考點(diǎn)17定義命題定理

考點(diǎn)17定義、命題、定理課標(biāo)對(duì)考點(diǎn)的要求對(duì)定義、命題、定理問題，中考命題需要滿足下列要求：（1）通過具體實(shí)例，了解定義、命題、定理、推論的意義。（2）結(jié)合具體實(shí)例，會(huì)區(qū)分命題的條件和結(jié)論，了解原命題及其逆命題的概念。會(huì)識(shí)別兩個(gè)互逆的命題，知道原命題成立其逆命題不一定成立。（3）知道證明的意義和證明的必要性，知道證明要合乎邏輯，知道證明的過程可以有不同的表達(dá)形式，會(huì)綜合法證明的格式。（4）了解反例的作用，知道利用反例可以判斷一個(gè)命題是錯(cuò)誤的。（5）通過實(shí)例體會(huì)反證法的含義。重要考點(diǎn)知識(shí)解讀一、定義與命題1．一般地，對(duì)某一名稱或術(shù)語進(jìn)行描述或作出規(guī)定就叫做該名稱或術(shù)語的定義．2．判斷一件事情的語句叫做命題．3．命題的組成：命題是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)．4．命題的表達(dá)形式：命題可以寫成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是題設(shè)，“那么”后接的部分是結(jié)論．二、真命題、假命題1．正確的命題叫做真命題．2．要說明一個(gè)命題是正確的，需要根據(jù)命題的題設(shè)和已學(xué)的有關(guān)公理、定理進(jìn)行說明（推理、證明）．3．要說明一個(gè)命題是假命題，只需舉一個(gè)反例即可．三、逆命題1．把原命題的結(jié)論作為命題的條件，把原命題的條件作為命題的結(jié)論，所組成的命題叫做原命題的逆命題．2．在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題．如果把其中的一個(gè)命題叫做原命題，那么另一個(gè)命題就叫做它的逆命題．3．正確寫出一個(gè)命題的逆命題的關(guān)鍵是能夠正確區(qū)分這個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論．4．每個(gè)命題都有逆命題，但原命題是真命題，它的逆命題不一定是真命題．四、公理與定理1．如果一個(gè)命題的正確性是人們?cè)陂L期實(shí)踐中總結(jié)出來的，并把它作為判斷其他命題真假的原始依據(jù)，這樣的真命題叫做公理．2．如果一個(gè)命題可以從公理或其他命題出發(fā)，用邏輯推理的方法判斷它是正確的，并且可以進(jìn)一步作為判斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的命題叫做定理．3．公理和定理都是真命題，都可作為證明其他命題是否為真命題的依據(jù)．4．由定理直接推出的結(jié)論，并且和定理一樣可作為進(jìn)一步推理依據(jù)的真命題叫做推論．五、互逆命題1．如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理叫做互逆定理，其中一個(gè)定理叫做另一個(gè)定理的逆定理．2．任何一個(gè)命題都有逆命題，而一個(gè)定理并不一定有逆定理．3．角平分線性質(zhì)定理及其逆定理、線段的垂直平分線性質(zhì)定理及其逆定理、勾股定理及其逆定理等都是互逆定理．六、反證法1．定義：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即命題結(jié)論的反面成立，由此經(jīng)過推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設(shè)不正確，從而得到原命題成立，這種證明方法叫做反證法．2．反證法的步驟：①假設(shè)命題結(jié)論的反面正確；②從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，推出與公理、定理、定義或已知條件相矛盾的結(jié)論；③說明假設(shè)不成立，從而得出原命題正確．重要問題解題思維方法總結(jié)一、定義、命題、公理和定理之間的關(guān)系這四者都是句子，都可以判斷真假，即定義、公理和定理也是命題，不同的是定義、公理和定理都是真命題，都可以作為進(jìn)一步判斷其他命題真假的依據(jù)，而命題不一定是真命題，因而它不一定能作為進(jìn)一步判斷其它命題真假的依據(jù)。一個(gè)命題的正確性需經(jīng)過推理，才能作出判斷，這個(gè)推理過程叫做證明。證明的依據(jù)：可以是已知條件，也可以是學(xué)過的定義、基本事實(shí)或定理等。二、證明命題基本方法（1）明確命題中的已知和求（包括隱含條件，如公共邊、公共角、對(duì)頂角、角平分線、中線、高、等腰三角形等所隱含的邊角關(guān)系）（2）根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)字符號(hào)表示已知和求證.（3）經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程.三、判斷真命題、假命題的方法1．判斷語句是否為命題要抓住兩條：①命題必須是一個(gè)完整的帶有判斷性的句子，通常是陳述句（包括肯定句和否定句），而疑問句和命令性語句都不是命題；②命題必須對(duì)某件事作出肯定或否定的判斷．2．辨別命題的真假時(shí)，對(duì)命題的正確性理解一定要準(zhǔn)確，進(jìn)行辨別時(shí)要熟練掌握相關(guān)的定理、公理、定義．要說明一個(gè)命題是假命題，通?？梢酝ㄟ^舉反例的方法解決．命題的反例是具備命題的條件，但不具備命題的結(jié)論的實(shí)例．四、互逆命題與互逆定理的關(guān)系1．如果兩個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論正好相反，那么這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題．如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題．2．一般地，如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是正確的，那么它也是一個(gè)定理，則稱這兩個(gè)定理互為逆定理，其中一個(gè)定理叫做另一個(gè)定理的逆定理．3．“題設(shè)與結(jié)論正好相反”可理解為第一個(gè)命題的題設(shè)是第二個(gè)命題的結(jié)論，第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的題設(shè)．五、對(duì)反證法的使用①當(dāng)命題的結(jié)論涉及“否定”“至多”“至少”“無限”“無數(shù)”“唯一”時(shí)常用反證法．②矛盾的類型：a．與已知定義、定理、公理相矛盾；b．與已知條件相矛盾；c．推出自相矛盾的結(jié)果．③用反證法證明問題的關(guān)鍵是清楚結(jié)論的反面是什么，有哪些情況，不要遺漏；利用反證法證明時(shí)，每一步都要有依據(jù)，直到推出矛盾．中考典例解析【例題1】（2021廣西貴港）下列命題是真命題的是（）A．同旁內(nèi)角相等，兩直線平行 B．對(duì)角線相等的四邊形是矩形 C．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 D．兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似【答案】D【解析】利用平行線的判定方法、矩形及菱形的判定方法、相似三角形的判定方法分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．A．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；B．對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；C．對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；D．兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似，正確，是真命題，符合題意．【例題2】（2021河北?。┒ɡ恚喝切蔚囊粋€(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．已知：如圖，∠ACD是△ABC的外角．求證：∠ACD＝∠A+∠B．證法1：如圖，∵∠A+∠B+∠ACB＝180°（三角形內(nèi)角和定理），又∵∠ACD+∠ACB＝180°（平角定義），∴∠ACD+∠ACB＝∠A+∠B+∠ACB（等量代換）．∴∠ACD＝∠A+∠B（等式性質(zhì)）．證法2：如圖，∵∠A＝76°，∠B＝59°，且∠ACD＝135°（量角器測(cè)量所得）又∵135°＝76°+59°（計(jì)算所得）∴∠ACD＝∠A+∠B（等量代換）．下列說法正確的是（）A．證法1還需證明其他形狀的三角形，該定理的證明才完整 B．證法1用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碜C明了該定理 C．證法2用特殊到一般法證明了該定理 D．證法2只要測(cè)量夠一百個(gè)三角形進(jìn)行驗(yàn)證，就能證明該定理【答案】B【解析】依據(jù)定理證明的一般步驟進(jìn)行分析判斷即可得出結(jié)論．∵證法1按照定理證明的一般步驟，從已知出發(fā)經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碚撟C，得出結(jié)論的正確，具有一般性，無需再證明其他形狀的三角形，∴A的說法不正確，不符合題意；∵證法1按照定理證明的一般步驟，從已知出發(fā)經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碚撟C，得出結(jié)論的正確，∴B的說法正確，符合題意；∵定理的證明必須經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碚撟C，不能用特殊情形來說明，∴C的說法不正確，不符合題意；∵定理的證明必須經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碚撟C，與測(cè)量次解答數(shù)的多少無關(guān)，∴D的說法不正確，不符合題意；綜上，B的說法正確．考點(diǎn)問題綜合訓(xùn)練一、單選題1．（2021廣西玉林）學(xué)習(xí)圓的性質(zhì)后，小銘與小熹就討論起來，小銘說：“被直徑平分的弦也與直徑垂直”，小熹說：“用反例就能說明這是假命題”．下列判斷正確的是（）A．兩人說的都對(duì) B．小銘說的對(duì)，小熹說的反例不存在 C．兩人說的都不對(duì) D．小銘說的不對(duì)，小熹說的反例存在【答案】D【解析】根據(jù)垂徑定理判斷即可．被直徑平分的弦也與直徑垂直，這個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤，當(dāng)弦是直徑時(shí)，滿足條件，結(jié)論不成立.2．（2021四川涼山）下列命題中，假命題是（）A．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 B．等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合 C．若AB＝BC，則點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn) D．三角形三條邊的垂直中分線的交點(diǎn)叫做這個(gè)三角形的外心【答案】【解析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)對(duì)A進(jìn)行判斷；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)對(duì)B進(jìn)行判斷；根據(jù)線段的中點(diǎn)定義對(duì)C進(jìn)行判斷；根據(jù)三角形外心的定義對(duì)D進(jìn)行判斷。A、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；B、等腰三角形頂角的平分線、底邊上的高相互重合；C、若A、B，且AB＝BC，所以C選項(xiàng)符合題意；D、三角形三條邊的垂直中分線的交點(diǎn)叫做這個(gè)三角形的外心。3．（2021浙江嘉興）能說明命題“若x為無理數(shù)，則x2也是無理數(shù)”是假命題的反例是（）A．x＝﹣1 B．x＝+1 C．x＝3 D．x＝﹣【答案】C【解析】根據(jù)題意，只要x2是有理數(shù)，即求出各個(gè)選項(xiàng)中x2的值，再判斷即可．（﹣1）2＝3﹣2，是無理數(shù)，不符合題意；（+1）2＝3+2，是無理數(shù)，不符合題意；（3）2＝18，是有理數(shù)，符合題意；（﹣）2＝5﹣2，是無理數(shù)，不符合題意．4．（2019內(nèi)蒙古巴彥卓爾）下列命題：①若x2+kx+是完全平方式，則k＝1；②若A（2，6），B（0，4），P（1，m）三點(diǎn)在同一直線上，則m＝5；③等腰三角形一邊上的中線所在的直線是它的對(duì)稱軸；④一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的2倍，則這個(gè)多邊形是六邊形．其中真命題個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】利用完全平方公式對(duì)①進(jìn)行判斷；利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，然后求出m，則可對(duì)②進(jìn)行判斷；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)對(duì)③進(jìn)行判斷；根據(jù)多邊形的內(nèi)角和和外角和對(duì)④進(jìn)行判斷．若x2+kx+是完全平方式，則k＝±1，所以①錯(cuò)誤；若A（2，6），B（0，4），P（1，m）三點(diǎn)在同一直線上，而直線AB的解析式為y＝x+4，則x＝1時(shí)，m＝5，所以②正確；等腰三角形底邊上的中線所在的直線是它的對(duì)稱軸，所以③錯(cuò)誤；一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的2倍，則這個(gè)多邊形是六邊形，所以④正確．5．（2021黑龍江綏化）下列命題是假命題的是（）A.任意一個(gè)三角形中，三角形兩邊的差小于第三邊B.三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半C.如果一個(gè)角的兩邊分別平行于另一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)角一定相等D.一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形【答案】C【解析】根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊、中位線定理、平行四邊形的判定方法依次即可求解．選項(xiàng)A：三角形的兩邊之差小于第三邊，故選項(xiàng)A正確，不符合題意；選項(xiàng)B：三角形的中位線平行且等于第三邊的一半，故選項(xiàng)B正確，不符合題意；選項(xiàng)C：一個(gè)角的兩邊分別平行另一個(gè)角的兩邊，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，故選項(xiàng)C不正確，是假命題，符合題意；選項(xiàng)D：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，故選項(xiàng)D正確，不符合題意．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理，三角形三邊之間的關(guān)系，平行四邊形的判定等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握各個(gè)基本定理和性質(zhì)是解決本類題的關(guān)鍵．6．（2021湖南衡陽）下列命題是真命題的是（）A．正六邊形的外角和大于正五邊形的外角和 B．正六邊形的每一個(gè)內(nèi)角為120° C．有一個(gè)角是60°的三角形是等邊三角形 D．對(duì)角線相等的四邊形是矩形【答案】B【解析】根據(jù)多邊形的外角和都是360度對(duì)A作出判斷；根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求出正六邊形的內(nèi)角和，再求出每個(gè)內(nèi)角對(duì)B作出判斷；根據(jù)等邊三角形的判定對(duì)C作出判斷；根據(jù)矩形的判定對(duì)D作出判斷． A．每個(gè)多邊形的外角和都是360°，故錯(cuò)誤，假命題；B．正六邊形的內(nèi)角和是720°，每個(gè)內(nèi)角是120°，故正確，真命題；C．有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形，故錯(cuò)誤，假命題；D．對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，故錯(cuò)誤，假命題．7．下列四個(gè)命題中，真命題有（）①兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等．②如果∠1和∠2是對(duì)頂角，那么∠1＝∠2．③三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)內(nèi)角．④如果x2＞0，那么x＞0．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【解析】利用平行線的性質(zhì)、對(duì)頂角的性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．A、兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等，故A錯(cuò)誤，為假命題；B、如果∠1和∠2是對(duì)頂角，那么∠1=∠2，故B正確，為真命題；C、三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角，故C錯(cuò)誤，為假命題；D、如x=-2時(shí)，x2＞0，但是x<0，故D錯(cuò)誤，為假命題，故選A．8．下列語句中真命題有()①點(diǎn)到直線的垂線段叫做點(diǎn)到直線的距離；②內(nèi)錯(cuò)角相等；③兩點(diǎn)之間線段最短；④過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；⑤在同一平面內(nèi)，若兩條直線都與第三條直線垂直，則這兩條直線互相平行．A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【答案】D【解析】利用點(diǎn)到直線的距離的定義、平行線的性質(zhì)、線段公理等知識(shí)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．①點(diǎn)到直線的垂線段的長度叫做點(diǎn)到直線的距離,故錯(cuò)誤,是假命題;②兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等,故錯(cuò)誤,是假命題;③兩點(diǎn)之間線段最短,正確,是真命題;④過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行,錯(cuò)誤,是假命題;⑤在同一平面內(nèi),若兩條直線都與第三條直線垂直,那么這兩條直線互相平行,正確,是真命題.真命題有2個(gè),故選D．9．現(xiàn)有以下命題：①斜邊中線和一個(gè)銳角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等；②一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形；③在圓中，平分弦的直徑垂直于弦；④平行于同一條直線的兩直線互相平行．其中真命題的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【解析】根據(jù)全等三角形的判定、平行四邊形的判定、垂徑定理、平行線的性質(zhì)一一判斷即可．①斜邊中線和一個(gè)銳角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，是真命題；②一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形，是假命題，比如等腰梯形；③在圓中，平分弦的直徑垂直于弦，是假命題（此弦非直徑）；④平行于同一條直線的兩直線互相平行，是真命題；故選B．10.下列命題中真命題是（）A．的算術(shù)平方根是2 B．?dāng)?shù)據(jù)2，0，3，2，3的方差是C．正六邊形的內(nèi)角和為360° D．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形【答案】B【解析】A.，2的算術(shù)平方根是，故A錯(cuò)誤；B.數(shù)據(jù)2，0，3，2，3的平均數(shù)是，方差是，故B正確；C.正六邊形的內(nèi)角和為，故C錯(cuò)誤；D.對(duì)角線互相垂直的四邊形不一定是菱形，可能是梯形，故D錯(cuò)誤，11.能說明命題“若a＞b，則3a＞2b“為假命題的反例為（）A．a(chǎn)＝3，b＝2 B．a(chǎn)＝﹣2，b＝﹣3 C．a(chǎn)＝2，b＝3 D．a(chǎn)＝﹣3，b＝﹣2【答案】B【解析】本題考查的是假命題的證明，任何一個(gè)命題非真即假．要說明一個(gè)命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出一個(gè)反例即可．當(dāng)a＝﹣2，b＝﹣3時(shí)，﹣2＞﹣3，而3×（﹣2）＝2×（﹣3），即a＞b時(shí)，3a＝2b，∴命題“若a＞b，則3a＞2b”為假命題，12.能說明命題“若一次函數(shù)經(jīng)過第一、二象限，則k+b＞0”是假命題的反例是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第一、二象限，則k＞0，b＞0或k＜0，b＞0二、填空題1．將命題“同角的余角相等”，改寫成“如果…，那么…”的形式_____．【答案】如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的余角，那么這兩個(gè)角相等【解析】根據(jù)“如果”后面接的部分是題設(shè)，“那么”后面解的部分是結(jié)論，即可解決問題．命題“同角的余角相等”，可以改寫成：如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的余角，那么這兩個(gè)角相等．2．命題“同位角相等，兩直線平行”中，條件是_____，結(jié)論是_____【答案】同位角相等兩直線平行【解析】由命題的題設(shè)和結(jié)論的定義進(jìn)行解答．命題中，已知的事項(xiàng)是“同