2022年新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（回扣篇）第24練　圓錐曲線的方程與性質(zhì)

圓錐曲線的方程與性質(zhì)第24練專項(xiàng)典題精練高考匯編1.(2020·全國(guó)Ⅰ)已知A為拋物線C：y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p等于A.2 B.3 C.6 D.912345678910111213141516√12345678910111213141516解析設(shè)A(x，y)，又因?yàn)辄c(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離為9，即x＝9，12345678910111213141516√12345678910111213141516可得a2＋b2＝9. ②由①②可得a2＝4，b2＝5.3.(2019·全國(guó)Ⅱ)若拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)是橢圓

的一個(gè)焦點(diǎn)，則p等于A.2 B.3 C.4 D.8√1234567891011121314151612345678910111213141516√123456789101112131415165.(2021·全國(guó)甲卷)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，則C的離心率為12345678910111213141516√解析設(shè)|PF2|＝m，則|PF1|＝3m，12345678910111213141516√12345678910111213141516解析

方法一依題意，B(0，b)，設(shè)P(acosθ，bsinθ)，θ∈[0,2π)，因?yàn)閨PB|≤2b，所以對(duì)任意θ∈[0,2π)，(acosθ)2＋(bsinθ－b)2≤4b2恒成立，即(a2－b2)sin2θ＋2b2sinθ＋3b2－a2≥0對(duì)任意θ∈[0,2π)恒成立.令sinθ＝t，t∈[－1,1]，f(t)＝(a2－b2)t2＋2b2t＋3b2－a2，則原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意t∈[－1,1]，恒有f(t)≥0成立.因?yàn)閒(－1)＝0，12345678910111213141516方法二依題意，B(0，b)，設(shè)橢圓上一點(diǎn)P(x0，y0)，因?yàn)楫?dāng)y0＝－b時(shí)，|PB|2＝4b2，7.(2021·全國(guó)甲卷)已知F1，F(xiàn)2為橢圓C：

的兩個(gè)焦點(diǎn)，P，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且|PQ|＝|F1F2|，則四邊形PF1QF2的面積為___.123456789101112131415168解析根據(jù)橢圓的對(duì)稱性及|PQ|＝|F1F2|可以得到四邊形PF1QF2為對(duì)角線相等的平行四邊形，所以四邊形PF1QF2為矩形.設(shè)|PF1|＝m，則|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，則|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四邊形PF1QF2的面積為|PF1|×|PF2|＝m(8－m)＝8.12345678910111213141516212345678910111213141516所以F1B⊥F2B，如圖.所以點(diǎn)A為F1B的中點(diǎn)，又點(diǎn)O為F1F2的中點(diǎn)，所以O(shè)A∥BF2，所以F1B⊥OA，所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，所以∠BOF2＝2∠BF1O.12345678910111213141516因?yàn)橹本€OA，OB為雙曲線C的兩條漸近線，因?yàn)閠an∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，所以c2－a2＝3a2，即2a＝c，9.(2021·蘭州模擬)由倫敦著名建筑事務(wù)所SteynStudio設(shè)計(jì)的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品.若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線

(a>0，b>0)下支的一部分，且此雙曲線的離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為12345678910111213141516模擬精選√1234567891011121314151610.(2021·湛江模擬)已知拋物線C：x2＝－2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M是C上的一點(diǎn)，M到直線y＝2p的距離是M到C的準(zhǔn)線距離的2倍，且|MF|＝6，則p等于A.4 B.6 C.8 D.10√12345678910111213141516解析設(shè)M(x0，y0)，11.(2021·合肥模擬)已知橢圓C：

(a>1)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1的直線與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，若△MNF2的周長(zhǎng)為8，則△MF1F2面積的最大值為12345678910111213141516解析由橢圓的定義可得△MNF2的周長(zhǎng)為|MN|＋|MF2|＋|NF2|＝|MF1|＋|NF1|＋|MF2|＋|NF2|＝4a＝8，√12.(2021·太原模擬)已知雙曲線的兩條漸近線夾角為α，且tanα＝

，則其離心率為12345678910111213141516√解析由題意雙曲線的兩條漸近線夾角為α，123456789101112131415161234567891011121314151613.(多選)(2021·南通模擬)設(shè)A，B是拋物線y＝x2上的兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，下列結(jié)論成立的是A.若OA⊥OB，則|OA||OB|≥2B.若OA⊥OB，直線AB過(guò)定點(diǎn)(1,0)C.若OA⊥OB，O到直線AB的距離不大于1D.若直線AB過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，且|AF|＝

，則|BF|＝1√12345678910111213141516√√解析設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)，B項(xiàng)，將直線AB的方程代入拋物線方程y＝x2，得x2－kx－b＝0，則x1＋x2＝k，x1x2＝－b，∵OA⊥OB，∴kOA·kOB＝－b＝－1，b＝1.于是直線AB的方程為y＝kx＋1，該直線過(guò)定點(diǎn)(0,1)，故B不正確；1234567891011121314151612345678910111213141516∴|OA|·|OB|≥2正確；1234567891011121314151614.(多選)(2021·梅州模擬)下列關(guān)于圓錐曲線的命題中，正確的是A.設(shè)A，B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，

＝k，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為

雙曲線B.過(guò)定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動(dòng)弦AB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若

，

則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓C.方程2x2－5x＋2＝0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率12345678910111213141516√√12345678910111213141516解析對(duì)于A選項(xiàng)，若動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線，所以P為線段AB的中點(diǎn)，如圖所示.12345678910111213141516當(dāng)AB為圓C的一條直徑時(shí)，P與C重合；當(dāng)AB不是圓C的直徑時(shí)，由垂徑定理可得CP⊥AB，設(shè)AC的中點(diǎn)為M，所以點(diǎn)P的軌跡為圓，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，解方程2x2－5x＋2＝0，所以方程2x2－5x＋2＝0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率，C選項(xiàng)正確；1234567891011121314151615.(2021·九江模擬)已知離心率為2的雙曲線C1：

(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)F與拋物線C2的焦點(diǎn)重合，C1的中心與C2的頂點(diǎn)重合，M是C1與C2的公共點(diǎn)，若|MF|＝5，則C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________.1234567891011121314151612345678910111213141516設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)，16.(2021·徐州模擬)已知橢圓C1：

(a>b>0)的右頂點(diǎn)為P，右焦點(diǎn)F與拋物線C2的焦點(diǎn)重合，C2的頂點(diǎn)與C1的中心O重合.若C1與C2相交于點(diǎn)A，B，且四邊形OAPB為菱形，則C1的離心率為____.12345678910111213141516123456789101112131415解析設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p>0)，∴8ac＝3b2＝3(a2－c2)，∴3c2＋8ac－3a2＝0，∴3e2＋8e－3＝0，∴(3e－1)(e＋3)＝0，∵0<e<1，16考情分析練后疑難精講圓錐曲線的方程與幾何性質(zhì)是高考的重點(diǎn)，多以選擇題、填空題或解答題第一問(wèn)的形式命題，題目常為中檔難度.一、圓錐曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程核心提煉1.圓錐曲線的定義(1)橢圓：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)；(2)雙曲線：||MF1|－|MF2||＝2a(2a<|F1F2|)；(3)拋物線：|MF|＝d(d為M點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離).溫馨提醒：應(yīng)用圓錐曲線定義解題時(shí)，易忽視定義中隱含條件導(dǎo)致錯(cuò)誤.2.圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)橢圓：

(a>b>0)(焦點(diǎn)在x軸上)或

(a>b>0)(焦點(diǎn)在y軸上)；(2)雙曲線：

(a>0，b>0)(焦點(diǎn)在x軸上)或

(a>0，b>0)(焦點(diǎn)在y軸上)；(3)拋物線：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p>0).題號(hào)134711

二、橢圓、雙曲線的性質(zhì)核心提煉橢圓、雙曲線的性質(zhì)(1)橢圓、雙曲線中a，b，c之間的關(guān)系(2)雙曲線的漸近線方程與焦點(diǎn)坐標(biāo)①雙曲線

(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝

；焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0).②雙曲線

(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝

，焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c).題號(hào)25689121416

三、拋物線的性質(zhì)核心提煉拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程題號(hào)101315

123456易錯(cuò)對(duì)點(diǎn)精補(bǔ)1.[T3補(bǔ)償](2021·酒泉模擬)拋物線y2＝－2px(p>0)的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)橢圓＝1的右焦點(diǎn)，則p等于A.2 B.4 C.8 D.12√所以p＝4.2.[T10補(bǔ)償](2021·寶雞模擬)設(shè)拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l與y軸的交點(diǎn)為M，P是C上一點(diǎn)，若|PF|＝5，則|PM|等于123456√解析如圖所示，過(guò)P作PQ垂直于l，交l于Q，不妨設(shè)P(x，y)(x>0)，所以y＝4，所以x＝4，即P(4,4)，所以|QM|＝4，1234563.[T9補(bǔ)償](2021·六安模擬)六安市新建的廣播電視發(fā)射塔計(jì)劃于2021年3月竣工，它被譽(yù)為六安的“東方明珠塔”，是一個(gè)集發(fā)射和接收信號(hào)、應(yīng)急指揮、旅游休閑于一體的多功能文化景觀塔.發(fā)射塔總體高度308米，主要由塔座、塔身、塔樓、桅桿四部分組成.其塔身是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面(如圖1)，它的最小口徑為2r米，在最小口徑上方h米處的口徑為4r米，若某同學(xué)在平面直角坐標(biāo)系中繪制出了該雙曲線(如圖2)，則其漸近線的方程為√123456由題意得a＝r，雙曲線又過(guò)點(diǎn)(2r，h)，4.[T13補(bǔ)償](多選)(2021·長(zhǎng)沙模擬)已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)