北京市東城區(qū)2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)期末統(tǒng)一檢測(cè)試卷

北京市東城區(qū)2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)期末統(tǒng)一檢測(cè)試卷

閱卷人

——、單選題供10題；共20分）

得分

1.（2分）已知集合4={1,2,3}，B={x\x>2},則AnB=（）

A.0B.{3}C.[2,3}D.(2,3)

【答案】B

2.（2分）（%2+1）的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（)

A.30B.20C.15D.10

【答案】C

3.(2分)已知函數(shù)/(%)=ln(3%),則/'(3)==()

A.3B.1C-

3D.5

【答案】C

4.（2分）若函數(shù)f（x）=log2（x+a）的圖象過(guò)點(diǎn)（一2,0）（則。=（)

A.3B.1C.-1D.-3

【答案】A

5.（2分）某校為全體高中學(xué)生開設(shè)了15門校本課程，其中人文社科類6門，科學(xué)技術(shù)類6門，體

育美育類3門.學(xué)校要求每位高中學(xué)生需在高中三年內(nèi)選學(xué)其中的8門課程.從全校高中學(xué)生中隨機(jī)抽

53

取一名學(xué)生，設(shè)該學(xué)生選擇的人文社科類的校本課程為X門，則下列概率中等于畢的是（）

C15

A.P(X<3)B.P(X=3)C.P(X<5)D.P(X=5)

【答案】D

6.(2分)設(shè)a<b<0,給出下列四個(gè)結(jié)論：①a+b<ab；②2a<3b：(3)a2<￡>2；④a|a|<

b聞.其中正確的結(jié)論的序號(hào)為()

A.①②B.①④C.②③④D.①②③

【答案】B

7.（2分）己知函數(shù)/-sinx,若對(duì)于任意％i，mGR,滿足％i+%2=。，且勺0必，則一定

有（)

A./(%!)+/(x2)=0B./(久1)一/(%2)=。

C./(%!)</(%2)D-f(Xl)〉)>2)

【答案】A

8.（2分）算盤是中國(guó)古代的一項(xiàng)重要發(fā)明，迄今已有2600多年的歷史.現(xiàn)有一算盤，取其兩檔（如

圖一），自右向左分別表示十進(jìn)制數(shù)的個(gè)位和十位，中間一道橫梁把算珠分為上下兩部分，梁上一珠

撥下，記作數(shù)字5,梁下四珠，上撥一珠記作數(shù)字1（如圖二算盤表示整數(shù)51）.若撥動(dòng)圖1的兩枚

算珠，則可以表示不同整數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

C.10D.15

【答案】B

9.（2分）“％<0”是“％+-<一4”的（）

X

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

10.（2分）“字節(jié)”（Byte,B）常用于表示存儲(chǔ)容量或文件的大小.隨著網(wǎng)絡(luò)存儲(chǔ)信息量的增大，我們

還用千（K,kilo）、兆（M,mega）、吉（G,giga）、太（T,tera）、拍（P,pela）等單位表示存儲(chǔ)

容量.各單位數(shù)量級(jí)之間的換算關(guān)系如下：1KB=1O24B；1MB=1O24KB；1GB=1O24MB；

1TB=1024GB；1PB==1024TB=XBO已知x是一個(gè)m位整數(shù)，則/n=（）

（參考數(shù)據(jù)：1g2ao.3010）

A.8B.9C.15D.16

【答案】D

閱卷入

一二、填空題（共5題；共6分）

得分

11.（1分）函數(shù)丫=至1的定義域?yàn)?

【答案】口，+8）

12.（1分）已知事件A,B相互獨(dú)立,P（A）=0.7,P（B）=0.4,則P（B|4）=

【答案】0.4

13.（1分）將若干紅球與黃球放進(jìn)一個(gè)不透明的袋子中，這些球的大小與重量完全相同.已知袋子中

紅球與黃球個(gè)數(shù)之比為6：4,其中我紅球印有商標(biāo)，弓的黃球印有商標(biāo).現(xiàn)從袋子中隨機(jī)抽取一個(gè)小

球，則小球印有商標(biāo)的概率為.

【答案】I

14.（1分）已知函數(shù)/（%）的定義域?yàn)镈,給出下列三個(gè)條件：

?VxGD,有/（%）+/（-%）=0；

@Vx6D,有f（x）W0;

③9,X2C。且<%2，有fOi）</（%2）.

試寫出一個(gè)同時(shí)滿足條件①②③的函數(shù)/（X）,則/（久）=.

【答案】i（答案不唯一）

X

15.（2分）設(shè)函數(shù)f（x）=x,g（x）=m，h（x）=/,當(dāng)自變量%從0變到1時(shí)，它們的平均變化率

分別記為西，m2,m3,則叫，m2,g之間的大小關(guān)系為（用，，“<”"=”連接）；三

個(gè)函數(shù)中在％=1處的瞬時(shí)變化率最大的是.

【答案】m[=m2=m3；h(x)

閱卷人

三、解答題（共6題；共61分）

得分

16.（1分）合理使用密碼是提升網(wǎng)絡(luò)空間安全的重要手段.密碼安全性強(qiáng)弱與其長(zhǎng)度、使用字符種類數(shù)

及排列規(guī)律等相關(guān)，其中字符可以是數(shù)字、字母及一些特殊符號(hào)等.某密碼的安全性評(píng)分主要分為以

下四個(gè)方面:

小于等于4個(gè)字

5至7個(gè)字符大于等于8個(gè)字符

長(zhǎng)度符

得5分得10分得30分

不含字母含字母，全用小寫或全用大寫含字母，既含小寫又含大寫

字母

得。分得10分得25分

不含符號(hào)含1個(gè)符號(hào)含大于1個(gè)符號(hào)

特殊符號(hào)

得0分得10分得25分

不含數(shù)字含1至2個(gè)數(shù)字含大于等于3個(gè)數(shù)字

數(shù)字

得0分得10分得20分

設(shè)密碼安全性評(píng)分為％,若X280為安全性較強(qiáng)；60W%<80為安全性中等；X<60為安全性較

弱.

現(xiàn)有一個(gè)長(zhǎng)度大于8個(gè)字符的密碼，其安全性評(píng)分為85分，給出如下判斷:

①該密碼既含有小寫字母又含有大寫字母；

②該密碼至少含有3個(gè)數(shù)字；

③該密碼含多于1個(gè)特殊符號(hào)；

④該密碼一定同時(shí)含有字母，特殊符號(hào)和數(shù)字.

其中所有正確判斷的序號(hào)是.

【答案】②④

17.(10分)已知函數(shù)/(x)=e*—3%+1.

(1)(5分)求曲線/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程，

(2)(5分)求/'(X)的最小值.

【答案】(1)解：由/(%)=靖一3%+1,得

/(0)=e。+1=2,/(x)=ex-3>

所以切線的斜率為/■'(())=e。-3=-2，

所以切線方程為y-2=-2%,即2x+y-2=0

(2)解：函數(shù)的定義域?yàn)镽,

由(1)可知=e、一3，

令/'(X)=0，則e*—3=0,得x=ln3,

當(dāng)x<ln3時(shí)，/(%)<0，當(dāng)%>ln3時(shí)，/(%)>0>

所以/(%)在(-8,ln3)上遞減，在(ln3,+8)上遞增，

所以當(dāng)x=ln3時(shí)，/(無(wú))取得最小值，

所以/(%)的最小值為/(ln3)=eln3-31n3+1=3-31n3+1=4-31n3

2%x0

{-x2-2x+l,x<0

(1)(5分)求/'(/(一1))的值；

(2)(5分)求不等式/(%)>1的解集;

（3）（5分）當(dāng)與<0時(shí)，是否存在使得/（見）一/（一3）=0成立的右值？若存在，直接寫出X。的

值；若不存在，說(shuō)明理由.

2Xx>0

,'-,故/（—1）=-1+2+1=2,

{-x2-2x+1,x<0

所以/（/（T））=f（2）=22=4

（2）解：當(dāng)1之0時(shí),令2、〉1,則%〉0,此時(shí)—>0,

當(dāng)無(wú)<0時(shí)，令—/-2%+1>1,解得—2<%<0,此時(shí)—2<%<0,

故不等式/（%）>1的解集為{%|x>0或一2<x<0}

（3）解：當(dāng)孫=一1時(shí)，滿足&<0時(shí)，使得/（3）—/（一與）=0成立，

即當(dāng)與<0時(shí)，存在使得/?（右）-f（一々））=0成立的陽(yáng)）值.

19.（10分）毛猴是老北京的傳統(tǒng)手工藝品，制作材料都取自中藥材，工序大致分為三步，第一步用

蟬蛻做頭和四肢；第二步用辛夷做身子：第三步用木通做道具.已知小萌同學(xué)在每個(gè)環(huán)節(jié)制作合格的

概率分別為率|，只有當(dāng)每個(gè)環(huán)節(jié)制作都合格時(shí).這件作品才算制作成功，

（1）（5分）求小萌同學(xué)制作一件作品成功的概率；

（2）（5分）若小萌同學(xué)制作了3件作品，假設(shè)每次制作成功與否相互獨(dú)立.設(shè)其中成功的作品數(shù)

為X.求X的分布列及期望.

【答案】（1）解：根據(jù)題意知，由相互獨(dú)立事件的概率乘法公式得小萌同學(xué)學(xué)制作一作品成功的概

率P為：P=^x^x^=1.

（2）解：根據(jù)題意知，X的可能值為：0,1,2,3顯然X?B（3,I）,則

37

O^3

3=275

12

23T1

1^254

=v=

p(H0125

2336

0-2)=叫7飛?)1'例

238

P(X=3)=C3W=-

所以X的分布列為:

X0123

27368

P54

125125125125

X的數(shù)學(xué)期望：E(X)=3x|=|

20.(10分)已知函數(shù)/(*)=竽.

(1)(5分)求f(x)的極大值；

(2)(5分)若/(%)圖象上的點(diǎn)都在直線y=kx-1的下方，求k的取值范圍.

【答案】(1)解：由題意得，/'(%)=與界，(%>0),

當(dāng)OVxVe時(shí)，/'(%)>0，/(%)遞增，當(dāng)％>e時(shí)，，/(%)<0，/(%)遞減，

故x=e是函數(shù)的極大值點(diǎn)，函數(shù)的極大值為/(e)=J

(2)解：由/(X)=竽可知，當(dāng)x趨近于0時(shí)，/(X)<0,

當(dāng)％>1時(shí)，/(x)>0,結(jié)合(1),作出函數(shù)/(無(wú))=苧的大致圖象如圖：

直線y=kx—l過(guò)定點(diǎn)(0,-1),先求直線、=/^-1和/'(%)=埼圖象相切時(shí)的斜率值；

設(shè)切點(diǎn)為(殉，y。)，則k=岑?=/'(%o)，:詈,而>0=等，

故用9=胃等，貝物.+~=1，

x0x0

由于函數(shù)y=21nx+x—l,(%>0)是單調(diào)增函數(shù)，且％=1時(shí)，y=0,

故由21n%o+%。=1可得%o=1，則=苧=0,此時(shí)k=/'(I)=1,

即直線y=k%—l和曲線/(%)=苧相切時(shí)，切點(diǎn)為(1,0),

若/（x）圖象上的點(diǎn)都在直線y=kx-1的下方，則k>1,

故k的取值范圍是（1,+00）.

21.（15分）設(shè)A是非空實(shí)數(shù)集，且0C4若對(duì)于任意的久，yea,都有xyC4則稱集合4具有性質(zhì)

P1；若對(duì)于任意的X,都有則稱集合4具有性質(zhì)P2.

（1）（5分）寫出一個(gè)恰含有兩個(gè)元素且具有性質(zhì)P1的集合4

（2）（5分）若非空實(shí)數(shù)集4具有性質(zhì)P2，求證：集合4具有性質(zhì)Pi；

（3）（5分）設(shè)全集U={x|%H0,xeR],是否存在具有性質(zhì)Pi的非空實(shí)數(shù)集4使得集合的4

具有性質(zhì)P2?若存在，寫出這樣的一個(gè)集合4若不存在，說(shuō)明理由.

【答案】（1）解：{-1,1}

（2）證明：若集合4具有性質(zhì)P2,不妨設(shè)a€4

由非空數(shù)集A具有性質(zhì)P2,有￡=164

①若4={1},易知此時(shí)集合A具有性質(zhì)Pi.

②若實(shí)數(shù)集4只含有兩個(gè)元素，不妨設(shè)A={1,%},

1

由西=的，且的#1,解得的=一1,此時(shí)集合4具有性質(zhì)

③若實(shí)數(shù)集4含有兩個(gè)以上的元素，不妨設(shè)不為1的元素臼，azC力，

則有84由于集合4具有性質(zhì)22，

1

所以有（12+匹=。逆2€4這說(shuō)明集合4具有性質(zhì)P1.

（3）解：不存在具有性質(zhì)Pi的非空實(shí)數(shù)集4使得集合QA具有性質(zhì)匕.

由于非空實(shí)數(shù)集4具有性質(zhì)Pi，令集合B=CuA，

依題意不妨設(shè)beB,ae4

因?yàn)榧螧具有性質(zhì)P2,所以[=168

若3={1},則否則lea,這與B={1}矛盾.

故集合B不是單元素集口}.

令ceB,且c力1,

①若aceB,可得色CB,即aeB,這與B=CM矛盾；

②若ac",由于a",所以:CB,因此八六^^以這與^“矛盾.

綜上可得：不存在具有性質(zhì)Pi的非空實(shí)數(shù)集A,使得集合具有性質(zhì)P2.

試題分析部分

1、試卷總體分布分析

總分：87分

客觀題（占比）20.0(23.0%)

分值分布

主觀題（占比）67.0(77.0%)

客觀題（占比）10(47.6%)

題量分布

主觀題（占比）11(52.4%)

2、試卷題量分布分析

大題題型題目量（占比）分值（占比）

填空題5(23.8%)6.0(6.9%)

解答題6(28.6%)61.0(70.1%)

單選題10(47.6%)20.0(23.0%)

3、試卷難度結(jié)構(gòu)分析

序號(hào)難易度占比

1普通(42.9%)

2容易(57.1%)

4、試卷知識(shí)點(diǎn)分析

序號(hào)知識(shí)點(diǎn)（認(rèn)知水平）分值（占比）對(duì)應(yīng)題號(hào)

1變化的快慢與變化率2.0(2.3%)15

2超幾何分布2.0(2.3%)5

3相互獨(dú)立事件的概率乘法公式10.0(11.5%)19

4全概率公式1.0(1.1%)13

5利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程10.0(11.5%)17

6導(dǎo)數(shù)的幾何意義10.0(11.5%)20

7子集與交集、并集運(yùn)算的轉(zhuǎn)換15.0(17.2%)21

8排列、組合的實(shí)際應(yīng)用1.0(1.1%)16

9不等式的基本性質(zhì)2.0(2.3%)6

10分段函數(shù)的應(yīng)用15.0(17.2%)18

11分步乘法計(jì)數(shù)原理2.0(2.3%)8

12函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)1.0(1.1%)14

13對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)2.0(2.3%)10

14利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值