有限元綜述(優(yōu)選)

有限元綜述蔡璟、呂丹丹、李川摘要：有限元法(FiniteElementMethod)是「一種高效能、常用的數(shù)值計(jì)算方法。1965年“有限元”這個(gè)名詞第一次出現(xiàn)，經(jīng)歷了三十多年的發(fā)展歷史，理論和算法都已經(jīng)日趨完善。如今，有限元在工程上得到廣泛應(yīng)用。本文首先介紹了有限元的研究背景和意義，其次從它的誕生、主要特點(diǎn)以及解題步驟三方面闡述相關(guān)概念，再討論傳統(tǒng)有限元算法及優(yōu)化算法、有限元與其他算法結(jié)合得到的混合算法兩個(gè)方面來分類闡述各自的研究現(xiàn)狀與特點(diǎn)，最后總結(jié)有限元算法的應(yīng)用以及發(fā)展趨勢。關(guān)鍵詞：有限元法，F(xiàn)EM，經(jīng)典算法，優(yōu)化算法，網(wǎng)格優(yōu)化，Herrmann算法，時(shí)域有限元，混合算法，矩量法，時(shí)域有限差分，應(yīng)用研究，邊界元法，光滑粒子法，發(fā)展趨勢前言有限元法(FiniteElementMethod)是一種高效能、常用的數(shù)值計(jì)算方法，其基本思想是由解給定的泊松方程化為求解泛函的極值問題。有限元法在早期是以變分原理為基礎(chǔ)發(fā)展起來的，所以它廣泛地應(yīng)用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各類物理場中(這類場與泛函的極值問題有著緊密的聯(lián)系)。自從1969年以來，某些學(xué)者在流體力學(xué)中應(yīng)用加權(quán)余數(shù)法中的迦遼金法(Galerkin)或最小二乘法等同樣獲得了有限元方程，解決了物理場應(yīng)用中的限制。經(jīng)歷幾十年的發(fā)展，有限元法已經(jīng)被廣泛用于各個(gè)領(lǐng)域。1.研究背景和意義有限元法的思想首先由R.Courant在1943年提出，十九世紀(jì)六十年代數(shù)值分析科學(xué)家認(rèn)識(shí)了有限元基本思想，建立了有限元方法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。其中，我國數(shù)學(xué)家馮康獨(dú)立地提出了有限元方法，將其命名為“基于變分原理的差分格式”，對有限元方法的創(chuàng)始及奠基工作做出了重要貢獻(xiàn)。以變分原理為基礎(chǔ)建立起來的有限元法,因其理論依據(jù)的普遍性,不僅廣泛地被應(yīng)用于各種結(jié)構(gòu)工程,而且作為一種聲譽(yù)很高的數(shù)值分析方法已被普遍推廣并成功地用來解決其他工程領(lǐng)域中的問題,例如熱傳導(dǎo)!滲流!流體力學(xué)、空氣動(dòng)力學(xué)、土壤力學(xué)、機(jī)械零件強(qiáng)度分析、電磁場工程問題等等。有限元法由于可以模擬任意幾何模型和各種特性的復(fù)雜材料而且具有的適應(yīng)性強(qiáng)、程序較為通用等優(yōu)勢而得到了長足的發(fā)展。同時(shí)，結(jié)合其他方法和理論呈現(xiàn)出廣闊的應(yīng)用前景，如自適應(yīng)網(wǎng)格剖分、三維場建模求解、耦合問題、開放域問題等領(lǐng)域取得較多成果?，F(xiàn)階段，為了進(jìn)一步拓寬求解問題的廣泛性以及適應(yīng)求解問題對高精度，高復(fù)雜程度的要求，有限元還需要進(jìn)行突破性的工作。2.有限元研究概況2.1有限元的誕生1943年，數(shù)學(xué)家?guī)炖实碌谝淮翁岢隽丝稍诙x域內(nèi)分片地使用展開函數(shù)來表達(dá)其上的未知函數(shù)，最早提出有限元法基本思想。20世紀(jì)50年代，飛機(jī)設(shè)計(jì)師們發(fā)現(xiàn)無法用傳統(tǒng)的力學(xué)方法分析飛機(jī)的應(yīng)力、應(yīng)變等問題。波音公司的一個(gè)技術(shù)小組，首先將連續(xù)體的機(jī)翼離散為三角形板塊的集合來進(jìn)行應(yīng)力分析，經(jīng)過一番波折后獲得前述的兩個(gè)離散的成功。20世紀(jì)50年代，大型電子計(jì)算機(jī)投入了解算大型代數(shù)方程組的工作，這為實(shí)現(xiàn)有限元技術(shù)準(zhǔn)備好了物質(zhì)條件。1960年前后，美國的R.W.Clough教授及我國的馮康教授分別獨(dú)立地在論文中提出了“有限單元”這樣的名詞。此后，這樣的叫法被大家接受，有限元技術(shù)從此正式誕生。有限元的概念及特點(diǎn)有限元法是以變分原理為基礎(chǔ)，將要求解的微分方程型數(shù)學(xué)模型——邊值問題，首先轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的變分問題，即泛函求極值問題；然后，利用剖分插值將變分問題離散化為普通多元函數(shù)的極值問題，最終歸結(jié)為一組多元的代數(shù)方程組，求解該方程組，從而獲得邊值問題的數(shù)值解，巧妙的將函數(shù)逼近理論、偏微分方程、變分與泛函分析結(jié)合到一起。其主要特點(diǎn)有：一、 離散化過程保持了明顯的物理意義。因?yàn)樽兎衷砻枋隽酥湮锢憩F(xiàn)象的物理學(xué)中的最小作用原理（如力學(xué)中的最小勢能原理、靜電學(xué)中的湯姆遜定理等）。因此，基于問題固有的物理特性而予以離散化處理，列出計(jì)算公式，可保證方法的正確性、數(shù)值解的存在與穩(wěn)定性等前提要素。二、 優(yōu)異的解題能力。與其他數(shù)值方法相比較，有限元法在適應(yīng)場域邊界幾何形狀及媒質(zhì)物理性質(zhì)變異情況的復(fù)雜問題求解上，有突出優(yōu)點(diǎn)：不受幾何形狀和媒質(zhì)分布的復(fù)雜程度限制；不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件是自動(dòng)滿足的；不必單獨(dú)處理第二、三類邊界條件；離散點(diǎn)配置比較隨意，通過控制有限單元剖分密度和單元插值函數(shù)的選取，可以充分保證所需的數(shù)值計(jì)算精度三、 可方便地編寫通用計(jì)算程序，使之構(gòu)成模塊化的子程序集合，并且從數(shù)學(xué)理論意義上講，有限元作為應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它使微分方程的解法與理論面目一新，推動(dòng)了泛函分析與計(jì)算方法的發(fā)展。有限元的解題步驟對于有限元方法，其解題步驟可歸納為：1） 建立積分方程，根據(jù)變分原理或方程余量與權(quán)函數(shù)正交化原理，建立與微分方程初邊值問題等價(jià)的積分表達(dá)式，這是有限元法的出發(fā)點(diǎn)。2） 區(qū)域單元剖分，根據(jù)求解區(qū)域的形狀及實(shí)際問題的物理特點(diǎn)，將區(qū)域剖分為若干相互連接、不重疊的單元。區(qū)域單元?jiǎng)澐质遣捎糜邢拊椒ǖ那捌跍?zhǔn)備工作，這部分工作量比較大，除了給計(jì)算單元和節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)和確定相互之間的關(guān)系之外，還要表示節(jié)點(diǎn)的位置坐標(biāo)，同時(shí)還需要列出自然邊界和本質(zhì)邊界的節(jié)點(diǎn)序號(hào)和相應(yīng)的邊界值。3） 確定單元基函數(shù)，根據(jù)單元中節(jié)點(diǎn)數(shù)目及對近似解精度的要求，選擇滿足一定插值條件的插值函數(shù)作為單元基函數(shù)。有限元方法中的基函數(shù)是在單元中選取的，由于各單元具有規(guī)則的幾何形狀，在選取基函數(shù)時(shí)可遵循一定的法則。4）單元分析：將各個(gè)單元中的求解函數(shù)用單元基函數(shù)的線性組合表達(dá)式進(jìn)行逼近；再將近似函數(shù)代入積分方程，并對單元區(qū)域進(jìn)行積分，可獲得含有待定系數(shù)（即單元中各節(jié)點(diǎn)的參數(shù)值）的代數(shù)方程組，稱為單元有限元方程。5）總體合成：在得出單元有限元方程之后，將區(qū)域中所有單元有限元方程按一定法則進(jìn)行累加，形成總體有限元方程。6）邊界條件的處理：一般邊界條件有三種形式，分為本質(zhì)邊界條件（狄里克雷邊界條件）、自然邊界條件（黎曼邊界條件）、混合邊界條件（柯西邊界條件）。對于自然邊界條件，一般在積分表達(dá)式中可自動(dòng)得到滿足。對于本質(zhì)邊界條件和混合邊界條件，需按一定法則對總體有限元方程進(jìn)行修正滿足。7）解有限元方程：根據(jù)邊界條件修正的總體有限元方程組，是含所有待定未知量的封閉方程組，采用適當(dāng)?shù)臄?shù)值計(jì)算方法求解，可求得各節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值。3有限元的研究現(xiàn)狀經(jīng)典有限元算法及優(yōu)化算法傳統(tǒng)有限元法與矢量有限元算法傳統(tǒng)的有限元方法（Node-basedFEM）又稱節(jié)點(diǎn)有限元法，是通過插值節(jié)點(diǎn)數(shù)值而獲得的節(jié)點(diǎn)基函數(shù)來表示各離散單元內(nèi)電磁場的分量及其位函數(shù),稱為標(biāo)量有限元方法或基于節(jié)點(diǎn)的有限元方法。它是以變分原理和剖分插值為基礎(chǔ)的方法,即將定解區(qū)域劃分成許多小單元，然后按單元分別插值并合并起來得到總的插值，再以求泛函極值的方法來得到我們所需要的近似解答。矢量有限元法（Edge-basedFEM）是一種分析電磁場問題的新型數(shù)值方法，是對標(biāo)量有限元法的大膽改進(jìn),它區(qū)別于標(biāo)量有限元方法之處在于，Edge-basedFEM將自由度賦予剖分單元的棱邊而不是單元結(jié)點(diǎn),即使用的是所謂矢量基或者矢量元,這種方法使得強(qiáng)加邊界條件非常容易；在尖劈頂點(diǎn)不會(huì)出現(xiàn)奇點(diǎn);合理選擇基函數(shù),直接模擬離散單元內(nèi)矢量場而非位函數(shù)或矢量場的分量,保證矢量場的散度為零,剔除了偽解,從而克服了上述傳統(tǒng)有限元方法所存在的缺點(diǎn)。相對于經(jīng)典的標(biāo)量有限元法，矢量有限元法還有如下優(yōu)點(diǎn)：（l）它自然滿足電場或磁場在介質(zhì)分界面上的切向連續(xù)性條件；（2）由于棱邊與棱邊的禍合弱于節(jié)點(diǎn)的禍合,因而所得到的總體矩陣具有較少的非零元和較大的稀疏度，從而減少了計(jì)算量。有限元網(wǎng)格優(yōu)化算法在采用有限元法進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析或者結(jié)構(gòu)優(yōu)化時(shí)，由于數(shù)值算法的精度與單元分布的合理程度及單元形狀的質(zhì)量有著十分密切的關(guān)系，網(wǎng)格過度不均勻或單元畸變會(huì)大大增加計(jì)算誤差。因此，為了消除單元畸變和合理調(diào)整網(wǎng)格均勻度，需要采用網(wǎng)格優(yōu)化方法對所建立的有限元幾何模型進(jìn)行處理。對于有限元網(wǎng)格的優(yōu)化問題，比較典型的方法是Herrmann算法，具有計(jì)算量小和適應(yīng)性好的特點(diǎn)，網(wǎng)格優(yōu)化可靠性較高。時(shí)域有限元法在超寬帶通信廣泛應(yīng)用的大背景下，在研發(fā)設(shè)計(jì)的過程中面對具有復(fù)雜結(jié)構(gòu)和非均勻介質(zhì)的超寬帶天線、超寬帶雷達(dá)的瞬態(tài)輻射問題進(jìn)行仿真設(shè)計(jì)時(shí)提出了新的要求。由此發(fā)展出包括時(shí)域有限元(Time-DomainFEM)在內(nèi)的時(shí)域分析的計(jì)算方法。該方法結(jié)合了FDTD顯式積分法的簡明性和傳統(tǒng)有限元的靈活性，但是由于采用的是節(jié)點(diǎn)元，在強(qiáng)加邊界條件時(shí)存在困難，此外還會(huì)出現(xiàn)電場和磁場點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)上的交替出現(xiàn)而產(chǎn)生的越級(jí)問題。針對這些問題，完全匹配層和正交基函數(shù)概念的提出，時(shí)域有限元法得到較大的發(fā)展。中間還發(fā)展出了積分形式的隱式時(shí)域有限元法。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是簡單而且穩(wěn)定，其缺點(diǎn)是只適用于理想導(dǎo)電面或理想導(dǎo)磁面；對于無界空間的開域問題，采用傳統(tǒng)的吸收邊界條件，會(huì)使計(jì)算區(qū)域變得十分龐大；同時(shí)，它在每個(gè)時(shí)間步上需要求解一個(gè)空間矩陣方程。由于上述原因，加之當(dāng)時(shí)計(jì)算機(jī)速度和內(nèi)存的限制。直到出現(xiàn)正交基函數(shù)和子域分解并行計(jì)算方法來解決龐大計(jì)算量的問題。同時(shí)，近幾年計(jì)算機(jī)硬件的發(fā)展，尤其是GPU并行運(yùn)算功能不斷被挖掘。結(jié)合時(shí)域有限元法本身是矩陣運(yùn)算的關(guān)鍵點(diǎn)，使得通過GPU硬件加速計(jì)算成為可能。有限元混合算法3.2.1混合有限元-矩量法矩量法是一種將連續(xù)方程離散化成代數(shù)方程的方法，它既適用于求解積分方程又適用于求解微分方程。由于已有有效的數(shù)值計(jì)算方求解微分方程，比如有限元法，故目前矩量法大都用來求解積分方程?；驹砜梢愿爬椋河捎谟邢拊椒梢韵齻谓猓食Ｓ糜陔x散矢量Helmholtz方程。對整個(gè)有限元作用域積分，可以得到矩陣方程組。計(jì)算矩陣方程組中的未知量進(jìn)行MOM法近似、離散及求逆，從而解得未知量的解。采用矩量法計(jì)算電磁問題主要體現(xiàn)在阻抗矩陣的填充和線性方程組的求解這兩個(gè)階段，利用有限元模擬幾何形狀復(fù)雜、物質(zhì)構(gòu)成多樣的虛擬邊界的內(nèi)部，而用矩量法截?cái)嗲蠼鈪^(qū)域，不但充分利用了有限元方法及矩量法各自的長處，而且由于用矩量法截?cái)嗲蠼鈪^(qū)域相當(dāng)于求解邊界是精確的，所以其模擬精度大大提高。但是，用該方法離散得到的復(fù)線性系統(tǒng)用迭代法求解收斂很慢，因此預(yù)處理技術(shù)不得不用于加速迭代法的收斂速率?；旌嫌邢拊c時(shí)域有限差分法FDTD方法因?yàn)槠浜唵胃咝?，在電磁學(xué)方面得到了廣泛的應(yīng)用。由于FDTD采取階梯斜邊界的逼近方法，使得它的準(zhǔn)確性差。有限元法能夠處理復(fù)雜邊界，得到較為精確的逼近值，但是FEM需要比FDTD高很多的內(nèi)存，需要更強(qiáng)的系統(tǒng)支持。FEM-FDTD法是基于等效原理。用它來處理物理上未連接的對象，但僅相隔一小段距離，足以允許等效原理表面放置在他們之間。3.2.3混合有限元-邊界元法邊界元法是把描述場的微分方程通過加權(quán)余量法歸結(jié)為邊界上的積分方程,然后對積分方程進(jìn)行邊界分割及插值,從而求得近似解,因此它可以使求解的問題降低一維,數(shù)據(jù)輸入簡單,但是對于不均勻介質(zhì)問題,由于難以求得Green函數(shù),因而應(yīng)用邊界元法求解這類問題時(shí)會(huì)遇到困難。應(yīng)用有限元-邊界元混合方法計(jì)算二維各向異性不均勻介質(zhì)柱電磁散射。對柱體內(nèi)、外區(qū)域分別采用有限元和邊界元法進(jìn)行分析,應(yīng)用邊界條件建立部分稀疏部分滿填充的待求矩陣方程,然后應(yīng)用內(nèi)觀法，結(jié)合多波前法求解該方程。計(jì)算結(jié)果表明,由于有限元法易于處理不均勻介質(zhì),邊界元法易于分析開放域,因此兩者的混合在計(jì)算這種開放的不均勻問題時(shí)有一定的優(yōu)勢。由于有限元法具有廣泛的適用性,它不僅可以分析均勻介質(zhì),也可以分析不均勻介質(zhì),而邊界元法特別適用于分析開放區(qū)域,因而兩者地結(jié)合可以充分地發(fā)揮各自的優(yōu)點(diǎn),同時(shí)由于采用內(nèi)觀法結(jié)合多波前法求解耦合方程組,這在一定程度上消除了FEM/BEM混合方法中邊界元法所導(dǎo)出的部分滿陣對于方程求解所帶來的不利影響。3.2.4混合有限元-光滑粒子法有限元法對于小變形問題計(jì)算精度好、效率高，但對于大變形問題會(huì)遭遇單元畸變，其求解精度和效率都會(huì)顯著降低。光滑粒子法具有很強(qiáng)的大變形求解能力，易于模擬材料的破碎和飛濺等復(fù)雜物理現(xiàn)象，但是在計(jì)算效率和邊界條件處理方面不如有限元法。有限元法與光滑粒子法結(jié)合，可以充分利用兩種算法的優(yōu)勢，為大變形問題的模擬提供一條有效的途徑。其基本思想是對問題域中的大變形區(qū)域采用光滑粒子法計(jì)算，而對小變形區(qū)域采用有限元法計(jì)算。這樣就使得算法既具有良好的大變形模擬能力，又具有較高的計(jì)算效率。4.有限元的應(yīng)用及趨勢有限元的應(yīng)用范圍也是相當(dāng)?shù)膹V的。它涉及到工程結(jié)構(gòu)、傳熱、流體運(yùn)動(dòng)、電磁等連續(xù)介質(zhì)的力學(xué)分析中，并在氣象、地球物理、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域得到應(yīng)用和發(fā)展。電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)和發(fā)展是有限元法在許多實(shí)際問題中的應(yīng)用變?yōu)楝F(xiàn)實(shí)，并具有廣闊的前景。國際上早20世紀(jì)在50年代末、60年代初就投入大量的人力和物力開發(fā)具有強(qiáng)大功能的有限元分析程序，主要有德國的ASKA、英國的PAFEC、法國的SYSTUS、美國的ABQUS、ADINA、ANSYS、BERSAFE、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC和STARDYNE等公司的產(chǎn)品。當(dāng)今國際上FEM方法和軟件發(fā)展呈現(xiàn)出以下一些趨勢特征：一、 從單純的結(jié)構(gòu)力學(xué)計(jì)算發(fā)展到求解許多物理場問題。有限元分析方法從最初的結(jié)構(gòu)化矩陣分析發(fā)展而來,逐步推廣到板、殼和實(shí)體等連續(xù)體固體力學(xué)分析。近年來有限元方法已發(fā)展到流體力學(xué)、溫度場、電傳導(dǎo)、磁場、滲流和聲場等問題的求解計(jì)算,最近又發(fā)展到求解幾個(gè)交叉學(xué)科的問題。例如當(dāng)氣流流過一個(gè)很高的鐵塔時(shí)就會(huì)使鐵塔產(chǎn)生變形,而塔的變形又反過來影響到氣流的流動(dòng)……二、 由求解線性工程問題進(jìn)展到分析非線性問題。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,線性理論已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足設(shè)計(jì)的要求。例如建筑行業(yè)中的高層建筑和大跨度懸索橋的出現(xiàn),就要求考慮結(jié)構(gòu)的大位移和大應(yīng)變等幾何非線性問題;航天和動(dòng)力工程的高溫部件存在熱變形和熱應(yīng)力,也要考慮材料的非線性問題等，僅靠線性計(jì)算理論就不足以解決遇到的問題,只有采用非線性有限元算法才能解決。三、 增強(qiáng)可視化的前置建模和后置數(shù)據(jù)處理功能。早期有限元分析軟件的研究重點(diǎn)在于推導(dǎo)新的高效率求解方法和高精度的單元。隨著數(shù)值分析方法的逐步完善,尤其是計(jì)算機(jī)運(yùn)算速度的飛速發(fā)展,整個(gè)計(jì)算系統(tǒng)用于求解運(yùn)算的時(shí)間越來越少,而數(shù)據(jù)準(zhǔn)備和運(yùn)算結(jié)果的表現(xiàn)問題卻日益突出。在現(xiàn)在的工程工作站上,求解一個(gè)包含10萬個(gè)方程的有限元模型只需要用幾十分鐘。但是如果用手工方式來建立這個(gè)模型,然后再處理大量的計(jì)算結(jié)果則需用幾周的時(shí)間。可以毫不夸張地說,工程師在分析計(jì)算一個(gè)工程問題時(shí)有80%以上的精力都花在數(shù)據(jù)準(zhǔn)備和結(jié)果分析上。因此目前幾乎所有的商業(yè)化有限元程序系統(tǒng)都有功能很強(qiáng)的前置建模和后置數(shù)據(jù)處理模塊。在強(qiáng)調(diào)"可視化"的今天,很多程序都建立了對用戶非常友好的GUI(GraphicsUserInterface),使用戶能以可視圖形方式直觀快速地進(jìn)行網(wǎng)格自動(dòng)劃分,生成有限元分析所需數(shù)據(jù),并按要求將大量的計(jì)算結(jié)果整理成變形圖、等值分布云圖,便于極值搜索和所需數(shù)據(jù)的列表輸出。四、 與CAD軟件的無縫集成。當(dāng)今有限元分析系統(tǒng)的另一個(gè)特點(diǎn)是與通用CAD軟件的集成使用,即在用CAD軟件完成部件和零件的造型設(shè)計(jì)后,自動(dòng)生成有限元網(wǎng)格并進(jìn)行計(jì)算,如果分析的結(jié)果不符合設(shè)計(jì)要求則重新進(jìn)行造型和計(jì)算,直到滿意為止,從而極大地提高了設(shè)計(jì)水平和效率。五、 在Wintel平臺(tái)上的發(fā)展。早期的有限元分析軟件基本上都是在大中型計(jì)算機(jī)(主要是Mainframe)上開發(fā)和運(yùn)行的,后來又發(fā)展到以工程工作站(EWS,EngineeringWorkStation)為平臺(tái)，它們的共同特點(diǎn)都是采用UNIX操作系統(tǒng)。PC機(jī)的出現(xiàn)使計(jì)算機(jī)的應(yīng)用發(fā)生了根本性的變化，工程師渴望在辦公桌上完成復(fù)雜工程分析的夢想成為現(xiàn)實(shí)。5總結(jié)與展望本小組通過明確分工 ， 相互合作，收集并閱讀相關(guān)文獻(xiàn)，了解了有限元法的概念、誕生歷程、研究現(xiàn)狀和相關(guān)應(yīng)用及趨勢。通過相互合作，我們小組不僅增進(jìn)了同學(xué)之間的感情，而且了解了相關(guān)知識(shí)，收獲頗豐。本文闡述了有限元法的研究背景、發(fā)展歷程、解題思路以及主要特點(diǎn)，重點(diǎn)介紹了有限元法的研究現(xiàn)狀和研究趨勢。在大力推廣CAD技術(shù)的今天，從自行車到航天飛機(jī)，所有的設(shè)計(jì)制造以及仿真研究都離不開有限元分析計(jì)算，有限元法在工程設(shè)計(jì)和分析中已經(jīng)得到越來越廣泛的應(yīng)用，盡管有限元法已經(jīng)日趨成熟，但是在可視化上和建模易操作性上還有待提升，相信隨著科技的發(fā)展與軟件的更新，有限元法將會(huì)更加完善，應(yīng)用領(lǐng)域也更加廣袤。參考文獻(xiàn)李明瑞?交互式有限元軟件FEM的功能及設(shè)計(jì)思想[J].北京農(nóng)業(yè)工程大學(xué)學(xué)報(bào),1986(2):63-69.邵敏?有限元法基本原理和數(shù)值方法[M].北京：清華大學(xué)出版社，1997.5.李明瑞?微型機(jī)用線性與非線性有限元軟件FEMJ].建筑結(jié)構(gòu)，1987(5):9-12.DelfimSoaresJr.Atime-domainFEMapproachbasedonimplicitGree'nsfunctionsforthedynamicanalysisofporousmedia.Volume197，Issues51-52,15October200&Pages4645-4652.葉先磊，師雅潔.ANSYS工程分析軟件應(yīng)用實(shí)例【M】.北京：清華大學(xué)出版社，2003:17-114傅永華?有限元法分析基礎(chǔ)【M】.武漢：武漢大學(xué)出版社，2003有限元分析基礎(chǔ)，傅永華，武漢大學(xué)出版社，2003.08有限元分析及應(yīng)用，劉揚(yáng),劉巨保,羅敏編著.北京:中國電力出版社,2008.7ANSYS11.0結(jié)構(gòu)分析工程應(yīng)用實(shí)例解析，張朝輝主編.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2006.10有限元基礎(chǔ)教程，曾攀，北京，高等教育出版社，2009.074．金建銘.電磁場與有限元算法【M】?西安：西安電子科技大學(xué)出版社，2001.Hansson.Finiteelementanalysisofthreedimensionalfibrenetworks[J].2004.John.H.Mathews,KurtisD.FINK，數(shù)值方法【M】，北京：電子工業(yè)出版社，2005.馬振林，現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)手冊一計(jì)算與數(shù)值分析卷【M】，北京：清華大學(xué)出版社，2005.DianrongGAO,HaijunQ,XianghuiLU.FiniteElementNumericalSimulationandPIVMeasurementofFlowFieldinsideMetering-inSpoolValveandDiscretizationwithFEM[J].中國機(jī)械工程學(xué)報(bào),2009,22(1):102-108.鄭宏，李春光?求解安全系數(shù)的有限元法[J].巖土工程學(xué)報(bào)，2002,24(5):626-628.范瑾?應(yīng)用于電磁散射分析的有限元算法研究[D].西北工業(yè)大學(xué)，2006.董碩?用于天線分析的二階FEM-PML算法的研究與實(shí)現(xiàn)[D].北京大學(xué)，2006.王洪.有限元分析軟件HFSS于天線工程設(shè)計(jì)的仿真應(yīng)用[J].福建電腦，2010，26(3):31-32.張志春，強(qiáng)洪夫，高巍然.光滑粒子流體動(dòng)力學(xué)-有限元法接觸算法研究[J]高壓物理學(xué)報(bào)，2011，25(2):97-103.LiuYR,ZhuHE,LengKD,etal.DynamiclimitequilibriumanalysisofslidingblockforrockslopebasedonnonlinearFEM[J].JournalofCentralSouthUniversity,2013,20(8):2263-2274.張峰,徐向鋒,李術(shù)才.FiniteelementanalysisofFRP-strengthenedRCbeams[J].哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2015,47(8):125-128.段火元.混合有限元方法的若干研究[D].中國科學(xué)院,2002.QingYang,VanJones,LeighMcCue,Free-surfaceflowinteractionswithdeformablestrueturesusinganSPH-FEMmodel.Volume55,1December2012,Pages136-147.肖毅華.有限元法與光滑粒子法的耦合算法研究[D].湖南大學(xué)，2012.VikenN.KoukounianandChrisK.Mechefske,FEM-BEMModelingandExperimental.VerificationoftheVibro-AcousticBehaviourofaSectionofAircraftFuselage.PaperNo.DETC2016-59163,pp.V008T10A005.Yotov,V,Aglietti,GS,Remedia,MandRichardson,G(2016)StochasticFEM-BEMMethodforSpacecraftVibroacousticAnalysisIn:14thEuropeanConferenceonSpacecraftStructures,MaterialsandEnvironmentalTesting(ECSSMET),2016-09-27-2016-09-30,Toulouse,France.L.-X.GuoandR.-W.Xu,“AnefficientmultiregionFEM-BIMforcompositescatteringfromanarbitrarydielectrictargetabovedielectricroughseasurfaces,