高中數(shù)學第一章三角函數(shù)15正弦函數(shù)的圖像與性質151正弦函數(shù)的圖像教案數(shù)學教案

正弦函數(shù)的圖像整體設計教課剖析研究函數(shù)的性質經(jīng)常以圖像直觀為基礎,這點學生已經(jīng)有些經(jīng)驗,經(jīng)過察看函數(shù)的圖像,從圖像的特色獲取函數(shù)的性質是一個基本方法,這也是數(shù)形聯(lián)合思想的應用.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的教課也是這樣.先研究它們的圖像,在此基礎上再利用圖像來研究它們的性質.明顯,增強數(shù)形聯(lián)合是深入研究函數(shù)性質的基本要求.因為三角函數(shù)是刻畫周期變化現(xiàn)象的數(shù)學模型,這也是三角函數(shù)不一樣于其余種類函數(shù)的最重要的地方,并且關于周期函數(shù),我們只需認識清楚它在一個周期的區(qū)間上的性質,那么它的性質也就完整清楚了,所以,教科書把對周期現(xiàn)象的研究放在了本章開篇第一節(jié).因為正弦線已經(jīng)從“形”的角度描繪了三角函數(shù),所以利用單位圓中的三角函數(shù)線畫正弦函數(shù)圖像是一個自然的想法.自然,我們還能夠經(jīng)過三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)值之間的內(nèi)在聯(lián)系性等來作圖,從畫出的圖形中察看得出五個要點點,獲取“五點法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的簡圖.三維目標經(jīng)過實驗演示,讓學生經(jīng)歷圖像畫法的過程及方法,經(jīng)過對圖像的感知,形成正弦曲線的初步認識,從而研究正弦曲線正確的作法,養(yǎng)成擅長發(fā)現(xiàn)、擅長研究的優(yōu)秀習慣.學會碰到新問題時擅長調(diào)換所學過的知識,較好地運用新舊知識之間的聯(lián)系,提升剖析問題、解決問題的能力.經(jīng)過本節(jié)學習,理解正弦函數(shù)圖像的畫法.借助圖像變換,認識函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系.經(jīng)過三角函數(shù)圖像的三種畫法:描點法、幾何法、五點法,領會用“五點法”作圖給我們學習帶來的利處,并會嫻熟地畫出一些較簡單的函數(shù)圖像.經(jīng)過本節(jié)的學習,讓學生領會數(shù)學中的圖形美,體驗擅長著手操作、合作研究的學習方法帶來的成功歡樂.浸透由抽象到詳細的思想,加深數(shù)形聯(lián)合思想的認識,理解動與靜的辯證關系,建立科學的辯證唯心主義觀.要點難點教課要點:正弦函數(shù)的圖像.教課難點:將單位圓中的正弦線經(jīng)過平移轉變?yōu)檎液瘮?shù)圖像上的點.課時安排1課時教課過程導入新課思路1.(復習導入)碰到一個新的函數(shù),特別自然的是畫出它的圖像,察看圖像的形狀,看看有什么特別點,并借助圖像研究它的性質,如:值域、單一性、奇偶性、最大值與最小值等.我們也很自然的想知道y=sinx的圖像是如何的呢?回想我們在必修1中學過的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖像是什么?是如何畫出它們圖像的(列表描點法:列表、描點、連線)?從而指引學生經(jīng)過取值,畫出當x∈［0,2π］時,y=sinx的圖像.思路2.(情境導入)請學生著手做一做章頭圖表示的“簡諧運動”實驗.教師指導學生將塑料瓶底部扎一個小孔做成一個漏斗,再掛在架子上,就做成了一個簡略單擺.在漏斗下方放一塊紙板,板的中間畫一條直線作為坐標系的橫軸.把漏斗灌上沙并拉離均衡地點,松手使它擺動,同時勻速拉動紙板,這樣便可在紙板上獲取一條曲線,它就是簡諧運動的圖像.物理中把簡諧運動的圖像叫作“正弦曲線”或“余弦曲線”.它表示了漏斗對均衡地點的位移s(縱坐標)隨時間t(橫坐標)變化的狀況.有了上述實驗,你對正弦函數(shù)的圖像能否有了一個直觀的印象?畫函數(shù)的圖像,最基本的方法是我們從前熟知的列表描點法,但不夠精準.下邊我們利用正弦線畫出比較精準的正弦函數(shù)圖像.推動新課新知研究提出問題問題①:作正弦函數(shù)圖像的各點的縱坐標都是查三角函數(shù)表獲取的數(shù)值,因為對一般角的三角函數(shù)值都是近似值,不易描出對應點的精準地點.我們?nèi)绾潍@取隨意角的三角函數(shù)值并用線段長(或用有向線段數(shù)值)表示x角的三角函數(shù)值?如何獲取函數(shù)圖像上點的兩個坐標的準確數(shù)據(jù)呢?簡單地說,就是如何獲取y=sinx,x∈［0,2π］的精準圖像呢?問題②:如何獲取y=sinx,x∈R時的圖像?活動:教師先讓學生閱讀教材、思慮議論,先指引學生弄清什么是角α的正弦線.此處的難點在于為何要用正弦線來作正弦函數(shù)的圖像,如何在x軸上標橫坐標?為何將單位圓分紅12份?學生思慮研究仍不得要領時,教師可進行合時的點撥.只需解決了y=sinx,x∈［0,2π］的圖像,就很簡單獲取y=sinx,x∈R時的圖像了.對問題①,第一步,能夠想象把單位圓圓周剪開并12平分(教材中的說明中重申“所分的等份越細,畫出的圖像越精準.”),再把x軸上從0到2π這一段分紅12等份.因為單位圓周長是2π,這樣就解決了橫坐標問題.過⊙O上的各分點作x軸的垂線,就能夠獲取對應于10、、、、、、2π等角的正弦線,這樣就解決了縱坐標問題(相當于“列表”).6432第二步,把角x的正弦線向右平移,使它的起點與x軸上的點x重合,這就獲取了函數(shù)對(x,y)(相當于“描點”).第三步,再把這些正弦線的終點用光滑曲線連結起來,我們就獲取函數(shù)y=sinx在［0,2π］上的一段圓滑曲線(相當于“連線”).如圖1所示(這一過程用課件演示,讓學生認真察看如何平移和連線過程.而后讓學生著手作圖,形成對正弦函數(shù)圖像的感知).這是本節(jié)的難點,教師要和學生共同商討.圖1對問題②,因為終邊相同的角有相同的三角函數(shù)值,所以函數(shù)y=sinx在x∈［2kπ,2(k+1)π］,k∈Z且k≠0上的圖像與函數(shù)y=sinx在x∈［0,2π］上的圖像的形狀完整一致,不過地點不一樣.于是我們只需將函數(shù)y=sinx,x∈［0,2π］的圖像向左、右平行挪動(每次2π個單位長度),就能夠獲取正弦函數(shù)y=sinx,x∈R的圖像.(這一過程用課件辦理,讓同學們認真察看整個圖的形成過程,感知周期性)圖2議論結果:①利用正弦線,經(jīng)過平分單位圓及平移即可獲取y=sinx,x∈［0,2π］的圖像.②左、右平移,每次2π個長度單位即可.提出問題問題:以上方法作圖,固然精準,但不太適用,自然我們想追求快捷地畫出正弦函數(shù)圖像的方法.你以為哪些點是要點性的點?活動:對此問題,教師可指引學生從圖像的整體下手察看正弦函數(shù)的圖像,發(fā)此刻［0,2π］上有五個點起要點作用,只需描出這五個點后,函數(shù)y=sinx在［0,2π］上的圖像的形狀就基本上確立了.這五點以下:(0,0),(

,1),(

π,0),(

3

,-1),(2

π,0).2

2所以,在精準度要求不太高時

,我們經(jīng)常先找出這五個要點點

,而后用圓滑的曲線將它們連結起來,便可快速獲取函數(shù)的簡圖.這類近似的“五點(繪圖)法”是特別適用的,要求嫻熟掌握.議論結果:略.應用示例例1用五點法畫出以下函數(shù)在區(qū)間［0,2π］上的簡圖:(1)y=-sinx;(2)y=1+sinx.活動:本例的目的是讓學生會用“五點法”繪圖,并經(jīng)過獨立達成課后練習1意會畫正弦、余弦函數(shù)圖像的要領,最后達到嫻熟掌握.從實質教課來看,“五點法”繪圖易學卻難掌握,學生需練好扎實的基本功.可先讓學生按“列表、描點、連線”三步來達成.對學生出現(xiàn)的各種失誤,教師不要焦急,在學生操作中指導一一糾正,這對此后學習大有利處.解:(1)按五個要點點列表:x0π32π22y=sinx010-10y=-sinx0-1010描點并將它們用圓滑的曲線連結起來(圖3).圖3(2)按五個要點點列表:x0π32π22sinx010-101+sinx12101描點并將它們用圓滑的曲線連結起來(圖4).圖4評論:“五點法”是畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)簡圖的基本方法,本例是最簡單的變化.本例的目的是讓學生熟習“五點法”.假如是多媒體教課,要打破課件教課的互動性,多留給學生一些著手操作的時間,或許增添圖像糾錯的環(huán)節(jié),成效將會令人滿意,切不行教師繪圖學生看.達成本例后,讓學生閱讀本例下面的“思慮”,并回答如何經(jīng)過圖像變換得出要畫的圖像,讓學生從另一個角度熟習函數(shù)作圖的方法.例2畫出函數(shù)y=|sinx|,x∈R的簡圖.活動:教師指引學生察看研究y=sinx的圖像并思慮|sinx|的意義,發(fā)現(xiàn)只需將其x軸下方的圖像翻上去即可.進一步研究發(fā)現(xiàn),只需畫出y=|sinx|,x∈［0,π］的圖像,而后左、右平移(每次π個單位)就能夠獲取y=|sinx|,x∈R的圖像.讓學生試試找尋在［0,π］上哪些點起要點作用,易看出起要點作用的點有三個:(0,0),(,1),(π,0).而后列表、描點、連線,讓2學生自己獨立操作達成,對其失誤的地方再予以一一糾正.解:按三個要點點列表:x02πsinx010y=|sinx|010描點并將它們用圓滑的曲線連結起來(圖5).圖5評論:經(jīng)過本例,讓學生更深刻地理解正弦曲線及“五點法”繪圖的要義

,并進一步從圖像變換的角度認識函數(shù)之間的關系,也為下一步將要學習的周期打下伏筆

.變式訓練1.方程

sinx=

x

的根的個數(shù)為

(

)10A.7

B.8

C.9

D.10分析

:這是一個超越方程

,沒法直接求解

,可指引學生考慮數(shù)形聯(lián)合的思想方法

,將其轉變?yōu)楹瘮?shù)

y=

x的圖像與

y=sinx

的圖像的交點個數(shù)問題

,借助圖形直觀求解

.解好此題的要點是10正確地畫出正弦函數(shù)的圖像

.如圖

6,從圖中可看出圖6

,兩個圖像有

7個交點.答案:A用五點法作函數(shù)y=2sin2x的圖像時,第一應描出的五點橫坐標能夠是()A.0,,π,3,2πB.0,4,,3,π2224C.0,π,2π,3π,4πD.0,,,,26323答案:B知能訓練課本本節(jié)練習1.講堂小結以發(fā)問的方式,先由學生反省學習內(nèi)容并回答,教師再作增補完美.1.單位圓中圓心角的弧度數(shù)與正弦線的數(shù)目是如何構成圖像上點坐標的?為何將單位圓圓周12平分?有什么利處?3.如何利用“循環(huán)往復”的特色,把區(qū)間［0,2π］上的圖像擴展到整個定義域的?這節(jié)課學習了正弦函數(shù)圖像的畫法.除了代數(shù)描點法、幾何描點法以外,“五點法”作圖是比較方便、適用的方法,應嫻熟掌握.數(shù)形聯(lián)合思想、運動變化看法都是學習本課內(nèi)容的重要思想方法.作業(yè)課本習題1—5A組1、2.設計感想本節(jié)課操作性強,學生活動量較大.新課從實驗演示下手,形成圖像的感知后,升級問題,研究正弦曲線正確的作法,形成理性認識.問題設置層層深入,指引學生發(fā)現(xiàn)問題,解決問題,并對方法進行概括總結,表現(xiàn)了新課標“以學生為主體,教師為主導”的講堂教課理念.如用多媒體課件,則可生動地表現(xiàn)出函數(shù)圖像的變化過程,更好地打破難點.2.本節(jié)課所畫的圖像許多,能快速正確地畫出函數(shù)圖像對初學者來說是一個較高的要求,重在學生著手操作,不要怕學生犯錯.經(jīng)過繪圖能夠培育學生的著手能力、模擬能力.開始時要慢些,特別是“五點法”,每個點都要正確地找到,而后快速畫出圖像.本小節(jié)設置的“研究”“思慮”許多,還供給了“研究與發(fā)現(xiàn)”“信息技術應用”等拓展性欄目.教課時,應留給學生必定的時間去思慮、研究這些問題.備課資料一、備用習題1.用“五點法”畫出以下函數(shù)的圖像:(1)y=2-sinx,x∈［0,2π］;(2)y=1+sinx,x∈［0,2π］.22.如圖7中的曲線對應的函數(shù)分析式是()圖7A.y=|sinx|B.y=sin|x|C.y=-sin|x|D.y=-|sinx|參照答案:1.解:按五個要點點列表以下:x0π32π22y=2-sinx21232y=1+sinx131-11222222在直角坐標系中描出這五個點(1)如圖8.(2)如圖9.

,作出相應的函數(shù)圖像

,以以下圖所示

.圖

8

圖

92.C二、潮汐與港口水深我國東漢時期的學者王充說過“濤之興也,隨月盛衰”.唐朝學者張若虛(約660年至約720年)在他的《春江花月夜》中,更有“春江潮水連海平,海上明月共潮生”這樣的優(yōu)美詩句.先人把海水白日的上升叫作“潮”,夜晚的上升叫作“汐”.實質上,潮汐與月球、地球都相關系.在月球萬有引力的作用下,就地球的海面上的每一點而言,海水會跟著地球自己的自轉,大概在一天里經(jīng)歷兩次上升、兩次下降.因為潮汐與港口的水深有親密關系,任何一個港口的工作人員對此都十分重視,以便合理地加以利用.比如,某港口工作人員在某年陰歷八月初一從0時至24時記錄的時間t(h)與水深d(m)的關系以下:t

0

3

6

9

12

15

18

21

24D

5

7.5

5

2.5

5

7.5

5

2.5

5(1)把上表中的九組對應值用直角坐標系中的九個點表示出來

(以以下圖中實心圓點所示

),察看它們的地點關系

,不難發(fā)現(xiàn)

,我們能夠采用正弦型函數(shù)

d=5+2.5sin

t,t

∈［0,24)

來近6似地描述這個港口這天的水深

d與時間

t的關系

,并畫出簡圖

(如圖

10).圖10由此圖或利用科學計算器,能夠獲取t取其余整數(shù)時d的近似值,從而把上表細化.利用這個函