固體內原子的振動、 傳遞信息的天線中電子的振動……周期性過程：指不斷有規(guī)律重復的過程或狀態(tài)。以固定的時間間隔重復稱它具有時間周期性。 如，地球自轉、公轉， 血液循環(huán)、生態(tài)循環(huán)、經濟周期等。

以固定的空間段重復稱它具有空間周期性。 如，整齊排列的路燈，晶體中的晶格等。廣義振動：指系統(tǒng)狀態(tài)的時間(準)周期性。振動的主要形式：機械振動：物體在一定位置附近的往復運動。 樹枝、小船、琴弦、鼓膜、聲帶、耳膜、 空氣分子、固體原子等的振動。電磁振動：電磁量在定值附近周期性往復變化。 電流、電壓、電量、電能、磁能等周期性變化。如何研究振動呢？周期性過程：指不斷有規(guī)律重復的過程或狀態(tài)。以固定的時間間隔重復稱它具有時間周期性。 如，地球自轉、公轉。

以固定的空間段重復稱它具有空間周期性。 如，整齊排列的路燈，晶體中的晶格等。廣義振動：指系統(tǒng)狀態(tài)的時間(準)周期性。引子：振動的合成和分解方波的分解x0t0tx1t0x3t0x5t0x1+x3+x5+x00tx0任何復雜振動都是簡單運動的合成?！?.1簡諧運動的描述x(t)=Acos(t+)特點：

(1)等幅振動

(2)周期振動

x(t)=x(t+T)一.簡諧運動（SimpleHarmonicMotion） 物體在運動中，對于平衡位置的位移x按余弦規(guī)律隨時間t變化。xmoxoA-AtxT以水平彈簧振子為例輕質彈簧物塊剛性無阻力振子：可以發(fā)生振動的系統(tǒng)。圖線表示法解析表示法oTtx、

、ax2A

<0

<0>0>0a<0

>0

>0<0加速減速加速減速AA-A-A-2Aa

x(t)=Acos(t+)二.速度和加速度xmox加速度與位移成正比而反向

x(t)=Acos(t+)

1.振幅A(amplitude)偏離平衡位置的最大距離其值與運動如何開始有關三.描述簡諧運動的特征量2.周期T(period)單位時間內的振動次數振動往復一次所需時間頻率v(frequency)

表征簡諧運動的周期性。=1/T(Hz)

=2π/T(rad/s)-----角頻率ω單位時間內變化的弧度數

x(t)=x(t+T)=Acos[(t+T)+]=Acos(t++2π)

Acos(t+)反映t時刻系統(tǒng)的運動狀態(tài)(x、)。3.相位(phase)(1)(t+)是t時刻的相位若相位為0，則反映x=A,

=0；若相位為π/3，則x=A/2,

=-√3/2A;若相位為π/2，則x=0,

=-A;……相位為2π

，物體回到x=A位置。ω

=2π/T(rad/s)時間上變化一個周期，相當于相位變化2π。周期內一一對應相位，是周期振動中振子所處的階段(狀態(tài))。振動的時間周期性可以用相位來表示。

(2)是t=0時刻的相位—初相(initialphase)即，選定的初始時刻所處的階段，反映初始時刻的運動狀態(tài)(x0、0)。相位，是周期振動中振子所處的階段(狀態(tài))。振動的時間周期性可以用相位來表示。ω

=2π/T(rad/s)反映t時刻系統(tǒng)的運動狀態(tài)(x、)。3.相位(phase)(1)(t+)是t時刻的相位周期內一一對應時間上變化一個周期，相當于相位變化2π。小結：描述簡諧運動的三個特征量：A，ω，=1/T(Hz)ω

=2πv=2π/T(rad/s)簡諧運動的兩個定義相位，是周期振動中振子所處的階段(狀態(tài))。引子：伽利略對木星衛(wèi)星的觀測1610年，伽利略用他制作的望遠鏡發(fā)現了木星的4顆主要衛(wèi)星。經觀察，發(fā)現木衛(wèi)四似乎在做相對于木星圓盤中點往復運動?？v坐標是木衛(wèi)四與木星的夾角，橫坐標是相應的觀測時間。難道木衛(wèi)四是在做簡諧運動？木衛(wèi)四以基本恒定的速度在做近似的圓周運動。結論：所觀察到的簡諧運動是勻速圓周運動在運動平面內一條直線上的投影。1610年，伽利略用他制作的望遠鏡發(fā)現了木星的4顆主要衛(wèi)星。經觀察，發(fā)現木衛(wèi)四似乎在做相對于木星圓盤中點往復運動。根據他精確的記錄，發(fā)現最佳擬合曲線是余弦曲線，這強烈地暗示了簡諧運動。引子：伽利略對木星衛(wèi)星的觀測§1.2旋轉矢量與振動的相矢量長度=Axt=0xx=Acos(t+)

t=tAt+A一.旋轉矢量法

O線速度：x軸投影：法向加速度：x軸投影：旋轉矢量：x軸投影：

t=0時矢量與x軸的夾角為

以為角速度繞O點逆時針旋轉簡諧運動 是勻速圓周運動在所沿圓的直徑上的投影。相的幾何意義：振動的相(t+)，是旋轉矢量的角位置。xt=0xx=Acos(t+)

t=tAt+Ao線速度：x軸投影：法向加速度：x軸投影：旋轉矢量：x軸投影：[例題]已知簡諧運動，A=4cm，

=0.5Hz，t=1s時x=-2cm且向x正向運動，寫出振動表達式。由圖，=/3，x=4cos(t+/3)cm由題意，T=1/v=2sω=2π/T=π

x(t)=Acos(t+)簡諧運動的基本表達式：解：二.相位差(phasedifference)相位差------ 兩個相位不同的簡諧運動，稱之有相位差。兩同頻率的簡諧振動， x1

=A1cos(t+1)

和 x2=A2cos(t+2)

=(t+2)-(t+1)=2

-1相位差等于初相差；也可以說一個對另一個有相移。

x(t)=Acos(t+)2.同相和反相當=2k，(k=0，1，2，…)， 兩振動步調相同，稱同相。當=(2k+1)，(k=0，1，2，…)， 兩振動步調相反，稱反相。

-

A2xxx2ToA1-A1A2-

A2x1t反相oA1-A1A2x1x2Tt同相2.同相和反相當=2k，(k=0，1，2，…)， 兩振動步調相同，稱同相。當=(2k+1)，(k=0，1，2，…)， 兩振動步調相反，稱反相。

3.超前和落后若=2-1>0，則x2比x1較早達到正極大，稱x2比x1超前(或x1比x2落后)。x2TxoA1-A1A2-

A2x1t思考：在圖中，x1與x2兩振動誰超前？超前、落后以<的相位角來判斷。2-1>0，x2比x1超前π/21-2>0，x1比x2超前3π/2

x(t)=Acos(t+)oTtx、

、ax2A

<0

<0>0>0a<0

>0

>0<0加速減速加速減速AA-A-A-2Aa速度v比位移x超前π/2；加速度a和位移x反相。小結：簡諧運動 是勻速圓周運動在所沿圓的直徑上的投影。(t+)是時刻

t

振動的相，幾何意義是旋轉矢量的角位置。相位不同，運動狀態(tài)不同。兩同頻率簡諧運動的相差：=初相差；=

2k，同相；=

(2k+1)，反相。描述簡諧運動的三種方法：解析表示法；圖線表示法；旋轉矢量法。引子：簡諧運動的運動學與動力學前兩節(jié)討論了簡諧運動的運動學， 即，如何描述簡諧運動；下面，我們將探討簡諧運動的起因， 牛頓第二定律告訴我們， 力是運動狀態(tài)改變的原因， 因此，我們將討論簡諧運動的動力學。§1.3簡諧運動的動力學方程力和位移成正比而反向，稱恢復力。2.動力學方程xmoxF運動力運動力簡諧運動另一定義1.受力特點線性諧振子3.固有角頻率ω固有角頻率決定于振動系統(tǒng)的內在性質。2.動力學方程xmoxF其通解為：x(t)=Acos(t+)簡諧運動-----簡諧運動的動力學方程---其中，A和是由初始條件決定的積分常數比較可得k為勁度系數二階常系數線性常微分方程

4.由初始條件求振幅A和初相初始條件：t=0時的 位移x0=Acos

速度v0=-ωAsin

3.固有角頻率ω固有角頻率決定于振動系統(tǒng)的內在性質。彈簧振子：k為勁度系數振動系統(tǒng)都有，某種“彈性”要素----(k)

和“慣性”要素---(m)x(t)=Acos(t+)小結：簡諧運動的動力學方程---決定于系統(tǒng)自身性質包含彈性要素和慣性要素---簡諧運動另一定義---ω一定決定于初始條件x(t)=Acos(t+)作業(yè)：習題：1.1、1.3、1.5、1.7內容總結波動與光學。生活中觀察的：搖曳的樹枝、飄蕩的小船，。人類發(fā)明中的：顫動的琴弦或鼓膜，。人類自身中的：聲帶、耳膜、心臟，。傳遞溫度的固體內原子的振動、。傳遞信息的天線中電子的振動。周期性過程：指不斷有規(guī)律重復的過程或狀態(tài)。以固定的時間間隔重復稱它具有時間周期性。以固定的時間間隔重復稱它具有時間周期性。如，地球自轉、公轉，