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2022年山東省菏澤市普通高校對(duì)口單招高等數(shù)學(xué)一自考測(cè)試卷(含答案)學(xué)校:________班級(jí):________姓名:________考號(hào):________
一、單選題(20題)1.設(shè)函數(shù)y=ex-2,則dy=()A.e^(x-3)dxB.e^(x-2)dxC.e^(x-1)dxD.e^xdx
2.A.-3-xln3
B.-3-x/ln3
C.3-x/ln3
D.3-xln3
3.級(jí)數(shù)(k為非零正常數(shù))().A.A.條件收斂B.絕對(duì)收斂C.收斂性與k有關(guān)D.發(fā)散
4.
A.僅有水平漸近線
B.既有水平漸近線,又有鉛直漸近線
C.僅有鉛直漸近線
D.既無(wú)水平漸近線,又無(wú)鉛直漸近線
5.
6.設(shè)y1,y2為二階線性常系數(shù)微分方程y"+p1y'+p2y=0的兩個(gè)特解,則C1y1+C2y2().A.A.為所給方程的解,但不是通解B.為所給方程的解,但不一定是通解C.為所給方程的通解D.不為所給方程的解
7.下列等式成立的是
A.A.
B.B.
C.C.
D.D.
8.
9.設(shè)z=x3-3x-y,則它在點(diǎn)(1,0)處
A.取得極大值B.取得極小值C.無(wú)極值D.無(wú)法判定
10.
11.設(shè)y=sin2x,則y'=A.A.2cosxB.cos2xC.2cos2xD.cosx
12.
13.下列關(guān)于動(dòng)載荷的敘述不正確的一項(xiàng)是()。
A.動(dòng)載荷和靜載荷的本質(zhì)區(qū)別是前者構(gòu)件內(nèi)各點(diǎn)的加速度必須考慮,而后者可忽略不計(jì)
B.勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)荷因數(shù)為
C.自由落體沖擊時(shí)的動(dòng)荷因數(shù)為
D.增大靜變形是減小沖擊載荷的主要途徑
14.設(shè)Y=e-3x,則dy等于().
A.e-3xdx
B.-e-3xdx
C.-3e-3xdx
D.3e-3xdx
15.
16.A.2/5B.0C.-2/5D.1/2
17.
18.等于().A.A.0
B.
C.
D.∞
19.在下列函數(shù)中,在指定區(qū)間為有界的是()。
A.f(x)=22z∈(一∞,0)
B.f(x)=lnxz∈(0,1)
C.
D.f(x)=x2x∈(0,+∞)
20.
A.
B.
C.
D.
二、填空題(20題)21.
22.23.微分方程y"+y'=0的通解為_(kāi)_____.
24.
25.
26.27.
28.
29.
30.如果函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得f(b)-f(a)=________。
31.設(shè)=3,則a=________。
32.
33.
34.
35.
36.
37.38.39.
40.三、計(jì)算題(20題)41.研究級(jí)數(shù)的收斂性(即何時(shí)絕對(duì)收斂,何時(shí)條件收斂,何時(shí)發(fā)散,其中常數(shù)a>0.
42.已知某商品市場(chǎng)需求規(guī)律為Q=100e-0.25p,當(dāng)p=10時(shí),若價(jià)格上漲1%,需求量增(減)百分之幾?
43.44.設(shè)平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0,其面密度
u(x,y)=2+y2,求該薄板的質(zhì)量m.45.將f(x)=e-2X展開(kāi)為x的冪級(jí)數(shù).46.當(dāng)x一0時(shí)f(x)與sin2x是等價(jià)無(wú)窮小量,則47.48.求函數(shù)y=x-lnx的單調(diào)區(qū)間,并求該曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線l的方程.
49.
50.求函數(shù)一的單調(diào)區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).51.求微分方程的通解.52.求曲線在點(diǎn)(1,3)處的切線方程.53.求函數(shù)f(x)=x3-3x+1的單調(diào)區(qū)間和極值.
54.
55.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解.
56.設(shè)拋物線Y=1-x2與x軸的交點(diǎn)為A、B,在拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域內(nèi),以線段AB為下底作內(nèi)接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示).設(shè)梯形上底CD長(zhǎng)為2x,面積為
S(x).
(1)寫(xiě)出S(x)的表達(dá)式;
(2)求S(x)的最大值.
57.證明:58.
59.60.
四、解答題(10題)61.62.
63.
64.
65.
66.設(shè)z=z(x,y)由x2+y3+2z=1確定,求
67.
68.設(shè)平面薄片的方程可以表示為x2+y2≤R2,x≥0,薄片上點(diǎn)(x,y)處的密度,求該薄片的質(zhì)量M.
69.
70.設(shè)
五、高等數(shù)學(xué)(0題)71.
=________.則f(2)=__________。
六、解答題(0題)72.
參考答案
1.B
2.A由復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)椒▌t可知,因此選A.
3.A
4.A
5.D解析:
6.B本題考查的知識(shí)點(diǎn)為線性常系數(shù)微分方程解的結(jié)構(gòu).
已知y1,y2為二階線性常系數(shù)齊次微分方程y"+p1y'+p2y=0的兩個(gè)解,由解的結(jié)構(gòu)定理可知C1y1+C2y2為所給方程的解,因此應(yīng)排除D.又由解的結(jié)構(gòu)定理可知,當(dāng)y1,y2線性無(wú)關(guān)時(shí),C1y1+C2y2為y"+p1y'+p2y=0的通解,因此應(yīng)該選B.
本題中常見(jiàn)的錯(cuò)誤是選C.這是由于忽略了線性常系數(shù)微分方程解的結(jié)構(gòu)定理中的條件所導(dǎo)致的錯(cuò)誤.解的結(jié)構(gòu)定理中指出:“若y1,y2為二階線性常系數(shù)微分方程y"+p1y'+p2y=0的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解,則C1y1+C2y2為所給微分方程的通解,其中C1,C2為任意常數(shù).”由于所給命題中沒(méi)有指出)y1,y2為線性無(wú)關(guān)的特解,可知C1y1+C2y2不一定為方程的通解.但是由解的結(jié)構(gòu)定理知C1y1+C2y2為方程的解,因此應(yīng)選B.
7.C本題考查了函數(shù)的極限的知識(shí)點(diǎn)
8.D
9.C
10.D
11.C由鏈?zhǔn)椒▌t可得(sin2x)'=cos2x*(2x)'=2cos2x,故選C。
12.A
13.C
14.C
15.D
16.A本題考查了定積分的性質(zhì)的知識(shí)點(diǎn)
17.C
18.A
19.A∵0<2x<1x∈(一∞,0)∴f(x)=2x在區(qū)間(一∞,0)內(nèi)為有界函數(shù)。
20.B本題考查的知識(shí)點(diǎn)為交換二次積分次序。由所給二次積分可知積分區(qū)域D可以表示為1≤y≤2,y≤x≤2,交換積分次序后,D可以表示為1≤x≤2,1≤y≤x,故應(yīng)選B。
21.(12)
22.
23.y=C1+C2e-x,其中C1,C2為任意常數(shù)本題考查的知識(shí)點(diǎn)為二階線性常系數(shù)齊次微分方程的求解.
二階線性常系數(shù)齊次微分方程求解的一般步驟為:先寫(xiě)出特征方程,求出特征根,再寫(xiě)出方程的通解.
微分方程為y"+y'=0.
特征方程為r3+r=0.
特征根r1=0.r2=-1.
因此所給微分方程的通解為
y=C1+C2e-x,
其牛C1,C2為任意常數(shù).
24.x=-3x=-3解析:
25.
26.
27.
本題考查的知識(shí)點(diǎn)為隱函數(shù)的微分.
解法1將所給表達(dá)式兩端關(guān)于x求導(dǎo),可得
從而
解法2將所給表達(dá)式兩端微分,
28.29.0.
本題考查的知識(shí)點(diǎn)為連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值問(wèn)題.
通常求解的思路為:
30.f"(ξ)(b-a)由題目條件可知函數(shù)f(x)在[a,b]上滿(mǎn)足拉格朗日中值定理的條件,因此必定存在一點(diǎn)ξ∈(a,b),使f(b)-f(a)=f"(ξ)(b-a)。
31.
32.y=f(0)
33.0
34.
本題考查的知識(shí)點(diǎn)為二階常系數(shù)線性齊次微分方程的求解.
35.
36.
37.38.1/2本題考查的知識(shí)點(diǎn)為極限的運(yùn)算.
39.
40.發(fā)散
41.
42.需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p
∴當(dāng)P=10時(shí)價(jià)格上漲1%需求量減少2.5%需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p,
∴當(dāng)P=10時(shí),價(jià)格上漲1%需求量減少2.5%
43.44.由二重積分物理意義知
45.46.由等價(jià)無(wú)窮小量的定義可知
47.
48.
49.
50.
列表:
說(shuō)明
51.52.曲線方程為,點(diǎn)(1,3)在曲線上.
因此所求曲線方程為或?qū)憺?x+y-5=0.
如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)存在,則表明曲線y=f(x)在點(diǎn)
(x0,fx0))處存在切線,且切線的斜率為f′(x0).切線方程為
53.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>
注意
54.
55.解:原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為y"-4y'+4y=0,
56.
57.
58.由一階線性微分方程通解公式有
59.
60.
則
61.
62.
63.
64.【解析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)為求二元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分.
解法1
解法2利用微分運(yùn)算
【解題指導(dǎo)】
求二元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)有兩種方法:
65.解
66.本題考查的知識(shí)點(diǎn)為求二元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).
若z=z(x,y)由方程F(x,y,z)=0確定,求z對(duì)x,y的偏導(dǎo)數(shù)通常有兩種方法:
一是利用偏導(dǎo)數(shù)公式,當(dāng)需注意F'x,F(xiàn)'yF'z分別表示F(x,y,z)對(duì)x,y,z的偏導(dǎo)數(shù).上面式F(z,y,z)中將z,y,z三
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