三重積分的計算及重積分的應(yīng)用

演示文稿三重積分(Fen)的計算及重積分(Fen)的應(yīng)用第一頁，共五十一頁。（優(yōu)選）三重積分的計算及重積分的應(yīng)(Ying)用第二頁，共五十一頁。把(Ba)積分化為三次積分,其中由曲面提示:

積分域為原式及平面所圍成的閉區(qū)域.P183

題7練習(xí)題第三頁，共五十一頁。

計算三重積(Ji)分其中是由

xoy平面上曲線所圍成的閉區(qū)域.提示:

利用柱坐標(biāo)原式繞x

軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面與平面P183

題8(3)第四頁，共五十一頁。三重積分計(Ji)算的基本技巧分塊積分法利用對稱性1.交換積分順序的方法2.利用對稱性簡化計算3.消去被積函數(shù)絕對值符號1.積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對稱性.2.被積函數(shù)在積分區(qū)域上關(guān)于三個坐標(biāo)變量的奇偶性.只有當(dāng)積分區(qū)域和被積函數(shù)的對稱性相匹配時,才能簡化.利用對稱性簡化三重積分的計算：第五頁，共五十一頁。其它情形依此(Ci)類推.三重積分計算的簡化第六頁，共五十一頁。P182

題(Ti)1(1)

設(shè)有空間閉區(qū)域

則有（）第七頁，共五十一頁。例(Li)1

解典型例題第八頁，共五十一頁。

例(Li)2

解利用球面坐標(biāo)第九頁，共五十一頁。例(Li)3

解

在球坐標(biāo)系下利用洛必達(dá)法則與導(dǎo)數(shù)定義,得其中第十頁，共五十一頁。第(Di)四節(jié)一、立體體積三、物體的質(zhì)心重積分的應(yīng)用

第十章四、物體的轉(zhuǎn)動慣量二、曲面的面積五、物體的引力第十一頁，共五十一頁。二重積分的(De)元素法將定積分的元素法推廣到二重積分，可得二重積分的元素法：若要計算的某個量U對于閉區(qū)域D具有可加性：

并且在閉區(qū)域D內(nèi)任取一個直徑很小的閉區(qū)域dσ時，相應(yīng)地部分量可近似地表示為f(x,y)dσ的形式，其中(x,y)在dσ內(nèi)。f(x,y)dσ稱為所求量U的元素，記為dU，則所求量的積分表達(dá)式為：（即當(dāng)閉區(qū)域D分成許多小閉區(qū)域時，所求量U相應(yīng)地分成許多部分量，且U等于部分量之和），第十二頁，共五十一頁。一(Yi)、立體體積第十三頁，共五十一頁。一、立體(Ti)體(Ti)積

曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面則其體積為

占有空間有界域

的立體的體積為第十四頁，共五十一頁。任一點的(De)切平面與曲面所圍立體的體積V.例1.求曲面分析:

第一步:求切平面方程;第二步:求與S2的交線在xOy面上的投影,寫出所圍區(qū)域D;第三步:求體積V.(示意圖)第十五頁，共五十一頁。任(Ren)一點的切平面與曲面所圍立體的體積V.解:

曲面的切平面方程為它與曲面的交線在

xOy

面上的投影為(記所圍域為D)在點例1.求曲面第十六頁，共五十一頁。例2.求半徑為a

的(De)球面與半頂角為的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積.解:在球坐標(biāo)系下空間立體所占區(qū)域為則立體體積為第十七頁，共五十一頁。二、曲(Qu)面的面積第十八頁，共五十一頁。曲面(Mian)方程：D:有界閉區(qū)域求曲面的面積A第十九頁，共五十一頁。設(shè)光滑曲(Qu)面則面積A可看成曲面上各點處小切平面的面積dA無限積累而成.設(shè)它在D

上的投影為d

,(稱為面積元素)則(見P99)第二十頁，共五十一頁。故(Gu)有曲面面積公式若光滑曲面方程為則有即第二十一頁，共五十一頁。若光滑曲面(Mian)方程為若光滑曲面方程為隱式則則有且第二十二頁，共五十一頁。曲面(Mian)面(Mian)積其中D是曲面在坐標(biāo)面z=0上的投影區(qū)域求曲面面積的步驟：（1）求曲面在坐標(biāo)面z=0上的投影區(qū)域D（2）在區(qū)域D上計算二重積分：第二十三頁，共五十一頁。同(Tong)理可得設(shè)曲面的方程為：曲面面積公式為：設(shè)曲面的方程為：曲面面積公式為：第二十四頁，共五十一頁。例3求球面被平面所截的球冠的面積。解(Jie)：球冠在xoy面上的投影區(qū)域：第二十五頁，共五十一頁。第二十六頁，共五十一頁。第二十七頁，共五十一頁。半(Ban)球面面積：球面面積：第二十八頁，共五十一頁。例4求圓錐面被圓柱面所截部分的面積。投(Tou)影區(qū)域：所求曲面：第二十九頁，共五十一頁。作(Zuo)業(yè)P155

10P175

1，2，3習(xí)題課第三十頁，共五十一頁。三、物體的(De)質(zhì)心第三十一頁，共五十一頁。三、物體(Ti)的質(zhì)心設(shè)空間有n個質(zhì)點,其質(zhì)量分別由力學(xué)知,該質(zhì)點系的質(zhì)心坐標(biāo)設(shè)物體占有空間域

,有連續(xù)密度函數(shù)則公式,分別位于為為即:采用“分割，近似，求和，取極限”可導(dǎo)出其質(zhì)心第三十二頁，共五十一頁。將分(Fen)成

n

小塊,將第k塊看作質(zhì)量集中于點例如,令各小區(qū)域的最大直徑系的質(zhì)心坐標(biāo)就近似該物體的質(zhì)心坐標(biāo).的質(zhì)點,即得此質(zhì)點在第k塊上任取一點第三十三頁，共五十一頁。同理可(Ke)得則得形心坐標(biāo)：第三十四頁，共五十一頁。若物體為占有xoy面上區(qū)(Qu)域D的平面薄片,(A

為D

的面積)得D

的形心坐標(biāo):則它的質(zhì)心坐標(biāo)為其面密度—對x

軸的

靜矩—對y

軸的

靜矩第三十五頁，共五十一頁。例5.求位于(Yu)兩圓和的質(zhì)心（形心）。

解:

利用對稱性可知而之間均勻薄片第三十六頁，共五十一頁。z=0yxzo

柱面坐(Zuo)標(biāo)a...用哪種坐標(biāo)？例6..第三十七頁，共五十一頁。四、物體的轉(zhuǎn)動(Dong)慣量第三十八頁，共五十一頁。設(shè)(She)平面有n個質(zhì)點該質(zhì)點系的轉(zhuǎn)動慣量第k個質(zhì)點的位置質(zhì)點系的轉(zhuǎn)動慣量質(zhì)量xoy第三十九頁，共五十一頁。平面薄片的轉(zhuǎn)動(Dong)慣量TheMomentofInertiaofaLamina第四十頁，共五十一頁。如果物(Wu)體是平面薄片,面密度為則轉(zhuǎn)動慣量的表達(dá)式是二重積分.第四十一頁，共五十一頁。例7.求半徑為a的均勻(Yun)半圓薄片對其直徑解:建立坐標(biāo)系如圖,半圓薄片的質(zhì)量的轉(zhuǎn)動慣量.第四十二頁，共五十一頁?？臻g有界閉區(qū)域上物體的轉(zhuǎn)(Zhuan)動慣量設(shè)物體占有空間區(qū)域,有連續(xù)分布的密度函數(shù)該物體位于(x,y,z)處的微元因此物體對z軸的轉(zhuǎn)動慣量:對z軸的轉(zhuǎn)動慣量為第四十三頁，共五十一頁。類(Lei)似可得:對x

軸的轉(zhuǎn)動慣量對y

軸的轉(zhuǎn)動慣量對原點的轉(zhuǎn)動慣量第四十四頁，共五十一頁。解:

取(Qu)球心為原點,z軸為l

軸,則球體的質(zhì)量例8.求均勻球體對于過球心的一條軸

l

的轉(zhuǎn)動慣量.設(shè)球所占域為(用球坐標(biāo))第四十五頁，共五十一頁。五、物體的(De)引力第四十六頁，共五十一頁。

,G

為引力常(Chang)數(shù)五、物體的引力設(shè)物體占有空間區(qū)域,物體對位于點P0(x0,y0,z0)處的單位質(zhì)量質(zhì)點的引力為其密度函數(shù)引力元素在三坐標(biāo)軸上分量為其中第四十七頁，共五十一頁。若求xOy面上(Shang)的平面薄片D,對點P0處的單位質(zhì)量質(zhì)點的引力分量,因此引力分量為則上式改為D上的二重積分,密度函數(shù)改為即可.例如,