2022高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新設(shè)計(jì)二輪復(fù)習(xí) 第2講　三角恒等變換與解三角形

上篇

專(zhuān)題一

三角函數(shù)與解三角形

第2講三角恒等變換與解三角形高考定位1.三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值是高考的命題重點(diǎn)，其中關(guān)鍵是運(yùn)用倍角公式、兩角和與差公式進(jìn)行恒等變換，“角”的變換是三角恒等變換的核心；2.正、余弦定理及應(yīng)用是高考的必考內(nèi)容，主要考查邊、角、面積的計(jì)算及有關(guān)的范圍問(wèn)題，常與三角恒等變換交匯融合，解答題常處于第一題位置，注重基礎(chǔ)知識(shí)、基本能力的考查.真題感悟

考點(diǎn)整合熱點(diǎn)聚焦

分類(lèi)突破專(zhuān)題訓(xùn)練

對(duì)接高考內(nèi)容索引真題感悟

考點(diǎn)整合1D解析法一因?yàn)閠anθ＝－2，所以角θ的終邊在第二或第四象限，C法二因?yàn)閠anθ＝－2，3.(2021·新高考Ⅰ卷)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知b2＝ac，點(diǎn)D在邊AC上，BDsin∠ABC＝asinC. (1)證明：BD＝b.證明因?yàn)锽Dsin∠ABC＝asinC，所以由正弦定理得，BD·b＝ac，又b2＝ac，所以BD·b＝b2，又b>0，所以BD＝b.(2)若AD＝2DC，求cos∠ABC.解如圖，∠ADB＋∠BDC＝π，所以cos∠ADB＋cos∠BDC＝0.因?yàn)锳D＝2DC，4.(2020·北京卷)在△ABC中，a＋b＝11，再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求： (1)a的值；(2)sinC和△ABC的面積.解(從條件①②中任選一個(gè)即可)若選條件①：∵a＋b＝11，∴b＝11－a，(1)在△ABC中，由余弦定理，得解得a＝8.∵a＋b＝11，a＝8，∴b＝3，若選條件②：又∵a＋b＝11，∴a＝6，b＝5.(2)sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB1.三角函數(shù)公式2.正弦定理、余弦定理、三角形面積公式2熱點(diǎn)聚焦

分類(lèi)突破熱點(diǎn)一三角恒等變換CD1.三角恒等變換的基本思路：找差異，化同角(名)，化簡(jiǎn)求值.三角變換的關(guān)鍵在于對(duì)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等變換公式的熟記和靈活應(yīng)用，要善于觀(guān)察各個(gè)角之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)題目所給條件與恒等變換公式的聯(lián)系.2.求解三角函數(shù)中給值求角的問(wèn)題時(shí)，要根據(jù)已知角求這個(gè)角的某種三角函數(shù)值，然后結(jié)合角的取值范圍，求出角的大小.求解時(shí)，盡量縮小角的取值范圍，避免產(chǎn)生增解.探究提高BAD對(duì)于B選項(xiàng)，cos(α＋β)＝cos(kπ)＝±1，故B錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，sin2

α＋cos2

β＝sin2(kπ－β)＋cos2

β＝sin2

β＋cos2

β＝1，所以D正確.故選AD.熱點(diǎn)二正弦定理與余弦定理解

選擇條件①.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，選擇條件②.(注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，那么按第一個(gè)解答計(jì)分.)1.高考的熱點(diǎn)是利用正、余弦定理求三角形的邊、角、面積等基本計(jì)算，或?qū)蓚€(gè)定理與三角恒等變換相結(jié)合解三角形.2.關(guān)于解三角形問(wèn)題，一般要用到三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，常見(jiàn)的三角變換方法和原則都適用，同時(shí)要注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”，這是使問(wèn)題獲得解決的突破口.探究提高已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，

.(1)求A；解

選擇條件①.整理得，b2＋c2－a2＝－bc，選擇條件②.熱點(diǎn)三以平面幾何圖形為背景的解三角形(1)求AB的長(zhǎng)；又∠BAD＝60°，所以∠ADB＝75°，(2)若∠BAD＋∠BCD＝180°，BC＝1，求四邊形ABCD的面積.解由∠BAD＋∠BCD＝180°，可知∠BCD＝120°，設(shè)CD＝x，在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD，則7＝1＋x2－2x·cos120°，化簡(jiǎn)x2＋x－6＝0，解得x＝2或x＝－3(舍).1.平面幾何中解三角形問(wèn)題的求解思路.(1)把所提供的平面圖形拆分成若干個(gè)三角形，然后在各個(gè)三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解.(2)尋找各個(gè)三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結(jié)果.2.解題過(guò)程中，要用到平面幾何中的一些知識(shí)點(diǎn)，如相似三角形的邊角關(guān)系、平行四邊形的一些性質(zhì)，要把這些性質(zhì)與正弦、余弦定理有機(jī)結(jié)合，才能順利解決問(wèn)題.探究提高(2)求四邊形OACB面積的最大值.熱點(diǎn)四與解三角形相關(guān)的交匯問(wèn)題(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及f(x)的最大值；解

由已知得a＝(－sinx，cosx)，因?yàn)閍2＝b2＋c2－2bccosA，所以12＝b2＋c2－bc，所以b2＋c2＝bc＋12≥2bc，1.該題求解的關(guān)鍵是利用向量的知識(shí)將條件“脫去向量外衣”，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.2.與解三角形有關(guān)的交匯問(wèn)題的關(guān)注點(diǎn)(1)根據(jù)條件恰當(dāng)選擇正弦、余弦定理完成邊角互化.(2)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理、面積公式等，靈活運(yùn)用三角恒等變換公式.探究提高【訓(xùn)練4】

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知2a－b＝2c·cosB. (1)求角C的大??；解因?yàn)?a－b＝2c·cosB，利用正弦定理，得2sinA－sinB＝2sinC·cosB，①又sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，代入①式，得2sinBcosC－sinB＝0，解如圖所示，專(zhuān)題訓(xùn)練

對(duì)接高考3鞏固提升解析法一由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，得BC2＋2BC－15＝0，解得BC＝3或BC＝－5(舍去).故選D.DA3.(2021·南京調(diào)研)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若2bcosC≤2a－c，則角B的取值范圍是(

)A4.(2021·海南模擬)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若asinA＋2csinC＝2bsinCcosA，則角A的最大值為(

)A解析因?yàn)閍sinA＋2csinC＝2bsinCcosA，由正弦定理可得，a2＋2c2＝2bccosA，①由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccosA，②①＋②得2a2＝b2－c2，5.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列，a＋c＝2，則b的取值范圍是(

)A解析在△ABC中，由A，B，C成等差數(shù)列，得2B＝A＋C.∴1≤4－3ac<4，即1≤b2<4，解得1≤b<2.6.(多選)(2021·重慶調(diào)研)已知銳角△ABC中，A>B>C，則下列說(shuō)法正確的是(

)AB故選AB.二、填空題解析在△ABD中，∴在△FCB中，由余弦定理得解

在△ABC中，B＝π－(A＋C)，所以sinB＝sin(A＋C).選擇②，選擇③，11.(2021·新高考Ⅱ卷)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2. (1)若2sinC＝3sinA，求△ABC的面積；解因?yàn)?sinC＝3sinA，所以2c＝3a，又因?yàn)閏＝a＋2，所以2(a＋2)＝3a，則a＝4，b＝a＋1＝5，c＝a＋2＝6，(2)是否存在正整數(shù)a，使得△ABC為鈍角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由.解顯然c>b>a，若△ABC為鈍角三角形，則C為鈍角，故由余弦定理可得故解得0<a<3.又由三角形三邊關(guān)系可得a＋a＋1>a＋2，可得a>1，故1<a<3.又a為正整數(shù)，故a＝2.能力突破12.(多選)(2021·湖北十一校一聯(lián))在數(shù)學(xué)史上，為了三角計(jì)算的簡(jiǎn)便并且更加追求計(jì)算的精確性，曾經(jīng)出現(xiàn)過(guò)下列兩種三角函數(shù)：定義1－cosθ為角θ的正矢，記作versinθ；定義1－sinθ為角θ的余矢，記作coversθ.則下列命題中正確的是(

)BD所以函數(shù)f(x)的最大值為4，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；(1)求A的值；解

在△ABC中，由余弦定理得b2＋c2－bc＝3.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，S是△ABC的面積，若

(填條件序號(hào))，(1)求角C的大??；∴a(b－a)＝(b＋c)(b－c)，即a2＋b2－c2＝ab，(2)點(diǎn)D在CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且A為CD的中點(diǎn)，線(xiàn)段BD的長(zhǎng)度為2，求△ABC