2023屆高中數(shù)學題型全面歸納13

2023屆高中數(shù)學題型全面歸納第十三章概率與統(tǒng)計

本章知識結構圖

第一節(jié)概率及其計算

考綱解讀

1.了解隨機事件發(fā)生的不確定性、頻率的穩(wěn)定性、概率的意義、頻率與概率的區(qū)別。

2.了解兩個互斥事件的概率的加法公式。

3.掌握古典概型及其概率計算公式。

4.了解隨機數(shù)的意義，能運用模擬方法估計概率。

5.了解幾何概型的意義。

命題趨勢探究

1.本部分為高考必考內容，在選擇題、填空題和解答題中都有滲透.

2.命題設置以兩種概型的概率計算及運用互斥、對立事件的概率公式為核心內容，題型及

分值穩(wěn)定，難度中等或中等以下。

知識點精講

一、必然事件、不可能事件、隨機事件

在一定條件下：

①必然要發(fā)生的事件叫必然事件；

②一定不發(fā)生的事件叫不可能事件；

③可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫隨機事件。

二、概率

在相同條件下，做次重復實驗，事件A發(fā)生次，測得A發(fā)生的頻率為，當很大時，A發(fā)

生的頻率總是在某個常數(shù)附近擺動，隨著的增加，擺動幅度越來越小，這時就把這個常數(shù)

叫做A的概率，記作。對于必然事件A,；對于不可能事件A,=0.

三、基本事件和基本事件空間

在一次實驗中，不可能再分的事件稱為基本事件，所有基本事件組成的集合稱為基本事件

空間。

四、兩個基本概型的概率公式

1、古典概型

條件：1、基本事件空間含有限個基本事件2、每個基本事件發(fā)生的可能性相同

p(A\_/包含基本事件數(shù)_ca〃(A)

(產基本事件總數(shù)--c〃d(Q)

2、幾何概型

條件：每個事件都可以看作某幾何區(qū)域Q的子集A,A的幾何度量(長度、面積、體積或時

間)記為火.

尸（4）=4.

五、互斥事件的概率

1、互斥事件

在一次實驗中不能同時發(fā)生的事件稱為互斥事件。事件A與事件B互斥，則

尸（NU8）=P（4）+尸（8）

O

2、對立事件

事件A,B互斥，且其中必有一個發(fā)生，稱事件A,B對立，記作8=1或/=巨。

尸（1）=1-P（N）

O

3、互斥事件與對立事件的聯(lián)系

對立事件必是互斥事件，即“事件A,B對立"是"事件A,B互斥”的充分不必要條件。

題型歸納及思路提示

題型176古典概型

思路提示

首先確定事件類型為古典概型，古典概型特征有二：有限個不同的基本事件及各基本事件

發(fā)生的可能性是均等的；其次計算出基本事件的總數(shù)及事件A所包含的基本事件數(shù)；最后

（包含基本事件數(shù)

計算（）一基本事件總數(shù)。

例13.1設平面向量。,“=（/〃/），bn=（2,?）,其中加,〃e{1.2,3,4}

（1）請列出有序數(shù)組（，〃,〃）的所有可能結果；

（2）若“使得金，（%一％）成立的（加,〃）為事件A,求事件A發(fā)生的概率。

分析：兩向量垂直的充要條件是兩向量的數(shù)量積為0,從而可得相與〃的關系，再從以上

（加,〃）的16個有序數(shù)組中篩選出符合條件的，即得事件A包含的基本事件個數(shù)。

解析：（1）由犯〃e{12,3,4},有序數(shù)組（肛〃）的所有可能結果為（1,1）,

（1,2）,（1,3）,（1,4），（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（3,1）,（3,2）,（3,3）,（3,4）,

（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）共16個。

（2）因為%=（加,1）,bn=（2,n）,所以=（所-2,1-〃）.Xa?,l（am-b?）,得

（/??,1）-（/?-2,1-/2）=0,即加2-2m+l-〃=0,所以〃=（加一1）-.故事件A包含的

71

基本事件有（2,1）和（3,4）,共2個，由古典概型概率計算公式得尸（/）=彳=：。

評注：①解題時，將所有基本事件全部列出是避免重復和遺漏的有效方法，注意在列舉時,

必須按照某一順序來列舉；②本題以向量為載體，利用向量的運算和關系等向量的基本知

識解決概率問題，是將兩類知識結合得較好的一道題目。

變式1[2017課標II,文11]從分別寫有1,2,345的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再

隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為

1132

A.—B.-C.—D.一

105105

【答案】D

【解析】如下表所示，表中的點橫坐標表示第一次取到的數(shù)，縱坐標表示第二次取到的數(shù)

12345

1(1.1)(1.2)(1,3)(1.4)(1,5)

2(2.1)⑵2)(2,3)(2,4)(2.5)

3(3.1)(3.2)(3.3)(3,4)(3.5)

4(4.1)(4.2)(4.3)(4,4)（4.5）

5(5.1)⑸2)(5,3)(5,4)(5.5)

總計有25種情況，滿足條件的有10種

10

所以所求概率為同=]

【考點】古典概型概率

評注：古典概型中基本事件數(shù)的探求方法

⑴列舉法.

（2）樹狀圖法：適合于較為復雜的問題中的基本事件的探求.對于基本事件有"有序"與"無序"

區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法.

⑶列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復雜的題目簡單化、抽象的題

目具體化.

變式2連拋兩次骰子的點數(shù)分別為加,〃，記向量。=（加,〃），向量3=（1,-1）,。與萬的

夾角為。，則0,1的概率是（）

575

A.氏C.—

n2126

TI

分析0e(0>y]oa*b>0m-n>0

解析連拋兩次骰子的不同點數(shù)結果是等可能事件。Card(/)=6X6=36,

A：m-n>0om>n

n=1,m=1~6；n=2,m=2~6；

n=3,m=3~6；n=4,m=4~6；

n=5,m=5~6；n=6,m=6；

217

card(A)=6+5+4+3+2+1=21,貝！|P(A)=—=—,故選C

3612

例13.212017山東，理8】從分別標有1,2,9的9張卡片中不放回地隨機抽取2

次，每次抽取1張.則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同.的概率是

解析：選擇C選項

【考點】古典概型

評注：概率問題的考查，側重于對古典概型和對立事件的概率考查，屬于簡單題.江蘇對古

典概型概率考查，注重事件本身的理解，淡化計數(shù)方法.因此先明確所求事件本身的含義，

然后一般利用枚舉法、樹形圖解決計數(shù)問題，而當正面問題比較復雜時，往往采取計數(shù)其

對立事件.

變式112017天津，文3】有5支彩筆(除顏色外無差別)，顏色分別為紅、黃、藍、綠、

紫.從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為

4321

(A)-(B)-(C)-(D)-

5555

解析試題分析：選取兩支彩筆的方法有C；種，含有紅色彩筆的選法為C：種，由古典概

C142

型公式，滿足題意的概率值為夕=—=—.本題選擇C選項.

3105

【考點】古典概型

評注：本題主要考查的是古典概型及其概率計算公式.，屬于基礎題.解題時要準確理解題

意，先要判斷該概率模型是不是古典概型，利用排列組合有關知識，正確找出隨機事件A

包含的基本事件的個數(shù)和試驗中基本事件的總數(shù)代入公式p=44?

變式212016高考江蘇卷】將一顆質地均勻的骰子（一種各個面上分別標有1,2,3,4,

5,6個點的正方體玩具）先后拋擲2次,則出現(xiàn)向上的點數(shù)之和小于10的概率是▲.

解析點數(shù)小于10的基本事件共有30種，所以所求概率為S30=35

考點：古典概型概率

評注：概率問題的考查，側重于對古典概型和對立事件的概率考查，屬于簡單題.江蘇對古

典概型概率考查，注重事件本身的理解，淡化計數(shù)方法.因此先明確所求事件本身的含義，

然后一般利用枚舉法、樹形圖解決計數(shù)問題，而當正面問題比較復雜時，往往采取計數(shù)其

對立事件.

變式312016高考上海文科】某食堂規(guī)定，每份午餐可以在四種水果中任選兩種，則甲、

乙兩同學各自所選的兩種水果相同的概率為.

解【答案】-

6

【解析】試題分析：

將4種水果每兩種分為一組，有C；=6種方法，則甲、乙兩位同學各自所選的兩種水果相同的概率為3

考點：.古典概型

評注：本題主要考查古典概型概率的計算.解答本題，關鍵在于能準確確定所研究對象

的基本事件空間、基本事件個數(shù)，利用概率的計算公式求解.本題能較好的考查考生數(shù)學應

用意識、基本運算求解能力等.

題型177幾何概型的計算

思路提示

首先確定事件類型為幾何概型并明確其幾何區(qū)域（長度、面積、體積或時間），其次計算出

基本事件區(qū)域的數(shù)值和事件A包含區(qū)域數(shù)值，最后計算

/事件區(qū)域數(shù)值（長度、面積、體積或時間）

（，一基本事件區(qū)域數(shù)值（長度、面積、體積或時間），解幾何概型問題的關鍵是

畫圖、求面積。

例13.312017課標1,理】如圖，正方形內的圖形來自中國古代的太極圖.正方形

內切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱.在正方形內隨機取一點，

則此點取自黑色部分的概率是

【答案】B

解析：幾何概型

評注：對于幾何概型的計算，首先確定事件類型為幾何概型并確定其幾何區(qū)域(長度、面

積、體積或時間)，其次計算基本事件區(qū)域的幾何度量和事件A區(qū)域的幾何度量，最后計算

尸⑷.

變式112016高考新課標1卷】某公司的班車在7:00,8:00,8:30發(fā)車,小明在7:50至8:30之

間到達發(fā)車站乘坐班車，且到達發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過10分鐘的概率

是()

(A)-(B)-(C)-(D)-

3234

.解析：如圖所示,畫出時間軸：

7:307:407:508:008:108:208:30

ACDB

小明到達的時間會隨機的落在圖中線段18中,而當他的到達時間落在線段NC或。8時，才

能保證他等車的時間不超過10分鐘根據(jù)幾何概型，所求概率P=U奪=；.故選B.

考點：幾何概型

評注：這是全國卷首次考查幾何概型，求解幾何概型問題的關鍵是確定“測度”，常見的測度

有：長度、面積、體積等.

例13.4如圖13-2所示，在邊長為1的正方形CM8C中任取一點尸，則點尸恰好取自陰影

部分的概率為()

圖13-2

1111

AA.—B.—C.-D.一

4567

解析：由題意可知，陰影部分的面積是由函數(shù)N==X圍成的幾何圖形的面積，利用

2_x2

定積分可知：S陰影-x（|y|o，又S正方形OABC=1，所以由

幾何概型知，所求的概率為P=!.故選C.

評注：利用線性規(guī)劃和積分知識求面積，是解決相關的幾何概型問題的常見方法.

變式1小波通過做游戲的方式來確定周末活動，他隨機地往單位圓內投擲一點，若此點到

圓心的距離大于L,則周末去看電影；若此點到圓心的距離小于則去打籃球；否則，

24

在家看書，則小波周末不在家看書的概率為.

7Xi?一乃X（L）2

解析因為去看電影的概率片=--------廠2—=士，

1乃4

%x（：）2<3I13

去打籃球的概率￡=—V=—,所以不在家看書的概率為l+上=上

萬x『1641616

評注：幾何概型的計算常與面積的問題有關

變式212016高考新課標2理數(shù)】從區(qū)間［0,1］隨機抽取2〃個數(shù)內，馬，…，怎，,，為，…，

外，構成"個數(shù)對（不,乂），（/，8），…，（七，州），其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共

有機個，則用隨機模擬的方法得到的圓周率》的近似值為

,、4〃,、2n,、4m/、2m

(A)—(B)—,(C)—(D)—

mmnn

圓形的面積和正方形的面積比為二瓦一=個二ni4/77

解析：利用幾何概型，=竺，所以乃=絲

S正方形4斤nn

選C.

考點：幾何概型.

評注：求解與面積有關的幾何概型時，關鍵是弄清某事件對應的面積，必要時可根據(jù)題意

構造兩個變量，把變量看成點的坐標，找到全部試驗結果構成的平面圖形，以便求解.

例13.5已知/卜）=-3?+0%—6,a,6e[0,4],a,b&R,貝!的概率為

解析幾何概型。:慌意且T+a-b>0,作出。，幺的區(qū)域圖（如圖13-5所示）

9

1O〃O9

u=4x4=16,u.=—x3x3=—廁尸（4）=^~=2=一.

°A221632

變式112017江蘇，7】記函數(shù)〃x）=&+x-丁的定義域為0.在區(qū)間”4,5］上隨機取一

個數(shù)x，則xeD的概率是.

【答案】-

9

【考點】幾何概型概率

評注：（1）當試驗的結果構成的區(qū)域為長度、面積、體積等時，應考慮使用幾何概型求解.

（2）利用幾何概型求概率時，關鍵是試驗的全部結果構成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找，

有時需要設出變量，在坐標系中表示所需要的區(qū)域.

（3）幾何概型有兩個特點：一是無限性，二是等可能性.基本事件可以抽象為點，盡管這

些點是無限的，但它們所占據(jù)的區(qū)域都是有限的，因此可用“比例解法”求解幾何概型的

概率.

例13.6甲乙兩人約定在20：00到21：00之間相見，并且先到者必須等遲到者40分鐘方

可離去，如果兩人出發(fā)是各自獨立的，在20：00到21：00各時刻相見的可能性是相等的,

求兩人在約定時間內能相見的概率。

分析由題意知，當甲乙兩人到達目的地的時間相差小于或等于40分鐘時兩人便能在約定

時間內相見。

解析設甲乙兩人分別于X時和y時到達約定地點，要使兩人能在約定時間范圍內相見，

22

當且僅當-.iB20：oo為o時，21：oo為1時，兩人到達約見地點的所有可

能時亥！l（x,y）滿足結果可用如圖13-6所示的單位正方形（包括邊界）內的點

））l0<y<l

2

來表示，兩人能在約定時間內相見的時刻（x,y）的所有可能滿足，,可用

2

y-x<—

3

如圖13-6所示的陰影部分（包括邊界）來表示。

評注：對問題中事件模型的認識與轉化是解決問題的關鍵，這里涉及兩個人的時間轉化為

二維面積問題計算.

變式1小明家的晚報在下午5:30?6：30之間的任何一個時刻隨機地被送到，小明一家

人在下午6：00?7:00之間的任何一個時刻隨機地開始晚餐。

（1）你認為晚報在晚餐開始之前被送到和在晚餐開始之后被送到哪一種可能性更大？（不

用計算）.

（2）晚報在晚餐開始之前被送到的概率是多少？

解析（1）晚報在5:30~6:00之間送到或晚餐在6:30~7:00之間開始，這兩種情況都

使得晚報被送到在晚餐開始之前，因此晚報在晚餐之前送到的可能性大。

（2）建立平面直角坐標系，x=6,x=7,y=5.5,y=6.5圍成一個正方形區(qū)域G,設晚

餐在x（6<x<7）時開始，晚報在y（5.5<夕<6.5）時被送到，這個結果與平面上的點（x,y）

對應，于是試驗的所有可能結果就與G中所有的點一一對應。由題意知每一個試驗結果出

現(xiàn)的可能性是相同的，因此，試驗屬于幾何概型。晚報在晚餐開始之前被送到，當且僅當

y<x,因此圖中的陰影區(qū)域g就表示“晚報在晚餐開始之前被送到”。容易求得g的面積

77

為一，G的面積為1,設晚報在晚餐開始之前被送到為事件4則由幾何概型P（A）=-

88

最有效訓練題53（限時40分鐘）

1、甲乙丙三人隨意坐下一排座位，乙正好坐中間的概率為（）

2、【2016高考新課標2文數(shù)】某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)

時間為40秒.若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為

（）

3、兩根相距3m的木桿上系一根拉直的繩子，并在繩子上掛一彩珠，則彩珠與兩端距離

都大于1加的概率為（）

1112

A.—B.—C.—D.一

2343

4、先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子（它們的六個面分別標有點數(shù)1,2,3,4,5,6）,骰

子朝上的面的點數(shù)分別為X/,則10g2xY=l的概率為（）

1511

B.

636122

5、在邊長為18c7〃的線段48上任取一點M,并以線段為邊作正方形，則這個正

方形的面積介于36。加2與81c加2之間的概率為（

)

6、12016高考四川文科】從2、3、8、9任取兩個不同的數(shù)值，分別記為a、b,則log“b為

整數(shù)的概率=

7、從一副混合后的撲克牌（52張）中隨機抽取1張，事件N為“抽得紅桃K”，事件8為

“抽得的是黑桃”，則概率尸（結果用最簡分數(shù)表示）.

8、【2016高考山東理數(shù)】在［-1,1］上隨機地取一個數(shù)A,則事件“直線產依與圓

（%-5）2+/=9相交”發(fā)生的概率為,

9、已知函數(shù)［（x）=aV+（b+l）x+b—l,且ae（0,3）,則對于任意的beR,函數(shù)

E（x）=總有兩個不同的零點的概率是.

10、現(xiàn)有10個數(shù)，它們能構成一個以1為首項，-3為公比的等比數(shù)列，若從這10個數(shù)中

隨機抽取一個數(shù)，則它小于8的概率是.

11、在平面直角坐標系xQy中，平面區(qū)域田中的點的坐標（x,y）滿足爐+y245,從

區(qū)域田中隨機取點/（xj）.

（1）xez,yez,求點/位于第四象限的概率；

（2）已知直線/：y=—x+b（b〉0）與圓。：x2+/=5相交所截得的弦長為JI?,求

y>-x+b的概率。

12、12017山東，文】16（本小題滿分12分）某旅游愛好者計劃從3個亞洲國家4和3

個歐洲國家8I,4,B3中選擇2個國家去旅游.

（I）若從這6個國家中任選2個，求這2個國家都是亞洲國家的概率；

（II）若從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個，求這2個國家包括4但不包括4的概率.

最有效訓練題53

A21

1、B解析尸=今=±,故選B

43

2、B解析因為紅燈持續(xù)時間為40秒.所以這名行人至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率

40-15

故選B.

8

考點：幾何概型.

評注：對于幾何概型的概率公式中的“測度”要有正確的認識，它只與大小有關，而與形狀和

位置無關，在解題時，要掌握"測度”為長度、面積、體積、角度等常見的幾何概型的求解方

法.

3、B解析設A8=3,AD=DE=EB=1,由幾何概型的公式知，“彩珠與兩端距離都大于

DF1

1m”的概率為尸=■~故選B

AB3

4、C解析由題意知，兩枚骰子的點數(shù)X,丫對應的結果(X,Y)共有6x6=36種，而滿

足bg2*y=l的所有可能有(1,2),(2,4),(3,6)三種，故所求概率為故選C

5、D解析設4c=6,AD=9,AB=18,由題意當點/W落在線段CD上時，以A/W為邊作

正方形，其面積介于36與81cm2之間，故概率為尸=_=一，故選D

186

6.-解析從2,3,8,9中任取兩個數(shù)記為a,b，作為作為對數(shù)的底數(shù)與真數(shù)，共有團=12

個不同的基本事件，其中為整數(shù)的只有Iog28,log39兩個基本事件，所以其概率

126

考點：古典概型.

評注：本題考查古典概型，解題關鍵是求出基本事件的總數(shù)，本題中所給數(shù)都可以作

為對數(shù)的底面，因此所有對數(shù)的個數(shù)就相當于4個數(shù)中任取兩個的全排列，個數(shù)為而

滿足題意的只有2個，由概率公式可得概率.在求事件個數(shù)時，涉及到排列組合的應用，

涉及到兩個有理的應用，解題時要善于分析.

71317

7、—解析P(AU5)=1=—

26525226

3

8、-解析尸奴與圓(x-5>+/=9相交，需要滿足圓心到直線的距離小于半徑，即

d=JS=<3,解得一3<k<3，而4所以所求概率=3

考點：1.直線與圓的位置關系；2.幾何概型.

9、j解析因為E(x)總有兩個不同的兩點，所以方程辦2+隊+6-1=0總有兩個不

11

等實根，即42=(-4。)2-16。=16。(。-1)<0,解得故所求概率為§

10、|解析由等比數(shù)列{4}的通項公式可知：an=(-3)"-',所以牝，4,4，心，囚0均

3

為負數(shù)，q=1<8,%=9>8,故小于8的數(shù)有6個，故概率為w

11、解析(1)當“xeZ/wZ”時，由題意可知基本事件空間為

。={(0,0),(1,0),(2,0),(1,1),(2,1),(0,1),(0,2),(1,2),(-1,1),

(—1,2),(―1?0),(—2)0),(—2,1),(―1,—1),(―1,-2)>(—2,

-1),(0,-1),(0,-2),(1,-1),(1,-2),(2,-1)供21個

設''點M(x,y)位于第四象限”為事件A,貝UA={(1,-1),(1,-2),

31

(2,-1)供3個，則。(/)=5=,

(2)由題意可知，此時此時基本事件空間為。="圓/+必=5

的面積”，設“yN-x+b"為事件B,則8="直線y=-x+b與圓

X2+/=5圍成的弓形的面積”，因為直線/：y=-x+b(b>0)與圓O：

》2+歹2=5相交弦長為后，所以圓心0：(0,0)到直線y=-x+b的距

離為d=Jy?2_(半產=乎,即，=冷，解得/)=卓，

ZPOQ=—,所以〃B=1X5X二一LxVflx亞=20.—156,

3B232212

貝|JP(6)=4~=4'一3G

12兀

12

12.(I)-；(II)-.解析利用列舉法把試驗所含的基本事件一一列舉出來,然后再求出事

59

件A中的基本事件數(shù)，利用公式。/)=求出事件A的概率.

試題解析：

(1)由題意得，從6個國家中任選兩個國家，其一切可能的結果組成的基本事件有：

{4.4},{4*4},{4,4},{4,&}，{&舄}:{4=舄}:{44}，{&3：}*{4出}，{&4},{4殳},{4易

{匹導},{4同，{匹聞，共1個.

所選兩個國家都是亞洲的事件所包含的基本事件有:

3i

{4,4},{4,4},{4,4}，共3個，所以所求事件的概率為2=點=(；

(2)從亞洲國家和歐洲國家中各任選一個，其一切可能的結果組成的基本事件有：

{4出},{4也},{4，&},{&與},{4出},{4出},{4,團,{4出},{&四}共9

個，

包含%但不包括5,的事件所包含的基本事件有{4,層},{4,a}共2個，

所以所求事件的概率為尸=W.

9

【考點】古典概型

評注：(1)對于事件Z的概率的計算，關鍵是要分清基本事件總數(shù)"與事件N包含的基本事件

數(shù),”.因此必須解決以下三個方面的問題：第一，本試驗是否是等可能的；第二,本試驗的基本

事件數(shù)有多少個；第三，事件Z是什么，它包含的基本事件有多少個.(2)如果基本事件的個數(shù)

比較少，可用列舉法把古典概型試驗所含的基本事件一一列舉出來，然后再求出事件N中的

基本事件數(shù)，利用公式P(4=求出事件/的概率，這是一個形象直觀的好方法,但列舉時必須

按照某一順序做到不重不漏.

第二節(jié)隨機變量及其分布

考綱解讀

1.理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念，了解分布列對于刻畫隨機現(xiàn)象的重

要性。

2.理解超幾何分布及其推導過程，并能進行簡單的應用。

3.了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念，理解〃次獨立重復實驗的模型及二項分布，并

能解決一些簡單的實際問題。

4.理解取有限個值的離散型變量均值，方差的概念，能計算簡單離散型隨機變量的均值、方

差，并能解決一些實際問題。

5.利用實際問題的頻率分布直方圖，了解正態(tài)分布密度曲線的特點及曲線所表示的意義。

命題趨勢探究

1.高考命題中，該部分命題形式有選擇題、填空題，但更多的是解答題。

2.主要以離散型隨機變量分布列為主體命題，計算離散型隨機變量的期望和方差，其中二項

分布與超幾何分布為重要考點，難度中等以下。

3.有關正態(tài)分布的考題多為一道小題。

知識點精講

一、條件概率與獨立事件

(1)在事件A發(fā)生的條件下，時間B發(fā)生的概率叫做A發(fā)生時B發(fā)生的條件概率，記作

P（B\A）,條件概率公式為P（8|z）=胃，

（2）若尸（用/）=尸⑶，即尸（13）=如4）P（8）,稱1與8為相互獨立事件。Z與8相

互獨立，即Z發(fā)生與否對6的發(fā)生與否無影響，反之亦然。即48相互獨立，則有公式

P（AB）=P（A）P（B）?

（3）在〃次獨立重復實驗中，事件N發(fā)生左（04左"）次的概率記作月,（左），記Z在其

中一次實驗中發(fā)生的概率為P（4）=?，則勺（左）=。：P*（1-P）”".

二、離散型隨機變量分布列、期望、方差及其性質

（1）離散型隨機變量J的分布列（如表13-1所示）.

表13-1

§???段

P

P\P12P,,

②P1+P2+…P.=l?

（2）紜表示自的期望：2=。月+專2+—+。/"，反應隨機變量的平均水平，若隨機變

量。，11滿足n=a&+b,則E?=aE(+b.

（3）2表示J的方差：2=（。-紜）2月+（3紜）2。2+~+（宗紜）2夕,,，反映隨機變

量&取值的波動性。與越小表明隨機變量越穩(wěn)定，反之越不穩(wěn)定。若隨機變量4，〃滿足

〃=必+b,則D『a2D《＜.

三、幾種特殊的分布列、期望、方差

（1）兩點分布（又稱0,1分布）

E廣P，D.=p(l-p).

（2）二項分布：若在一次實驗中事件發(fā)生的概率為p（0<p<1）,

則在〃次獨立重復實驗中恰好發(fā)生左次概率p(4=左)=

C；p”(l-p)”"(左=0,1,2》..,〃)，稱，艮從參數(shù)為〃,0的二項分布，記作4-B(n,p),

E￡=np,2=p(l-p).

(3)幾何分布：若在一次實驗中事件發(fā)生的概率為p(O(P<1),則在〃次獨立重復實

驗中，在第左次首次發(fā)生的概率為p(左)=(1—p)Jp,k=l,2,…,&=2。

(4)超幾何分布：總數(shù)為N的兩類物品，其中一類為M件，從N中取〃件恰含初中的〃?

「"I^n-m

件，機=0,1,2…，左，其中左為"與〃的較小者，P(^=m)=w,稱J服從參

數(shù)為N,M,〃的超幾何分布，記作自~,此時有公式?=也。

四、正態(tài)分布

?

(1)若X是正態(tài)隨機變量，其概率密度曲線的函數(shù)表達式為/(x)=尸」e2，,

72兀(j

X￡R(其中4,0?是參數(shù)，且b>0,-00<H<+00)?

其圖像如圖13-7所示，有以下性質：

①曲線在X軸上方，并且關于直線X=〃對稱；

②曲線在x=〃處處于最高點，并且此處向左右兩邊延伸時，逐漸降低，呈現(xiàn)“中間高，兩

邊低”的形狀；

③曲線的形狀由O■確定，b越大，曲線越“矮胖”，b越小，曲線越"高瘦”；

④/(X)圖像與X軸之間的面積為1.

圖13-7

(2)生=〃，2=6,記作J?N出吟.

當〃=0,。=1時，J服從標準正態(tài)分布，記作J?N(0,l).

(3)J?NJ,/),則J在(〃-b,"+cr),(〃-2cr,〃+2b),(〃-3cr,〃+3cr)上

取值的概率分別為68.3%,95.4%,99.7%,這叫做正態(tài)分布的3b原則。

題型歸納及思路提示

題型178概率的計算

思路提示

要分析題中事件是獨立事件、互斥事件還是對立事件，然后考慮用相應的概率公式計算，

若A,B為獨立事件，則有P（力8）=尸（力）P（8）,若A,B為互斥事件，則

P（4u8）=尸（Z）+P（8）,若A,B為對立事件，則尸（4）+P（8）=l,如果為條件概

P(AB)

率，則需選用條件概率公式尸（目/）=計算（其中A,B為兩個事件，P（B\A）

尸⑷

表示在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率）。

例13.712016高考新課標2理數(shù)】某險種的基本保費為。（單位：元），繼續(xù)購買該險種的

投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人的本年度的保費與其上年度的出險次數(shù)的關聯(lián)如下:

上年度出險次數(shù)01234>5

保費0.85。a1.256/1.5aL75Q2a

設該險種一續(xù)保人一年內出險次數(shù)與相應概率如下:

一年內出險次數(shù)01234>5

概率0.300.150.200.200.100.05

（I）求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率；

（H）若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出60%的概率；

（卬）求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值.

解析（I）設/表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”，則事件力發(fā)生當且僅

當一年內出險次數(shù)大于1,故P（/）=（）.2+0.2+0.1+0.05=0.55.

（II）設8表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費比基本保費高出60%”，則事件8發(fā)生當且

僅當一年內出險次數(shù)大于3,故P（5）=0.1+0.05=0.15.

P(AB)P(B)0.153

又P(AB)=P(B),故P(B|/)=

P(A)~P(A)~^55~U

、.3

因此所求概率為

（ni）記續(xù)保人本年度的保費為x,則x的分布列為

X0.85。a1.25〃1.5a1.75。2a

P0.300.150.200.200.100.05

EX=0.85(7x0.30+ax0.15+1.25。x0.20+1.5ax0.20+1.75ax0.10+2ax0.05

=1.23a

因此續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值為1.23

考點：條件概率，隨機變量的分布列、期望.

評注：條件概率的求法：

(1)定義法：先求尸(N)和尸(N8),再由P(掰求尸(3/)；

(2)基本事件法：當基本事件適合有限性和等可能性時，可借助古典概型概率公式，先

求事件A包含的基本事件數(shù)〃(N),再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)

"(N5),得尸(8國)=勺烏.

求離散型隨機變量均值的步驟：(1)理解隨機變量X的意義，寫出X可能取得的全部值；(2)

求X的每個值的概率；(3)寫出X的分布列；(4)由均值定義求出E(X).

變式1甲乙丙射手擊中目標的概率分別為0.6,0.7,0.8,求：

(1)甲乙丙3人各射擊一次，恰一人擊中目標的概率；

(2)3人各射擊一次，至少一次擊中目標的概率；

(3)每人射擊3次，甲乙丙擊中次數(shù)依次為1、2、3次的概率(甲乙丙每次擊中目標與否

相互獨立)。

解析記甲、乙、丙一次擊中目標事件為A、B、C

(1)所求概率P=P(ABC}+P(ABC)+P(7BC)=0.188

(2)所求概率尸=1—P(7后不)=1—0.4x0.3x0.2=0.976

(3)所求概率

P=鳥⑴6(2)4(3)=C；x0.6x0.42XC/XO.72X0.3XC/X0.83=0.065

變式2甲乙丙三人參加一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約，甲表示只要面試合

格就簽約，乙丙則約定：兩人面試都合格就一周簽約，否則兩人都不簽約，設每人面試合

格的概率都是L,且面試是否合格互不影響，求：

2

(1)至少一人面試合格的概率；

(2)沒人簽約的概率。

解析(1)解法一：用A、8、C分別表示事件甲、乙、丙面試合格，由題意知A、B、。相

互獨立，且P(/)=P(3)=P(C)=；,至少有一人面試合格的概率是

______17

1-P(ABC)=1-P(J)P(5)P(C)=1-(-)3=-

2o

解法二：三人參加招聘面試，是否合格互不影響(相互獨立)，且每人面試合格的概率都是

因此該問題可理解為三次獨立重復試驗，至少有一次發(fā)生的概率，故至少有一人合格

2

117

的概率為

22o

(2)解法一：沒有人簽約的概率為

__-----1113

P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=(-)i+(-)i+(^=-

2228

解法二：由于乙、丙兩人的簽約與否相互影響，故需同時考慮，設。表示事件“兩人

都不簽約”，則其對立事件5=8C,B,C相互獨立，故其概率為

—13—1

p(z))=i—p(o)=i—尸(8。)=1—(])2=：,甲不簽約的概率為尸(/)=5,且與乙、

-133

丙簽約與否獨立，故沒人簽約的概率為：P(AD)=L2=2

248

評注：(1)的解法一采用對立事件的概率公式顯然比直接考慮要簡單的多，對于這類

“至少”或“至多”問題，一般找到這些事件的對立事件，先求得對立事件的概率，再求

得原來事件的概率。(2)的解法一把事件“沒有人簽約”分為三個互斥事件的和，再利用

三者面試合格與否的獨立性，是簡單且容易想到的方法。(1)的解法二要充分理解獨立重

復試驗、互斥事件、獨立事件之間的關系，方能靈活正確運用。另外，利用集合思想解決

概率問題非常直觀、有效。

例13.8如圖13-8所示，EFGH是以。為圓心，半徑為1的圓的內接正方形，將一顆豆子

隨機地扔到該圓內，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內”，B表示事件“豆子落在扇

形OHE(陰影部分)內”。則(1)P(A)=;(2)P(B\A)=.

4

(2)事件46表示“豆子落在bEOH內”則

P(48)=逼也故尸(B|A)=組助=1

')S圓。2江尸(A)4

變式1從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)，事件A表示“取到的兩個數(shù)之和為偶數(shù)”,

事件B表示“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B\A)=()

1121

A.-B.—C.—D.一

8452

解析P(A)==-,P(AB)=^j-=—,P{B\A)=^^-=~,故選B

Cl5C/101P⑷4

題型179離散型隨機變量分布列、期望、方差

思路提示求離散型隨機變量概率分布列問題首先要清楚離散型隨機變量的可取值有那

些？當隨機變量取這些值時所對應的事件的概率有是多少，計算出概率值后，列出離散型

隨機變量概率分布列，最后按照數(shù)學期望公式計算出數(shù)學期望.；列出離散型隨機變量概率

分布列及計算數(shù)學期望.一般利用離散型隨機變量的數(shù)學期望的定義求期望的值，對于有些

實際問題中的隨機變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布(如二項分布

X-B(n,p)),則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式(E(X)=秋)求

得.

求解離散型隨機變量的數(shù)學期望的一般步驟為：

第一步是“判斷取值”，即判斷隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；

第二步是“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式(常見的有古典概型公式、幾

何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨立事件的概率積公式，以及對立事件的概率