2023新高考新版數(shù)學(xué)高考第二輪復(fù)習(xí)-8.4 空間角與距離、空間向量及應(yīng)用

2023新高考新教材版數(shù)學(xué)高考第二輪復(fù)習(xí)

8.4空間角與距離、空間向量及應(yīng)用

考點(diǎn)一空間角與距離

1.（2014課標(biāo)n,11,5分）直三棱柱ABC-ABG中，NBCA=90°,M,N分別是A,B,.AC的中點(diǎn),BC=CA=CG,則BM與AN所成角的余弦

值為（)

±

A’10B-l

,?石V30

答案C解法一:以C,為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)BC=CA=CC,=2,則A(2,0⑵，N(1,0,0),M(1,1,0),B(0,2,2),

.,前=(-1,0,-2),前=(1,-1,-2),

AN-JM-1+43A/30

.,.cos<A/V,BM>=----...-----------故選C.

\AN\\BM\V5xV6V3010

解法二:取BC的中點(diǎn)Q,連接QN,AQ,易知BM〃QN,則NANQ即為所求,

設(shè)BC=CA=CC,=2,

貝！IAQ=d5,AN=A/5,QN=V6,

AN2+NQ2-AQ25+6-56V30

.?.cosNANQ、2AN-NQ為方而,

故選C.

2.（2013北京,8,5分）如圖,在正方體ABCD-A,B,C,D；中,P為對(duì)角線BD,的三等分點(diǎn),P到各頂點(diǎn)的距離的不同取值有（）

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AH

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

答案B過(guò)P作平面ABCD、ABCD的垂線分別交DM、DB于E、F點(diǎn)，易知P也是EF的三等分點(diǎn)，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,則

PA,=PC,=a;PD,=|V3a;PB=^ya;PB^^ya,PA=PC=^a;PD=a.故有4個(gè)不同的值.故選B.

思路分析設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,利用正方體中的直角三角形分別計(jì)算P到各頂點(diǎn)的距離即可.

解后反思本題考查了線面的垂直關(guān)系、空間想象力及運(yùn)算能力.構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵.

3.(2012陜西,5,5分)如圖,在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱ABC-ABC,CA=CC,=2CB,則直線BC與直線ABi夾角的余弦值為

()

答案A不妨設(shè)CB=1,則B(0,0,l),A(2,0,0),G(0,2,0),Bi(0,2,1).

.?.西=(0,2,T),福=(-2,2,1).

c。國(guó)'麗＞二點(diǎn)焉恐若'故選兒

評(píng)析本題考查利用空間坐標(biāo)運(yùn)算求異面直線所成的角,考查了運(yùn)算求解能力.

4.（2016課標(biāo)I,理11,文11,5分）平面a過(guò)正方體ABCD-ABCD的頂點(diǎn)A,a〃平面CB,D?aC平面ABCD=m,aC平面ABB,A,=n,

則m,n所成角的正弦值為()

第2頁(yè)共56頁(yè)

,V3?V2八V3z1

A.—B.—C.—D.-

2233

答案A如圖，延長(zhǎng)BA至A、使AA=BA,延長(zhǎng)DA至As,使'A尸DA,連接AA2,AA3,A2AA,B,A,D.易證AA2//A,B//D,C,AA^A.D

〃BC

二平面AAA〃平面CBD,即平面AA；A,為平面a.

于是m//AA?直線AA制為直線n.顯然有AA產(chǎn)AA,=A次,于是m,n所成的角為60。,其正弦值為弓.選A.

5.（2014大綱全國(guó)理,11,5分）已知二面角aT邛為60°,ABca,ABU,A為垂足,Cl）cp.Cel,NACD=135°,則異面直線AB與CD

所成角的余弦值為（）

A工

比4

答案B在平面a內(nèi)過(guò)點(diǎn)C作CE〃AB,則NECD為異面直線AB與CD所成的角（或其補(bǔ)角），不妨取CE=1,過(guò)點(diǎn)E作EO，0于點(diǎn)

0.

在平面B內(nèi)過(guò)點(diǎn)0作0H1CD于點(diǎn)H,連接EH,則EH1CI）.

因?yàn)锳B〃CE,AB_L1,所以CE_L1,又因?yàn)镋0J_B，所以CO_L1.

所以NECO為二面角a-1邛的平面角,即NEC0=60°.

因?yàn)镹ACD=135°,CD_LL所以N0CH=45°.

在RtAECO中,CO=CEcosZECO=lxcos60。=；.

在RtACOH中,CH=COcosZOCH=-cos45°--.

返r

在RtAECH中,cosNECH="^=-^~=-^.

CE14

所以異面直線AB與CI）所成角的余弦值為空.選B.

4

6.（2014大綱全國(guó)文,4,5分）已知正四面體ABCI）中,E是AB的中點(diǎn)則異面直線CE與BI）所成角的余弦值為（）

.1.6八1V3

A.-B.—C.-Dr.—

6633

答案B如圖，取AD的中點(diǎn)F,連接EF、CF.

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BD

1

因?yàn)镋、F分別是AB、AD的中點(diǎn)所以EF/），故/CEF或其補(bǔ)角是異面直線CE、BD所成的角.

直直西也故選

V31I

設(shè)正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a,易知CE=CF=ya,EF-a.在4CEF中，由余弦定理可得cosZCEF-

2x^ax|a6

B.

7.（2016課標(biāo)I,理11,文11,5分）平面a過(guò)正方體ABCD-ABCD的頂點(diǎn)A,a〃平面CBD,aC平面ABCD=m,an平面ABBiA產(chǎn)n,

則叫n所成角的正弦值為（）

V3V2V31

A.B.--C.'D.-

2233

答案A如圖，延長(zhǎng)BA至缸使AA=BA,延長(zhǎng)D,A,至A：,,使AA=DA,連接AA2）AA“A>A3,A,B,A,D.易證AA?〃A,B〃DCAA3/7A,D

〃BC

二平面AAA〃平面CB.Di,即平面AAA為平面a.

于是m〃AA,直線AAz即為直線n.顯然有AA;=AA:1=A2A3,于是m,n所成的角為60°,其正弦值為:■.選A.

8.（2014大綱全國(guó)理,11,5分）已知二面角a-1千為60°,ABca,AB±1,A為垂足,CDcp.Cel,ZACD=135°,則異面直線AB與CD

所成角的余弦值為（）

答案B在平面a內(nèi)過(guò)點(diǎn)C作CE〃AB,則NECD為異面直線AB與CD所成的角（或其補(bǔ)角），不妨取CE=1,過(guò)點(diǎn)E作EOJ.B于點(diǎn)

0.

在平面B內(nèi)過(guò)點(diǎn)0作0H1CD于點(diǎn)H,連接EH,則EH±CD.

因?yàn)锳B/7CE,ABU,所以CEI1,又因?yàn)镋OJ_0,所以C011.

所以NEC0為二面角a-1邛的平面角,即NEC0=60°.

因?yàn)镹ACD=135°,CD±1,所以N0CH=45°.

在RtAECO中,CO=CEcosZECO=lxcos60°=去

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在RtACOH中,CH=COcosZOCH=|cos45°耳

V21

在RtAECH中,cosZKCH=-—.

CE14

所以異面直線AB與CD所成角的余弦值為華.選B.

q

9.（2014大綱全國(guó)文,4,5分）已知正四面體ABCD中,E是AB的中點(diǎn)，則異面直線CE與BD所成角的余弦值為（）

B片八百

A1C*

6DT

答案B如圖，取AD的中點(diǎn)F,連接EF、CF.

因?yàn)镋、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，所以EF刎故NCEF或其補(bǔ)角是異面直線CE、BD所成的角.

V3

設(shè)正四面體ABQ）的棱長(zhǎng)為a,易知CE=CF=ya,EF=-a.在4CEF中,由余弦定理可得cosZCEE=?故選

o

B.

10.（2015浙江,13,5分）如圖,在三棱推A-BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,點(diǎn)M,N分別為AD,BC的中點(diǎn),則異面直線AN,CM所

成的角的余弦值是.

7

答案8

解析連接DX,取DN的中點(diǎn)II,連接HM,由N、M、H均為中點(diǎn),知IcosZHMC即為所求.因?yàn)锳B=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,又M,N為

AD,BC的中點(diǎn)，所以CM±AD,AN±BC,所以CM=VCD2-MD2=2y/2,AN=V/4C2-NC2=2y/2,MII=1AN=V2,HC=V/VC2+NH2=V3,貝!]

cosNIIMC=CM：7’.故異面直線,\N,CM所成角的余弦值為！

2C叱M-MH工88

11.（2015浙江,13,5分）如圖,在三棱錐A-BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,點(diǎn)M,N分別為AD,BC的中點(diǎn)，則異面直線AN,CM所

成的角的余弦值是.

第5頁(yè)共56頁(yè)

M

答案

解析連接D\,取DN的中點(diǎn)H,連接HM,由N、M、H均為中點(diǎn),知|cosZHMC即為所求.因?yàn)锳B=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,又M,N為

222222

AD,BC的中點(diǎn),所以CM1AD,AN1BC,所以CM=VCD-MD=2y/2yAN=V?1C-NC=2y/2,MH=-AN=V2,HC=V^VC+NH=A/3,貝?。?/p>

cos/HMC二CM：I故異面直線AN,CM所成角的余弦值為(

2C療M-MH產(chǎn)88

12.(2011北京文，17,14分)如圖,在四面體PABC中,PC±AB,PA1BC,點(diǎn)D,E,F,G分別是棱AP,AC,BC,PB的中點(diǎn).

⑴求證:DE〃平面BCP;

(2)求證:四邊形DEFG為矩形；

(3)是否存在點(diǎn)Q,到四面體PABC六條棱的中點(diǎn)的距離相等?說(shuō)明理由.

解析(D證明:因?yàn)镈,E分別為AP,AC的中點(diǎn),所以DE//PC.又因?yàn)镈EC平面BCP,PCc平面BCP,

所以DE〃平面BCP.

(2)證明:因?yàn)镈,E,F,G分別為AP,AC,BC.PB的中點(diǎn),

所以DE〃PC:〃FG,DG〃AB〃EF.

所以四邊形DEFG為平行四邊形.又因?yàn)镻C±AB,

所以DE1DG.所以四邊形DEFG為矩形.

(3)存在點(diǎn)Q滿足條件.理由如下：

連接DF,EG,設(shè)Q為EG的中點(diǎn).

由(2)知,DFCEG=Q,且QD=QE=QF=QG§EG.

第6頁(yè)共56頁(yè)

分別取PC,AB的中點(diǎn)M,N,連接ME,EN,NG,MG,MN.

與⑵同理，可證四邊形MENG為矩形,其對(duì)角線交點(diǎn)為EG的中點(diǎn)Q,且QM=QN=；EG,所以Q為滿足條件的點(diǎn).

10.(2011北京文,17,14分)如圖,在四面體PABC中,PC±AB,PA±BC,點(diǎn)D,E,F,G分別是棱AP,AC,BC,PB的中點(diǎn).

(1)求證:DE〃平面BCP;

(2)求證:四邊形DEFG為矩形；

(3)是否存在點(diǎn)Q,到四面體PABC六條棱的中點(diǎn)的距離相等?說(shuō)明理由.

解析(D證明:因?yàn)镈,E分別為AP.AC的中點(diǎn),所以DE〃PC.又因?yàn)镈E。平面BCP,PCc平面BCP,

所以DE〃平面BCP.

(2)證明:因?yàn)镈,E,F,G分別為AP,AC,BC,PB的中點(diǎn),

所以DE〃PC〃FG,DG〃AB〃EF.

所以四邊形DEFG為平行四邊形.又因?yàn)镻C±AB,

所以DE1DG.所以四邊形DEFG為矩形.

⑶存在點(diǎn)Q滿足條件.理由如下：

連接DF,EG,設(shè)Q為EG的中點(diǎn).

由(2)知,DFCEG=Q,且QD=QE=QF=QG=jEG.

分別取PC,AB的中點(diǎn)M,N,連接ME,EN,NG,MG,MN.

與(2)同理，可證四邊形MENG為矩形,其對(duì)角線交點(diǎn)為EG的中點(diǎn)Q,且QM=QN《EG,所以Q為滿足條件的點(diǎn).

考點(diǎn)二空間向量及其應(yīng)用

第7頁(yè)共56頁(yè)

1.(2019天津理，17,13分)如圖,AE_L平面ABCD,CF/7AE,AD/7BC,AD±AB,AB=AD=1,AE=BC=2.

⑴求證:BF〃平面ADE;

⑵求直線CE與平面BDE所成角的正弦值；

(3)若二面角E-BD-F的余弦值為右求線段CF的長(zhǎng).

解析本小題主要考查直線與平面平行、二面角、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識(shí),考查用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的方法.

考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力.重點(diǎn)考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算.

依題意，可以建立以A為原點(diǎn),分別以荏,AD,荏的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系(如圖)，

可得A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2).

設(shè)CF=h(h>0),則F(l,2,h).

⑴證明:依題意,布=(1,0,0)是平面ADE的法向量,又加=(0,2,h),可得不?AB=0,

又因?yàn)橹本€BFQ平面ADE,所以BF〃平面ADE.

(2)依題意，麗=(-1,1,0),施=(-1,0,2),

CE=(-l,-2,2).

設(shè)n=(x,y,z)為平面BDE的法向量，

__I?匕?幾4

可得n二⑵2,1),因此有cos<CF,n>二米二二.

|CE||n|9

4

所以,直線CE與平面BDE所成角的正弦值為

(3)設(shè)m=(x,y,z)為平面BDF的法向量，

第8頁(yè)共56頁(yè)

不妨令y=l,可得-/.

|^_2l

由題意，有IcosVm,n>|=辟=與里［,解得h*.經(jīng)檢驗(yàn),符合題意.所以,線段CF的長(zhǎng)為s

阿|m3叩77

思路分析從已知條件線面垂直、線線垂直、線線平行入手，建立空間直角坐標(biāo)系,將立體幾何中的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量坐標(biāo)

關(guān)系,從而進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算,再將向量運(yùn)算結(jié)果轉(zhuǎn)化為立體幾何中的位置關(guān)系或長(zhǎng)度.

方法總結(jié)利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的一般步驟：

①觀察圖形,建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;②寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),求出相應(yīng)直線的方向向量;③設(shè)出相應(yīng)平面的法向量,利用兩

直線垂直,其相應(yīng)方向向量數(shù)量積為零列出方程組求出法向量;④將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系;⑤根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)

的角和距離.

2.(2019課標(biāo)II理,17,12分)如圖,長(zhǎng)方體ABCD-ABGD,的底面ABCD是正方形,點(diǎn)E在棱AA,上,BE1EC,.

(1)證明:BE_L平面EBICI;

(2)若AE=A,E,求二面角B-EC-C的正弦值.

解析本題考查線面垂直的判定和性質(zhì),空間向量的應(yīng)用,考查空間想象能力,運(yùn)算求解能力,考查了直觀想象的核心素養(yǎng).

⑴由已知得,BC-L平面ABBA,BEc平面ABBA,

故BC_LBE.

又BE_LEG,所以BE_L平面EBC.

⑵由(1)知NBEBF90°.

由題設(shè)知RtAABE^RtAA.B.E,

所以NAEB=45°,故AE=AB,AA,=2AB.

以D為坐標(biāo)原點(diǎn),刀的方向?yàn)閤軸正方向，Ia為單位長(zhǎng),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz,

第9頁(yè)共56頁(yè)

貝!IC(0,1,O),B(1,1,O),C.(0,1,2),E(l,0,1)，3二(1,0,0),CE=(1,-1,1),CC^=(0,0,2).

設(shè)平面EBC的法向量為n=(x,y,z),

所以可取n=(0,-1,-1).

設(shè)平面ECG的法向量為(x,y,z),

=0,

所以可取m二(1,1,0).

1

于是cos<n,m>=-

|n||m|2

所以,二面角B-EC-C.的正弦值為彳.

一題多解

(2)連接BC,.設(shè)AE=in,不妨令A(yù)B=1,則BE=Vm2+1,C,E=Vm2+2,BG=J(2m)2+1.

???BEXEC,,.-.4|11-+1=21112+3,解得m=l,則AA,=2.

連接AC,BD,相交于點(diǎn)0,連接A,C?

由題意可知AC±BD,BDICCLACnCC1=C,

平面AAiCiC,.'.BDXCE,

BPBOICE.

第10頁(yè)共56頁(yè)

在長(zhǎng)方形AA,C,C中,AC=V2,AA,=2.連接AC?有的=意=爺，又NEAC=NGCA=90°,貝URtAC.CA^RtACAE.

.".ZECA+ZC,AC=90",.'.CElACb

取CC,的中點(diǎn)F,連接OF,BE,則OF〃AC”.?.OF_LCE.

?■?BOnOF=O,.ICEJ_平面FOB.

設(shè)CEnOF=G,連接BG,.-.CE±BG,CE_LFG,則NBGF為二面角B-CE-C,的平面角,且sinNBGF=sinNBGO.設(shè)AC,nCE=II,易得aAEH

^AC,CH.又...AE=2：C,,，AH=4AC.易知OG〃AH,X.-O為AC的中點(diǎn)，...OGugAII..4值日,OG=：AH=；AG=乎,BO±OG,.-.tanZ

2322266

BGO囁3,.,.NBG0=60",貝！|NBGF=120",故sinZBGF=y.

飛

3.(2017北京理,16,14分)如圖,在四棱推P-ABCD中,底面ABCD為正方形,平面PAD_L平面ABCD,點(diǎn)M在線段PB上,PD〃平面

MAC,PA=PD=V6,AB=4.

(1)求證:M為PB的中點(diǎn);

(2)求二面角B-PD-A的大??；

(3)求直線MC與平面BDP所成角的正弦值.

解析本題考查面面垂直的性質(zhì)定理,線面平行的性質(zhì)定理，二面角,直線與平面所成的角等知識(shí).考查用空間向量解決立體幾

何問(wèn)題的方法.考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力.

⑴設(shè)AC,BD交點(diǎn)為E,連接ME.

因?yàn)镻D〃平面MAC,平面MACC平面PDB=ME,

所以PD〃ME.

因?yàn)锳BCI)是正方形,所以E為BD的中點(diǎn).

所以M為PB的中點(diǎn).

(2)取AD的中點(diǎn)0,連接OP,0E.

因?yàn)镻A=PD,所以O(shè)P±AD.

第11頁(yè)共56頁(yè)

又因?yàn)槠矫鍼AD_L平面ABCD,且OPc平面PAD,

所以O(shè)P_L平面ABCD.

因?yàn)镺Ec平面ABCD,所以O(shè)P1OE.

因?yàn)锳BCD是正方形，所以O(shè)E1AD.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則P(0,0,0),D(2,0,0),B(-2,4,0),BD=(4,-4,0),PD=(2,0,-0).

設(shè)平面BDP的法向量為n=(x,y,z),

<：K：M：：X=°o.

令x=l,則y=l,z八/I

于是n=(l,1,V2).

平面PAD的一個(gè)法向量為p=(0,1,0).

所以cos<n,p>=-^p-=1.

由題意知二面角B-PD-A為銳角，所以它的大小為全

(3)由題意知y),C⑵4,0),MC=(3,2,-y).

設(shè)直線MC與平面BDP所成角為a,

.,—|n-MC|2V6

貝ni！lIsina=：cos<n,MO.

|n||MC|9

所以直線MC與平面BDP所成角的正弦值為乎.

7

方法總結(jié)1.在求二面角時(shí),通常用空間向量法,即建立空間直角坐標(biāo)系,求出兩個(gè)面的法向量n?n”設(shè)二面角的大小為。，則

有皿。閆黯p再通過(guò)原圖判斷二面角是鈍角還是銳角，進(jìn)而求出二面角.

2.用向量法求直線與平面所成的角的方法:設(shè)直線的方向向量為e,平面的法向量為n,則直線與平面所成的角6滿足sin0

Ikllnir

4.(2017課標(biāo)I理,18,12分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB〃CD,且NBAP=NCDP=90。.

⑴證明:平面PAB_L平面PAD;

第12頁(yè)共56頁(yè)

(2)若PA=PD=AB=DC,ZAPD=90°,求二面角A-PB-C的余弦值.

解析本題考查了立體幾何中面面垂直的證明和二面角問(wèn)題.

(1)由已知NBAP=NCDP=90°,得AB1AP,CD±PD.

由于AB〃CD,故AB_LPD,

又APnPD=P,從而AB1平面PAD.

又ABc平面PAB,所以平面PAB_L平面PAD.

（2）在平面PAD內(nèi)作PF±AD,垂足為F.

由（1）可知,AB_L平面PAD,故AB±PF,

又ADnAB=A,可得PF1平面ABCD.

以F為坐標(biāo)原點(diǎn),幅的方向?yàn)閤軸正方向，IAB為單位長(zhǎng),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系F-xyz.

由⑴及已知可得A（容,0,0）,P（0,0,竽）,B（孝,1,0）,C（-岑,1,0）.

所以陷(-:,1,-(),方=(0,0,0)屏住,0,-孝)，同=(0,1,0).

設(shè)n=（xi,ybZi）是平面PCB的法向量，則

可取n=(0,-1,-5/2).

設(shè)m=(x2,y2,z>)是平面PAB的法向量，則

fm-PA=0(gJ]yx2-Tz2=0,

(m-AB=0,昆=0.

可取m=(l,0,1).

EI、n-my/3

則cos<zn,m>=——.

H|m|3

第13頁(yè)共56頁(yè)

易知二面角A-PB-C為鈍二面角，

所以二面角A-PB-C的余弦值為-苧.

方法總結(jié)面面垂直的證明及向量法求解二面角.

(1)面面垂直的證明

證明兩個(gè)平面互相垂直，可以在一個(gè)平面內(nèi)找一條直線1,證明直線1垂直于另一平面.

(2)利用空間向量求解幾何體中的二面角的余弦值.

=忱

建立空間直角坐標(biāo)系，找到點(diǎn)的坐標(biāo),求出兩個(gè)半平面的法向量m,m,設(shè)二面角的大小為。，則Icos61”2|再根據(jù)二面角

的范圍判斷二面角余弦值的正負(fù)情況.

5.(2017課標(biāo)m理,19,12分)如圖,四面體ABCD中,AABC是正三角形,AACD是直角三角形,ZABD=ZCBD,AB=BD.

⑴證明:平面ACD_L平面ABC;

(2)過(guò)AC的平面交BD于點(diǎn)E,若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分,求二面角D-AE-C的余弦值.

解析本題考查面面垂直的證明，二面角的求法.

(1)由題設(shè)可得,AABD^ACBD,從而AD=DC.

又AACD是直角三角形,所以ZADC=90°.

取AC的中點(diǎn)0,連接DO,B0,則DO_LAC,DO=AO.

又由于AABC是正三角形,故BO±AC.

所以ND0B為二面角D-AC-B的平面角.

在RtAAOB中,B02+A0-AB2.

又AB=BD,所以BOJ+DO-=BO-+AO-=AB-=BD2,故ND0B=90°.

所以平面ACD_L平面ABC.

(2)由題設(shè)及(1)知,0A,OB,0D兩兩垂直.以0為坐標(biāo)原點(diǎn),褊的方向?yàn)閤軸正方向，|至51為單位長(zhǎng),建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系0-xyz.則A(1,0,0),B(0,百,0),C(-1,0,0),D(0,0,1).

T)

A

第14頁(yè)共56頁(yè)

由題設(shè)知,四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的/從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的g,即E為DB的中

點(diǎn),得E(0,y故而(-1,0,1),福(-2,0,0),族=(-1,

設(shè)n=(x,y,z)是平面DAE的法向量，

則上?竺=0,即「逐:]Wn=(l，Y，l).

(nAE=0,++2Z=°*\3/

設(shè)m是平面AEC的法向量，則P.竺二°，

同理可取m二(0,-1,V3).則cos<n,m>-n772i~~T-

1nllm|7

易知二面角D-AE-C為銳二面角，

所以二面角D-AE-C的余弦值為子.

方法總結(jié)證明面面垂直最常用的方法是證明其中一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線,即在一個(gè)平面內(nèi),找一條直線，使它

垂直于另一個(gè)平面.用空間向量法求二面角的余弦值時(shí)，要判斷二面角是鈍角還是銳角.

6.(2016課標(biāo)n理，19,12分)如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)0,AB=5,AC=6,點(diǎn)E,F分別在AD,CD上,AE=CFJ,EF交

4

BD于點(diǎn)II.將ADEF沿EF折到△□'EF的位置,0D'=V10.

（1）證明:D'H_L平面ABCD;

(2)求二面角B-D'A-C的正弦值.

解析(D證明：由已知得AC_LBD,AD=CD.

AFrp

又由AE=CF得病=前,故AC〃EF.

AUCU

因此EF±HD,從而EF±D'H.（2分）

由AB=5,AC=6得DO=BO=V/1B2-AO2=4.

由EF//AC彳喘嗡=*

所以0H=l,D'H=DH=3.

于是D'H2+OH?=32+r=10=D,0\故D'HIOH.（4分）

又D'H_LEF,而0HnEF=H,所以D'HJ_平面ABCD.（5分）

第15頁(yè)共56頁(yè)

(2)如圖，以H為坐標(biāo)原點(diǎn),何的方向?yàn)閤軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系H-xyz.則

H(0,0,0),A(-3,-1,0),B(0,-5,0),C⑶-1,0),D'(0,0,3),

AB=(3,-4,0),AC=(6,0,0),AD''=(3,1,3).(6分)

設(shè)ra=(xi,y,,z)是平面ABD'的法向量，

?福=0,0%-4丫］=0,

人=0即nbxi+yi+3zi=0,

所以可取m=(4,3,-5).(8分)

設(shè)n=(x2,y2,z?)是平面，ACD'的法向量，

則一。

(n-AD'=0,(3X2十丫2十5Z2-u,

所以可取n=(0「3,1).(10分)

十日/7H-71-1475/5

于是c°s<m，n>=麗=痂質(zhì)=-石.

sin〈m,n>=鬻.

因此二面角BT)'A-C的正弦值是鬻.(12分)

思路分析(1)利用已知條件及翻折的性質(zhì)得出D'H1.EF,利用勾股定理的逆定理得出D'HIOH,從而得出結(jié)論；

(2)在第⑴問(wèn)的基礎(chǔ)上建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,從而求出兩個(gè)半平面的法向量,利用向量的夾角公式求二面角的余弦值，

從而求出正弦值.

評(píng)析本題主要考查翻折問(wèn)題,線面垂直的證明以及用空間向量法求解二面角的基本知識(shí)和基本方法,考查學(xué)生的運(yùn)算求解

能力以及空間想象能力，求解各點(diǎn)的坐標(biāo)是利用向量法解決空間問(wèn)題的關(guān)鍵.

7.(2016山東,17,12分)在如圖所示的圓臺(tái)中,AC是下底面圓0的直徑,EF是上底面圓0'的直徑,FB是圓臺(tái)的一條母線.

(1)已知G,H分別為EC,FB的中點(diǎn).求證:GH〃平面ABC;

(2)已知EF=FB=1AC=2V3,AB=BC.求二面角E-BC-A的余弦值.

第16頁(yè)共56頁(yè)

解析（1）證明:設(shè)FC中點(diǎn)為I,連接GI,HI.

在4CEF中,因?yàn)辄c(diǎn)G是CE的中點(diǎn),所以GI〃EF.

又EF〃OB,所以GI〃OB.

在ACFB中，因?yàn)镠是I-B的中點(diǎn),所以HI/7BC.

又HInGI=I,所以平面GHI〃平面ABC.

因?yàn)镚Hu平面GHI,所以GlI//平面ABC.

⑵解法一:連接00',則00'，平面ABC.

又AB=BC,且AC是圓0的直徑,所以B01AC.

以0為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系0-xyz.

由題意得B(0,2b,0),C(-2A/3,0,0),

所以近=(-2次,-2孤,0),

過(guò)點(diǎn)F作FM垂直0B于點(diǎn)M.

所以FM=VfB2-BM2=3,可得F(0,百,3).

故評(píng)=(0,-75,3).

設(shè)m=(x,y,z)是平面BCF的法向量.

由-BC=0,

(m-BF=0,

-2A/3X-2百y=0,

可得，

—V3y+3z=0.

可得平面BCF的一個(gè)法向量y).

因?yàn)槠矫鍭BC的一個(gè)法向量n=(0,0,1),

第17頁(yè)共56頁(yè)

所以cos<m,n〉q北：J，

所以二面角F-BC-A的余弦值為手.

解法二:連接00'.過(guò)點(diǎn)F作FM垂直0B于點(diǎn)M.

A

則有FM〃00'.

又00'_L平面ABC,所以FM_L平面ABC.

可得EM=VfB2-BM2=3.

過(guò)點(diǎn)M作MN垂直BC于點(diǎn)X,連接FN.

可得FNXBC,從而NFNM為二面角F-BC-A的平面角.

又AB=BC,AC是圓0的直徑，

所以MN=BMsin45。=當(dāng)

從而FN=受V42，

布

可得cosZFNM=—.

所以二面角F-BC-A的余弦值為世.

評(píng)析本題考查了線面平行、垂直的位置關(guān)系;考查了二面角的求解方法；考查了空間想象能力和邏輯推理能力.正確找到二面

角的平面角或正確計(jì)算平面的法向量是求解的關(guān)鍵.

8.（2016浙江，17,12分）如圖，在三棱臺(tái)ABC-DEF中，平面BCFEJ_平面ABC,ZACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.

⑴求證:BF_L平面ACFD;

（2）求二面角B-AD-E的平面角的余弦值.

解析（D延長(zhǎng)AD,BE,CF相交于一點(diǎn)K,如圖所示.

第18頁(yè)共56頁(yè)

K

因?yàn)槠矫鍮CFEJ_平面ABC,且AC±BC,所以,AC_L平面BCK,因此,BF±AC.

又因?yàn)镋F/ZBC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以ABCK為等邊三角形,且I-為CK的中點(diǎn),則BF±CK.

所以BFJL平面ACFD.

⑵解法一:過(guò)點(diǎn)F作FQ_LAK于Q,連接BQ.

因?yàn)锽F_L平面ACK,所以BF±AK,則AK_L平面BQF,所以BQ±AK.

所以,NBQF是二面角B-AD-F的平面角.

在RtAACK中,AC=3,CK=2,得FQ=3p.

在RtABQF中,FQ=^p,BF=V3,得cosZBQF=y.

所以,二面角B-AD-F的平面角的余弦值為R.

解法二:由(1)知ABCK為等邊三角形.取BC的中點(diǎn)0,連接K0,則K0J_BC,又平面BCFE_L平面ABC,所以,K0_L平面ABC.以點(diǎn)0

為原點(diǎn),分別以射線OB,0K的方向?yàn)閤,z的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系0-xyz.

由題意得B(l,0,0),C(-1,0,0),K(0,0,V3),A(-1,-3,0),

因此,AC=(0,3,0),欣二(1,3,百),~AB=(2,3,0).

設(shè)平面ACK的法向量為m二(xbybz),平面ABK的法向量為n=(x2,y2,z2).

囹=0,

?m

=°得j,,,/r?m=(V3,0,-1);

(AK?m=04-3yl+V3Z[=0,

(2x2+3y2=0,

?…得上Q,An取吁(3,-2,0).

(AK-n=0Ix2+3y2+-V3Z2=0,

m-nV3

于是,cos<m,n>二;

網(wǎng)同4,

第19頁(yè)共56頁(yè)

又易知二面角B-AD-F為銳二面角，

所以,二面角B-AD-F的平面角的余弦值為?.

方法總結(jié)若二面角的平面角為0,兩半平面的法向量分別為m和n*則cos。|=|cos〈m,n2>,要求cos6的值,還需結(jié)合圖形

判斷二面角的平面角是銳角還是鈍角，進(jìn)而決定cos0=cos<ni,n2>|,還是cos0=-|cos〈m,n2>|.

評(píng)析本題主要考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力.

12.（2015課標(biāo)I理，18,12分）如圖,四邊形ABCD為菱形，NABC=120°,E,F是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn),BE_L平面ABCD,DF_L平面

ABCD,BE=2DF,AE±EC.

⑴證明:平面AEC1平面AFC;

（2）求直線AE與直線CF所成角的余弦值.

解析（1）證明:連接BD.設(shè)BDCAC=G,連接EG,FG,EF.

在菱形ABCD中,不妨設(shè)GB=1.由ZABC=120",可得AG=GC=V3.

由BE_L平面ABCD,AB=BC,可知AE=EC.又AE±EC,所以EG=V3,且EG1AC.

歷

在RtAEBG中,可得BE=A/2,故DF=y.

V6

在RtAFDG中,可得FG=y.

在直角梯形BDFE中，由BD=2,BE=?,DF=^，可得EF=等.

從而EG2+FG2=EF:,所以EG1FG.

又ACnFG=G,可得EGJ_平面AFC.

因?yàn)镋Gu平面AEC,所以平面AEC_L平面AFC.（6分）

⑵如圖,以G為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以弱,前的方向?yàn)閤軸,y軸正方向，|GBI為單位長(zhǎng),建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz.

第20頁(yè)共56頁(yè)

由(1)可得A(o,-V5,0),E(l,0,后),F(-l,0,y),C(0,V5,0),所以版=(1,A/3,V2),CF=(-1,-V3,y).(10分)

*—?AE-CFV3

故cos〈4E,或〉=兩時(shí)？.

所以直線AE與直線CF所成角的余弦值為苧.(12分)

思路分析(1)利用勾股定理的逆定理和平面與平面垂直的判定定理求證.(2)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,利用向量的夾角的

余弦公式求解.

解后反思建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量的有關(guān)公式是求解的關(guān)鍵.證明"EG,平面AFC"是解題的難點(diǎn).

9.(2015課標(biāo)n理,19,12分)如圖,長(zhǎng)方體ABCD-ABCD中,AB=16,BC=10,AA,=8,點(diǎn)E,F分別在AB,DC上,A后D，F(xiàn)=4.過(guò)點(diǎn)E,F

的平面a與此長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形.

(1)在圖中畫(huà)出這個(gè)正方形(不必說(shuō)明畫(huà)法和理由);

(2)求直線AF與平面a所成角的正弦值.

解析(D交線圍成的正方形EHGF如圖:

(2)作EM1AB,垂足為M,貝(JAM=A,E=4,EM=AA,=8.

因?yàn)镋HGF為正方形,所以EH=EF=BC=10.

于是MH=VfW2-EM2=6,所以AH=10.

以D為坐標(biāo)原點(diǎn),通的方向?yàn)閤軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz,則

A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),F￡=(10,0,0),~HE=(0,-6,8).

設(shè)n二(x,y,z)是平面EHGF的法向量，

所以可取n=(0,4,3).

叼=(T°，4,8)，故1c”布＞1制等

所以AF與平面EHGF所成角的正弦值為黨.

第21頁(yè)共56頁(yè)

10.(2015山東理,17,12分)如圖,在三棱臺(tái)DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分別為AC,BC的中點(diǎn).

⑴求證:BD〃平面FGH;

(2)若CF平面ABC,AB1BC,CF=I)E,ZBAC=45°,求平面FGH與平面ACFI)所成的角(銳角)的大小.

解析(D連接DG,CD,設(shè)CDnGF=O,連接OH.

在三棱臺(tái)DEF-ABC中,AB=2DE,G為AC的中點(diǎn),可得DF〃GC,DF=GC,所以四邊形DFCG為平行四邊形.

貝!J0為CD的中點(diǎn)，又11為BC的中點(diǎn)，所以0H//BD,

又011c平面FGH,BDC平面FGH,所以BD〃平面FGH.

(2)設(shè)AB=2,則CF=1.

在三棱臺(tái)DEF-ABC中,G為AC的中點(diǎn),由DF=5AC=GC,可得四邊形DGCF為平行四邊形,因此1)G〃FC.

又FC平面ABC,所以DG_L平面ABC.

在△ABC中，由AB1BC,ZBAC=45",G是AC中點(diǎn),所以AB=BC,GB1GC,因此GB,GC,GD兩兩垂直.

以G為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系G-xyz.

所以G(0,0,0),B(y/2,0,0),C(0,^2,0),D(0,0,1).

可得V2,1),

故而=(苧,今0),m=(0,V2,1).

設(shè)n=(x,y,z)是平面FGH的法向量,

第22頁(yè)共56頁(yè)

伍?GH=0,

則由I一

U-GF=0,

(X+y=0,

可得，

(V2y+z=0.

可得平面FGH的一個(gè)法向量n=(l,-l,V2).

因?yàn)榫褪瞧矫鍭CFD的一個(gè)法向量,就二(6,0,0),

一GBny[21

所以cos<GB,n>=^1礪二,

所以平面FGH與平面ACFD所成角(銳角)的大小為60°.

11.(2015陜西,18,12分)如圖1,在直角梯形ABCD中,AD〃BC,NBAD=5,AB=BC=1,AD=2,E是AD的中點(diǎn),0是AC與BE的交點(diǎn).將

△ABE沿BE折起到△A,BE的位置,如圖2.

⑴證明:CD1平面AQC;

(2)若平面A】BE_L平面BCDE,求平面ABC與平面A】CD夾角的余弦值.

解析(1)證明:在題圖1中,因?yàn)锳B=BC=1,AD=2,E是AD的中點(diǎn)，NBAD=]

所以BE±AC.

即在題圖2中，BE10A?BE10C,

從而B(niǎo)E_L平面AQC,

又CD〃BE,

所以CD_L平面AiOC.

(2)因?yàn)槠矫鍭】BE_L平面BCDE,

又由(1)知,BE_LOMBE_LOC,

所以NAQC為二面角A,-BE-C的平面角，

所以NAQC=].

如圖,以0為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,

第23頁(yè)共56頁(yè)

因?yàn)锳,B=A,E=BC=ED=1,BC〃ED,

所以B俘,0,0）,E（-孝,0,0）,Ai（0,0,苧）,C（。,）,

得痔（一y,y,0）,砧=（0,苧,一亨）,CD=B^=（S0,0）.

設(shè)平面AiBC的法向量n(=(xi,yi,zj,平面AiCD的法向量m二(x2,y?,Z2),平面ABC與平面A]CD的夾角為B,

%?BC=0,得-xi+y1=0,

則取rii=（l,1,1）;

九i.A〔C=0,X_zi=0，

n2-CD=0,Z0fx2=0,

.電?砧=0,缶在2一Z20取m=（0,1,D,

2_V6

從而

cose=Icos<ni,m>|=遍xVTT'

即平面A,BC與平面A,CD夾角的余弦值為三-.

評(píng)析本題主要考查線面垂直的判定、面面垂直的性質(zhì)以及平面與平面的夾角的求解.考查學(xué)生的空間想象能力以及運(yùn)算求解

能力.正確利用面面垂直的性質(zhì)定理建立空間直角坐標(biāo)系是求解的關(guān)鍵.

12.（2015湖北理，19,12分）

《九章算術(shù)》中,將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉

如圖,在陽(yáng)馬P-ABCI)中，側(cè)棱PD1底面ABCI),且PD=CD,過(guò)棱PC的中點(diǎn)E,作EF_LPB交PB于點(diǎn)F,連接DE,DF,Bl),BE.

(1)證明:PBL平面DEF.試判斷四面體DBEF是不是壁需,若是,寫(xiě)出其每個(gè)面的直角(只需寫(xiě)出結(jié)論)；若不是,說(shuō)明理由；

(2)若面DEF與面ABCD所成二面角的大小為求裝的值.

3DL

解析解法一：(1)因?yàn)镻D_L底面ABCD,所以PD1BC,

由底面ABCD為長(zhǎng)方形，有BC±CD,而PDCCD=D,

所以BCJL平面PCD,而DEc平面PCD,所以BC1DE.

又因?yàn)镻D=CD,點(diǎn)E是PC的中點(diǎn),所以DEXPC.

而PCnBC=C,所以DE_L平面PBC.

而PBc平面PBC,所以PB1DE.

第24頁(yè)共56頁(yè)

又PB±EF,DECEF=E,所以PB_L平面DEF.

由DE，平面PBC,PB_L平面DEF,可知四面體BDEF的四個(gè)面都是直角三角形,即四面體BDEF是一個(gè)鱉月需，其四個(gè)面的直角分別

為NDEB,ZDEF,ZEFB,ZDFB.

⑵如圖，在面PBC內(nèi)，延長(zhǎng)BC與FE交于點(diǎn)G,則DG是平面DEF與平面ABCD的交線.

由⑴知,PB1平面DEE,所以PB1DG.

又因?yàn)镻D_L底面ABCD,所以PD1DG.

而PDCPB=P,所以DG_L平面PBD.

故NBDF是面DEF與面ABCD所成二面角的平面角，

設(shè)PD=DC=1,BC=A有BD=V1+A2,

在RtAPDB中，由DF±PB,得NDPF=NFDB?,

貝!]tan^=tanZDPF=^=Vl+A2=Vs,解得入=收.

所以空工史

mABCA2

解法二：(1)如圖,以D為原點(diǎn),射線DA,DC,DP分別為X,y,z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)PD=DC=1,BC=X,則D(0,0,0),P(0,0,1),B(X,1,0),

C(0,1,0),而=(入,1,-1),點(diǎn)E是PC的中點(diǎn),

所以E(O,浦,

第25頁(yè)共56頁(yè)

現(xiàn)。,另),

于是麗?DE=O,即PB±DE.

又已知EF1PB,而DECEF=E,所以PBJ_平面DEF.

因痔(0,1,-1),反?正=0,則DEJ_PC,所以DEJ_平面PBC.

由DE_L平面PBC,PB_L平面DEF,可知四面體BDEF的四個(gè)面都是直角三角形，

即四面體BDEF是一個(gè)鱉月需，其四個(gè)面的直角分別為NDEB,ZDEF,ZEFB,ZDFB.

⑵由PDJ_平面ABCD,所以加=(0,0,1)是平面ABCD的一個(gè)法向量；

由⑴知,PB_L平面DEF,所以前=(-入,T,1)是平面DEF的一個(gè)法向量.

若面DEF與面ABCD所成二面角的大小為］

故當(dāng)面DEF與面ABCD所成二面角的大小為刎,需埠

6DCL

13.(2014北京理,17,14分)如圖,正方形AMDE的邊長(zhǎng)為2,B,C分別為AM,Ml)的中點(diǎn).在五棱錐P-ABCDE中,F為棱PE的中點(diǎn)

平面ABF與棱PD,PC分別交于點(diǎn)G,H.

⑴求證:AB〃FG;

(2)若PA_L底面ABCDE,且PA=AE,求直線BC與平面ABF所成角的大小,并求線段PH的長(zhǎng).

解析⑴證明：在正方形AMDE中，因?yàn)锽是AM的中點(diǎn)所以AB//DE.

又因?yàn)锳BG平面PDE,

所以AB〃平面PDE.

因?yàn)锳Bc平面ABF,且平面ABFH平面PDE=FG,

所以AB/7FG.

(2)因?yàn)镻AJ_底面ABCDE,所以PA±AB,PA1AE.

第26頁(yè)共56頁(yè)

如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則A(0,0,0),B(l,0,0),C(2,1,0),P(0,0,2),F(0,1,1),1,0).

設(shè)平面ABF的法向量為n=(x,y,z),

令z=l,則y=-l.所以n=(0,T,l).

設(shè)直線BC與平面ABF所成角為a,

則sina=