2022年天津市高考數(shù)學(xué)試卷含答案解析

2022年天津市高考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共9小題，每小題5分，共45分.在每小題給出的四分選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.設(shè)全集U={-21,0,1,2},集合A={0,1,2},?={-1,2},則An(G/)=()

A.{0,1}B.{0,1,2}C.{-1,1,2}D.{0,-1,1,2}

2.“*為整數(shù)”是“2x+1為整數(shù)”的()條件

A.充分而不必要B.必要而不充分C.充要條件D.既不充分也不必要

3.函數(shù)=的圖像為()

4.為研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗(yàn)，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)(單位：kPa)的分

組區(qū)間為[12,13),[1344),[14,15),[15,16),[1647]將其按從左到右的順序分別編號為第一組第二組，..…,

第五組.右圖是根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖.已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的

有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為()

A.a>c>bB.h>c>aC.a>b>cD.c>a>b

6.(21og43+log83)(log32+log92)()

A.1B.2C.4D.6

7.拋物線方程：yz=4>/^,名尸2分別是雙曲線方程：攝-￡=l(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)，拋物線

的準(zhǔn)線過雙由線的左焦點(diǎn)『準(zhǔn)線與漸近線交于點(diǎn)4,若“F2A弋，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

8.如圖，“十字歇山”是由兩個(gè)直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三棱柱的底面形狀為頂

角為120,腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為()

A.23B.24C.26D.27

十字歇山頂

9.已知f(x)=；sin2x,關(guān)于該函數(shù)有下面四個(gè)說法：

①/⑴的最小跌期為2,;②/⑶在冊中上單調(diào)遞增；

③當(dāng)亨時(shí)，/⑶的取值范圍為邛,爭；

④f")的圖象可由g(x)=:sin(2x+￡)向左平移￡個(gè)單位長度得到.

24o

以上四個(gè)說法中，正確的個(gè)數(shù)有()

A.1B.2C.3D.4

二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個(gè)空的，答對1個(gè)的給3分，全部答對的

給5分。

10.已知，是虛數(shù)單位，化1簡1-3/*i的結(jié)果為.

11.(五+4)5展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.

X

12,直線x-y+/n=0("?>0)與圓(x-l/+。-1尸=3相交所得的弦長為〃？，則，"=.

13.52張撲克牌，沒有大小王；無放回地抽取兩次，則兩次都抽到A的概率為；已知第一次抽到的是

4,則第二次抽到A的概率為一.

14.在AABC中，聲=￡,CA=h，。是AC的中點(diǎn)，屈=2而；試用￡)表示應(yīng)為若貼,

則ZACB的最大值為.

15.設(shè)awR，對于任意實(shí)數(shù)x，記/(x)=min{|x|-2,x2-ox+3a-5}，若/(x)至少有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)”的取

值范圍為.

三、解答題：共計(jì)5題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16.在AA8C中，角A,8,C的對邊分別為a,b,c,已知a=&,b=2c,cosA=-^-.

4

(1)求c的值；

(2)求sinB的值；

(3)求sin(2A-B)的值.

17.1H棱柱ABC-%AG中，AA,=AB=AC=2,AA,A.AB,ACA-AB,D為AB、中點(diǎn),E為A4,中點(diǎn),F

為CD中點(diǎn).

(1)求證：EF〃平面ABC；

(2)求直線BE與平面CCQ夾角的正弦值；

(3)求平面48與平面CCQ二面角的余弦值.

18.設(shè)｛a,,｝是等差數(shù)列；也｝是等比數(shù)列，4=4=%%=4%=1.

(1)求｛*｝與也｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)｛*｝的前〃項(xiàng)和為S,,,求證：(5?+1+%)2=5?+1^?+|-S?b?；

2n

(3)求Z(4+i-(一1)%人也?

jfc=l

19.已知橢圓￡+￡=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為尸，右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,且滿足明=￡

a2b2|AB|2

(1)求橢圓的離心率e；

(2)直線/與橢圓有唯一公共點(diǎn)M,與.v軸相交于點(diǎn)N(N異于M),記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|。叫=|0N|,

且AM的面積為g,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

20.已知a,,函數(shù)/(x)=e*-asinx,g(x)=by/x.

(1)求函數(shù)y=/(x)在(OJ(O))處的切線方程；

(2)若y=/(x)和y=g(x)有公共點(diǎn)，求：

(i)當(dāng)a=0時(shí)，求6的取值范圍；

(ii)求證：a2+b2>e.

2022年天津市高考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共9小題，每小題5分，共45分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1:設(shè)全集。={-2,—1,0,1,2},集合A={0,1,2},B={-1,2},則AnC〃B=（）

【思路分析】由已知求得C〃8={-2,0,l}，則答案可求。

【解析】-.-B={-l,2},:.CuB={-2,0,1}.又人={0,1,2）,則AnCuB={0,1}

【試題評價(jià)】本題考察集合的交集和補(bǔ)集的知識，屬于基礎(chǔ)題。

2："x是整數(shù)'是“2x+1為整數(shù)”的（）條件

A.充分而不必要B.必要而不充分C.充要D.既不充分也不必要

【思路分析】結(jié)合實(shí)數(shù)的分類知識即可解決問題。

【解析】當(dāng)x是整數(shù)，則2x+l為整數(shù)（奇數(shù)），所以是充分條件，當(dāng)x=g時(shí)，2x+l為整數(shù)，但x不是整數(shù),

所以不是必要條件，故選：A

【試題評價(jià)】本題考察充分條件必要條件的知識，屬于基礎(chǔ)題。

3：函數(shù)/（x）=Kzll的圖像為（）

X

【思路分析】借助函數(shù)的性質(zhì)及特殊值即可解決問題。

【解析】因?yàn)?f（-x）=氏*二U=-/（x）,所以/（X）為奇函數(shù)，又當(dāng)X>1時(shí)，f（x）=x--,所以f（x）在

-XX

X€（1,+CO）上單調(diào)遞增，X€（0,l）時(shí)，fM=-X+i,所以f（X）=T+J在X€（0,l）上單調(diào)遞減，故圖像如

XX

【試題評價(jià)】本題考察函數(shù)性質(zhì)中的奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，并體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題。

07

5：已知“=207,Z?=（^）,c=log21,比較見瓦c的大?。ǎ?/p>

【思路分析】指數(shù)值與。或1,對數(shù)值與。比較大小即可。

07

【解析】因?yàn)椤?2°7>2°=1,0</?=（1）<（1）°=1,c=log2l<log2l=0，故〃>6>c

【試題評價(jià)】本題考察指數(shù)值和對數(shù)值的比較大小，解決這一類題目往往要結(jié)合單調(diào)性并借助于中間值0

或1,屬于基礎(chǔ)題。

6.化簡（21嗎3+1%3）（1%2+岷2）的值為（）

A.1B.2C.4D.6

【思路解析】用對數(shù)公式和換底公式得到答案.

【解析】因?yàn)?/p>

1143

(21og43+log83)(log32+log92)=(log23+-log23)(log32+-log32)=-log23x-|log32=2.故選：B.

【試題評價(jià)】本題考查對數(shù)運(yùn)算和換底公式，屬于基礎(chǔ)題.

7.拋物線方程：y2=445x,小鳥分別是雙曲線方程：5-F7

=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),拋物線

的準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點(diǎn)￡,準(zhǔn)線與漸近線交于點(diǎn)A,若,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

【思路解析】由題意畫出圖象，是等腰直角三角形找出等量關(guān)系.

【解析】拋物線準(zhǔn)線為，故c=E.雙曲線漸近線y=±”，不妨令A(yù)在x軸上方，則"-C,如［由

a\a)

7Thr

于/月用A=：,故一=2c可得a=l,b=2,故選。.

4a

【試題評價(jià)】本題考查圓錐曲線性質(zhì),體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

8.如圖，“十字歇山”是由兩個(gè)直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三棱柱的底面形狀為頂

角為120，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為()

A.23B.24C.26D.27

【思路解析】根據(jù)圖片抽象出圖形是由兩個(gè)三棱柱重疊的，然后根(

據(jù)幾何體的體積公式求出答案.

【解析】ACD”,ABM,ADE/,ABCG是等腰三角形，三角形的高

速，底面BCDE是邊長為3省的正方形，°

2

%=：X3GX；X3^=?,匕加E=1X36X3GX?=?，丫=2%8c=2x曰—號=27.

乙乙IJ乙乙414

故選：D.

【試題評價(jià)】本題考查幾何體體積的求法，考查學(xué)生數(shù)學(xué)的直觀抽象能力，屬于中檔題.

9.已知f(x)=jsin2x,關(guān)于該函數(shù)有下面四個(gè)說法：

①小)的最小正^期為R②/⑴在冊中上單調(diào)遞增；

③當(dāng)臼-/時(shí)，/(X)的取值范圍為［-今鄉(xiāng)；

④/(A)的圖象可由g(x)=：sin(2x+q)向左平移￡個(gè)單位長度得至IJ.

以上四個(gè)說法中，正確的個(gè)數(shù)有()

A.1B.2C.3D.4

2TT

【思路解析】正弦型三角函數(shù)."X)=Asinvvx的周期公式T=—,將WX當(dāng)作整體求三角函數(shù)單調(diào)性和值域,

w

三角函數(shù)平移變換注意左加右減針對X的變換.

27r

【解析】①/(X)的最小正周期為7=5-=%，故①錯(cuò)誤；

②方法1：當(dāng)—~2左乃W2x^—+2k=>x€——+kji,—+k兀,keZ時(shí),f(x)遞增,

又因?yàn)橐恍?口——+k7r,—+k7r,/(x)在-';，了上單調(diào)遞增，②正確；

_44JL44J'，|_44_

兀冗兀兀\J［冗

方法2：當(dāng)—9—，貝［］?=2X￡一不，5，二皿在一不，5上單調(diào)遞增，②正確；

II乙乙乙乙乙

Z-\,冗冗.c兀21/\V31，一

③當(dāng)XG--,y時(shí)，2xe-y,—,/r(x)e，③錯(cuò)I天；

④/(x)的圖象可由g(x)=；sin(2x+Y)=gsin]2717T_

X+—向右平移3個(gè)單位長度得到，④錯(cuò)誤.故

428O

選A.

【試題評價(jià)】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)：周期性、單調(diào)性、值域、平移變換，屬于中檔題.

二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個(gè)空的，答對1個(gè)的給3分，全部答對的

給5分。

11-3Z

10.已知，是虛數(shù)單位，化簡的結(jié)果為

1+2/

【思路分析】分子、分母同時(shí)乘以分母的共輾復(fù)數(shù)，進(jìn)行分母實(shí)數(shù)化，再化簡.

11-3/_(11-3z)(l-2z)_5-25/

【解析】

1+2/~(l+2z)(l-2z)-5=「5i,故填l—5i.

【試題評價(jià)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

“?(?+4)5展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.

X

5_5_5

【思路分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理，得通項(xiàng)加=仁(五13r(x-2)r=C；3r^r，

再令=0即可.

22

【解析】卻］=6(6廣'3'(x-2)，=g__|r=o,r=La2=Cx3=15.

【試題評價(jià)】本題考查二項(xiàng)式定理及展開式中的特定項(xiàng)求解，考查學(xué)生對二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)掌握情況，是

基礎(chǔ)題.

12.直線x-y+m=0O>0)與圓(工-1)2+(丁-1)2=3相交所得的弦長為機(jī)，貝!J〃z=，

【思路分析】利用弦心距、半弦長與半徑的關(guān)系求解.

【解析】(￡)2+(^)2=3=，〃2=4,7n=2

【試題評價(jià)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系中的弦長問題，是基礎(chǔ)題.

13.52張撲克牌，沒有大小王；無放回地抽取兩次，則兩次都抽到A的概率為_____；已知第一次抽到的是

A,則第二次抽到A的概率為—.

【思路分析】首先要理解無放回抽取和條件概率的區(qū)別.記第一次抽到A為事件A,第二次抽到A為事件B,

先求出第一次抽到A的概率尸⑷='，再求出兩次都抽到A的概率為

1

P(A3)=.P(同4)==翠,

2211P(A)J_17

13

【解析】記第一次抽到A為事件A,第二次抽到A為事件B,則

1

5213C；22211P(A)J_1722117

31

P(B\A)也可以這樣理解：P(B|A)=—=—

【試題評價(jià)】本題考查無放回抽取和條件概率，是中等題.

14.在AABC中，場=￡,詼=坂，。是AC的中點(diǎn)，而=2施，試用￡出表示質(zhì)為若麗_!.場,

則ZACB的最大值為.

【思路分析】利用向量的線性表示，用〃，另表示瓦.求NAG5的最大值有兩種思路，一是借助向量垂直

找出工B的關(guān)系，再借助不等式的性質(zhì),求出NAC3的范圍，從而求出最大值..二是借助解析幾何，建立平

面直角坐標(biāo)系，通過坐標(biāo)解決這個(gè)問題。

【解析】

DE=CE-Ci5^-h--a

22

NACB最大值的求法：

【解法一】：

AB=CB-CA^h-a,ABrDE^(.3h-a)-(b-a)^0

3b+a=4^-a=4p/||^|cosAACB

3b+a2閭池|G

=cosZACB=I：>—=—=>ZACBe

4耶4琲2

.?.NAC8的最大值為土.

6

【解法二】(補(bǔ)解)：如圖所示，建立坐標(biāo)系,不妨設(shè)￡(0,0),B(l,0),C(3,0),A(x,y)

■jc-j-3v.

DE=(--=

元J,福nG^)(x-l)+^-=0n(x+l)2+y2=4

A的軌跡為以M(-1,0)為圓心，以r=2為半徑的圓，當(dāng)且僅當(dāng)C4與圓相切時(shí)，ZC

【試題評價(jià)】本題考查向量的線性表示，平面向量的垂直問題，基本不等式的應(yīng)用，解析法在平面向量中

的應(yīng)用，是中等題.

15.設(shè)“eR,對于任意實(shí)數(shù)x,記/(x)=min{W-2,x2-or+3a-5},若/(x)至少有3個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)”的

取值范圍為.

【思路分析】已知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，常利用數(shù)形結(jié)合法將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交

點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，通過準(zhǔn)確畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用圖象寫出滿足條件的參數(shù)的取值范圍.

【解析】

【解法一】：令g(x)=f-ax+3a-5，令g(x)=0，貝?。莘匠蘓一依+3。—5=0的判另(I式A=〃—12a+20,

(1)當(dāng)△<()時(shí)，則函數(shù)g(x)=f+3a-5無零點(diǎn)，從而〃x)不可能有3個(gè)以上的零點(diǎn)；

(2)當(dāng)A=0時(shí),貝［|a=2或a=10,

①當(dāng)”=2時(shí)，/(x)=min{W-2,W-以+3口-5}=兇-2有2個(gè)零點(diǎn)，不符合要求；

②當(dāng)樂10時(shí)，f(x)=min{W-2,幺-依+3”5}有3個(gè)零點(diǎn)，符合要求；

(3)當(dāng)△>()時(shí)，則“V2或410,

①當(dāng)。>10時(shí)，函數(shù)g(x)=V-ax+3a-5對稱軸x=］>5,若““至少有3個(gè)零點(diǎn)，則要求

②當(dāng)aV2時(shí)，函數(shù)g(x)=x2-or+3a-5對稱軸x=^Vl，此時(shí)““只有2個(gè)零點(diǎn)，綜上所述，aNK).

【解法二】：/(x)=min||x|-2,x2-ar-3?-5)

設(shè)g(x)=V一以_3a-5,g(x)在(—8,2)U(2,+8)上的零點(diǎn)才會成為/(%)的零點(diǎn)，

±2只有在g(±2)20時(shí)才會成為/(x)的零點(diǎn)，/(x)至少有個(gè)零點(diǎn)有以下三種情況：

①g(2)<0,g(-2)>0g(x)且g(x)在(-co,2)U(2,-KO)上有兩個(gè)零點(diǎn)，

2

轉(zhuǎn)化為y==Y號—5與y=a的交點(diǎn)

6Z—1<0

-5a-l>0n此情況無解

a/或a>10

I5

?g(2)>0,g(-2)<0

且g(x)在(-oo,2)U(2,+oo)上有兩個(gè)零點(diǎn)

a-1>0

<5a-l<0n此情況無解

a」或a>10

I5

③g(2)20,g(-2)>()且g(x)在(f,2)U(2,+oo)上至少有一個(gè)零點(diǎn),

<2-1>0

-5a-l>0=>a>10綜上所述：a的取值范圍是aw[10,+8)

a<1或a210

【解法三】(補(bǔ)解)令W-2=0,x=±2,所以y=|x|-2有兩個(gè)零點(diǎn)

設(shè)g(x)=/一ax+3〃一5

因?yàn)椤癤)至少有三個(gè)零點(diǎn)，所以g(X)=V-*+3〃-5至少有2個(gè)零點(diǎn)

所以A=/-12。+20之0,即。<2或心10

因?yàn)間(x)=f-ar+3〃-5=f-5-a(x-3)

所以g⑶=32-5=4,所以g(力恒過定點(diǎn)A(3,4)

當(dāng)aNlO時(shí)，函數(shù)g(x)=x2-ar+3a-5對稱軸x=3>5,

此時(shí)g(x)在(2,位)上至少有一個(gè)零點(diǎn)，符合題意，此時(shí)a210

當(dāng)a42時(shí)，函數(shù)g(x)=V_以+3〃_5對郴由x=^Vl,

若g(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)/,貝(ja=2,且%=1,不符合題意，舍去

若g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)X、%

如果-2<%<x2<3,不符合題意，舍去

如果占<-2<X2<2,不符合題意，舍去

如果3<-2,即一2且g(-2)N0，但是無解,舍去

綜上所述，?>10.

【試題評價(jià)】本題考查根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想在解

決函數(shù)零點(diǎn)中的應(yīng)用，是難題.

三、解答題：共計(jì)5題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16.在AABC中，角A,8,C的對邊分別為a,b,c,已知°=直,b=2c,cos4=-1.

4

(1)求C的值；

(2)求sinB的值；

(3)求sin(2A-團(tuán)的值

【思路分析】先根據(jù)余弦定理的推論，求出c.再根據(jù)正弦定理求出sin8,最后再利用三角恒等變換公式求

出sin(2A-B).

【解析】(I)由余弦定理知，=f空小一’解得c

(2)由CM=」,知sirM考,因?yàn)榧?/，所以sin八普.

(3)因?yàn)閏osA=-；VO,所以A為鈍角，3為銳角，從而cos8=

sin2A=2sinAcosA=-----,cos2A=2cos2A-l=—^，所以

88

sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=.

【試題評價(jià)】本題考查正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，以及三角恒

等變換在解題中的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

17.直三棱柱A8C-A4cl中，A4,=AB=AC=2,A4,VAB,AC±AB,

D為ABt中點(diǎn)，E為A4,中點(diǎn)，F(xiàn)

為8中點(diǎn).

(I)求證：M〃平面ABC；

(2)求直線BE與平面CCQ夾角的正弦值；

(3)求平面A8與平面CCQ二面角的余弦值.

【思路分析】

(1法1.連接D8，取DB的中點(diǎn)G漣接EG,FG通過證明平面EFG//平面ABC得出EF//平面ABC;

法2.連接,取CB的中點(diǎn)G,取回的中點(diǎn)。，取AO的中點(diǎn)H,連接E4,FG,GH,\0.

先證明四邊形EFGH為平行四邊形，從而得出EF//平面ABC.

(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的，為始，AG分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系.將線面角

的求解問題轉(zhuǎn)化成法向量的求解問題，先求出平面CG。的一個(gè)法向量為〃=(021),從而得出答案；

(3)在第(2)問基礎(chǔ)上，求出平面A。。的一個(gè)法向量為后=。，0,-1),將二面角的求解問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)

半平面的法向量的夾角問題，從而解決問題.

【解析】(1)方法1：(面面平行)

如圖1,連接,取的中點(diǎn)G,連接EG,FG.

F為8中點(diǎn)，，F(xiàn)G為ADBC的中位線，,FG//BC,

,/尸GU平面ABC,8Cu平面A8C,

FG//平面ABC,

；E、G分別為M和DB中點(diǎn)?EG為梯形4配招的中位線,AEG//AB,

?；EG<z平面ABC,A3u平面ABC,

EG〃平面ABC,

尸Gp|EG=G,.?.平面EFG//平面ABC,

,/EFu平面瓦1G，二所//平面ABC.

方法2:(線面平行)

如圖1,連接，取CB的中點(diǎn)G,取他的中點(diǎn)O,取4。的中點(diǎn)"，連接E",FG,GH,At0.

在直三棱柱A8C-48G中，A4,=AB=AC=2,A4,_LAB,

四邊形OBDA是平行四邊形，.?.OB//A。且。B=A。，

?；F、G分別為CD和CB中點(diǎn)，

/.尸G為A￡>8C的中位線，,DBUFG且FG=；DB,

同理可證：EH//A^EH=；AO,

EHi/FG且EH=FG,

二四邊形￡FG”為平行四邊形，EF//G/7,

?.?斯^平面人"？,G"u平面A8C,

EF//平面ABC.

(2)^3三棱柱45。-436中，AA,=AB=AC=2,A4,J_AB,以兒為坐標(biāo)原點(diǎn)，A4,,,AG分

別為x軸,「軸，z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系.則

A(0,0,0),E(l,0,0),8(2,2,0),C,(0,0,2),C(2,0,2),0(0,1,0)

麗=(1,2,0),束=(2,0,0),QD=(O,l,-2),

設(shè)平面CCQ的法向量為3=(x,y,z),則

nlCiC伍存=0[2x=0

<__.=〈__,=〈

n±CtD[nCtD=01y-2z=0'

令y=2，則z=l,x=0,/.n=(0,2,1).

記直線BE與平面CG。夾角為e,

4

.??直線BE與平面CCQ夾角的正弦值g.

(3)由(2)得：平面CCQ的法向量為“=(0,2,1),

易得“=(2,0,2),平=(0/,0),

設(shè)平面A。的法向量為正=a，x，zj，則

m_LA。m-\C=012%+2z1=0

____=>s__=>\

ni-LA^Dm-=01X=。

令玉=1,則Z]=—1,y=0,I.機(jī)=(1,0,-1).

記平面AC。與平面CG。的夾角為。，

廂一而’

平面4。與平面ccg夾角的余弦值吟.

【試題評價(jià)】本題考查線面平行的證明，借助空間向量進(jìn)行線面角和二面角的求解，是中等題.

18.設(shè)｛叫是等差數(shù)列；也｝是等比數(shù)列,ax=bl=a2-b2=a3-b3=l.

(1)求｛%｝與也｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)｛%｝的前n項(xiàng)和為S…求證：(S〃+|+%)bn=S.也+「S.b”；

(3)求-(一1?%)￡?

k=\

【思路分析】(1)根據(jù)｛““｝是等差，｛2｝是等比轉(zhuǎn)換成基本量即可求解

(2)先根據(jù)｛%｝通項(xiàng)求出前〃項(xiàng)和為S,,,進(jìn)而求出??+1、5?+1,他,｝是等比及通項(xiàng)即可求出

bn+l,再代入要證式即可。

(3)根據(jù)問題發(fā)現(xiàn)有(-投故考慮兩項(xiàng)兩項(xiàng)合并，在利用公式求和。

【解析】(1)設(shè)｛““｝公差為d,低｝公比為q,a,=l+(--l)d也=尸

%=4=1,由4-%=%_&=1

1+d—q=1

可彳導(dǎo)4,即1=4=2(4=4=0舍去)

[l+2d-/=1

a,=2n-1,b,=r-'

(2)證明(法I)：(分析法)bm=2b,產(chǎn)0,

所以即證⑸M+%泡=Sn+ibn+i-Snbn

即證⑸+I+4什的=(2%-S，M

即證5,川+4用=2S”+「S”

即證。,用=￡用-5“(顯然成立)

(法2)有(1)知S.=〃(1+；"T)="2

所以要證左邊為⑸”+a“+M,=((〃+1)2+2"+1&1=(〃2+4〃+2)2"T

要證右邊為-S也=(〃+1)2X2"-〃2X2“T=(〃2+4〃+2)2"T

所以問題得證。

（3）根據(jù)題意知（。2〃一（一1）"'。21）砥一1+（。2々+1一（一1）”〃2人）/

=（4攵-1+4攵-3）x+[4%+1—（44-3）]x22k=kx4k+]

2n

所以Z4+「(T)Z)d

&=i

=—(T)"+(“2"1-(一

2=1

=*x4&=S〃

k=i

s“=1x42+2x43+3x44+--+〃x4"+i

4S?=0+lx43+2x44+3x45+---+(n-l)x4n+2

35=42+43+44+---+nx4),+2=4(1-4-nx4',+2

n1-4

0(3n-l)4n+2+16

a=-------------

"9

/八/、,(3n-l)4,,+2+16

???Z(/+1一(一1)4)/=-------------

k=],

【試題評價(jià)】等差數(shù)列、等比的概念、等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前"和是本題的主要考

查點(diǎn)，這些知識點(diǎn)屬于新課程標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)列這部分內(nèi)容的基本要求。試題考查考生借助基本

量（首項(xiàng)和前幾項(xiàng)）求解等差等比數(shù)列的能力，考查內(nèi)容是數(shù)列的基礎(chǔ)知識，形式是考生

熟悉的，所求結(jié)論也是考生常見的試題的解題思路多樣，但不同的方法能很好地區(qū)分各個(gè)

層次考生的邏輯思維能力。試題出現(xiàn)在基本題部分，可以有效緩解考生考試的緊張情緒，

增強(qiáng)考生的考試信心，促使考生正常發(fā)揮。

19:已知橢圓方程探+￡=1,尸為右焦點(diǎn)，人為右頂點(diǎn)，B為上頂點(diǎn)，相=手

（1）求橢圓離心率e

（2）已知直線/與橢圓有唯一交點(diǎn)例，直線/交）'軸于點(diǎn)N,\OM\=\ON\,AOMN面積為g,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方

程.

瑞=日轉(zhuǎn)化為橢圓的參數(shù)之間等量關(guān)系進(jìn)而可以求出離心率；第二問先由橢圓和

【思路分析】第一問由

直線方程聯(lián)立，橢圓和直線的唯一交點(diǎn)M的橫縱坐標(biāo)均用所設(shè)直線方程中參數(shù)k和m表示，再通過

|OM|=|ON|及SM）MN=6兩個(gè)條件找到k和m兩個(gè)等式進(jìn)而求出m值后解出橢圓方程。

【解析】（1）S====3（/r+?:）=>6/2=3/72

|陰揚(yáng)+°2揚(yáng)+/2

所以e=￡

a

（2）由（1）可知橢圓方程為爐+3丁=/,^■l：y=kx+m

聯(lián)立「2322，得（1+3左之）％2+6hnr+（3>一/）=0

由A=36k2nr-4（1+3k2）（3nr-a2）=0=>3nr=a2（l+3爐）

_-3hn_m

X,"~]+3k2，y,"-1+3〃

由|。閭=|。叫,且Ss=6,得，/=（蔑]+]&了

所以病=4，所以〃=6,從=2

22

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，+5=1

o2

【試題評價(jià)】本題考察橢圓的基本性質(zhì)及平面解析幾何問題中的一些運(yùn)算和等價(jià)轉(zhuǎn)換，第二問體現(xiàn)出非常

強(qiáng)的數(shù)形結(jié)合思想，在天津市高考試題中屬于中等難度題。

20.已知a,beR,函數(shù)/(x)=e*-〃sinx,g(x)=b&.

(1)求函數(shù)y=/(x)在(0,〃0))處的切線方程；

(2)若y=/(x)和y=g(x)有公共點(diǎn)，求：

(i)當(dāng)。=()時(shí)，求b的取值范圍；

(ii)求證：cr+b2>e.

【思路分析】第一問易求；常規(guī)基礎(chǔ)題，重點(diǎn)分析第二問；第二問的第一問用兩種方法；方法一是主要考

察轉(zhuǎn)化與劃歸思想、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；把兩個(gè)函數(shù)有交點(diǎn)的問題轉(zhuǎn)化為方程有解，進(jìn)而構(gòu)造新函數(shù)，

利用隱零點(diǎn)技術(shù)進(jìn)行巧妙代換，從而實(shí)現(xiàn)所求取值范圍；方法二是而難點(diǎn)是最后一個(gè)小問，將從三個(gè)維度

進(jìn)行分析，一是柯西不等式，經(jīng)過巧妙構(gòu)造之后利用放縮得證；二是基本不等式以及利用不等式的放縮來

處理；三是線性規(guī)劃；數(shù)形結(jié)合同時(shí)利用函數(shù)的凸凹性等等；以上方法在處理不等式問題時(shí)都是常用方法。

【解析】(1)由已知得/(0)=lja)=e'-acosx"'(0)=l-。故而切線方程

y=(l—a)x+l;

(2)(i)【解法一】：由已知得y=/(x)和y=g(x)有公共點(diǎn),即/(x)=g(x)有解,

故設(shè)h(x)=ex-b4x化為〃(x)=0有解，易知b>0;

又h'（x）=ex——設(shè)p（x）=h（x）=ex——P（x）=e'+>0

2Vx2\/x4Vx3

故y="(x)在定義域上單調(diào)遞增；

當(dāng)x趨近于。時(shí)，"(x)f；當(dāng)*趨近于+8時(shí)，+8；

故存在％,使方(%)=0，即*-—1==0=>b=2yIx°e

2也（）

此時(shí)，〃(?="一五在(0,%)單調(diào)遞減,(%,+00)單調(diào)遞增；

〃(幻min=力(玉))，問題轉(zhuǎn)化為力(。何。即可；

又〃(飛—將泊-2加-,。(1-2心。八弓

且。=2y[x^eXo,易知當(dāng)小2；時(shí)，b=2"；e">2ge?=42e

h>V2e

故實(shí)數(shù)人的取值范圍是：〃4后什⑹

【解法二】：由題意彳導(dǎo)k(x)=e'—6五有解，k'(x)="一一，,b>0

2\jx

2xx2

且yy=F■在(0,+8)上有解，設(shè)〃(X)=F-，〃，加=乒>0,

則方。)=(1一制"、，當(dāng)0<x<l時(shí)，/z(x)>O,//(x)=上—m單調(diào)遞增；當(dāng)x>l時(shí)

ex

A(x)<0,h(x)---m