中考數(shù)學(xué)培優(yōu) 易錯 難題之反比例函數(shù)

中考數(shù)學(xué)培優(yōu)易錯難題(含解析)之反比例函數(shù)含答案一、反例函數(shù)．在平面直角坐標系內(nèi)，雙曲線：y=

（＞）別與直O(jiān)A：和線：﹣x+10，于CD兩點，并且．（）出雙曲的解析式；（）結(jié)CD，求四邊形OCDB的積．【答案】（1）解：過點、C、D作x軸的垂線，垂足分別是、、F，AMO=CEO=，直：和線：﹣x+10，AOB=，CEO△DEB

==3，設(shè)﹣m，）其中m＞，C，），點C、在曲線上，9m

（﹣）解得：或（去）C3，），k=9，雙線y=

（0）（）：由（1）知D（，）（，，（，）BF=1，

OE=3，，

+Seq\o\ac(△,)+Seq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)S

OCDB

CDFE=×3×3+×1+3）

，四形的積是17【解析】【分析】（）點A、、作x軸垂線，垂足分別是、、，由直線和y=﹣可知ABO=45°，eq\o\ac(△,)，而可知

==3，后設(shè)設(shè)（﹣，m），其中m＞，從而可知C的坐標為3m，）利用C、在比例函數(shù)圖象上列出方程即可求出的．2）分別求eq\o\ac(△,)OCEeq\o\ac(△,)DFB、形CDFE的面積即可求出答案．2．如圖直角坐標系中，矩形ABCD的邊BC在x軸上，點，的坐標分別為B10），（，）．（）C的標_______；（）反比例函數(shù)

（的圖象經(jīng)過直線上點E，點E的標為（，m），求m的及反比例函數(shù)的解析式；（）（）中的反比例函數(shù)的圖象與CD相于點，連接，在直線AB上一點P，使得

=，求點的標．【答案】（）3，）（）：AB=CD=3，A的坐標為（，），又C（，0），設(shè)直線AC的析為y=ax+b則，得：，直AC的解析式為y=﹣x+．點E（，）在直線上

m=﹣×2+=，點E（，）．反例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點，=3，反例函數(shù)的解式為y=（）：延長FC至M，CF，連接EM，則eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)EFM=eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)，M，0.5．在y=中，當時，，（1）過點作直線MP交線AB于，則eq\o\ac(△,)．設(shè)直線EF的析式為，

，解得，y=﹣x+．設(shè)直線PM的解析式為y=x+c，代入M（，0.5，得：，y=﹣．當時，y=0.5，點P（，）同理可得點P（，）點坐標為1，0.5或1，）．

eq\o\ac(△,)EFMeq\o\ac(△,)EFMeq\o\ac(△,)【解析】【解答】解：（）D（，），OC=3C3，）．故答案為（，）；【分析】（）D的坐標為3，得到線段OC=3，可確定出C的標；（）由矩形的對邊相等，得到AB=CD，由的坐標確定出CD的，即為的，再由的標確定出OB的，再由為一象限，確定出A的標，由A與C的標確定出直線AC的解析式，將E坐標代入直線解式中，求出m的，定出E的坐標，代入反比例解析式中求出的值，即可確定出反比例解析式；（3）長FC至，CM=CF，連EM，則

=，（，﹣0.5）求出F（，），過點M作線MPEF交線于P，利用平行線間的距離處處相等相等利用底等高得到eq\o\ac(△,)

．此直線與線PM的率相同，由F的坐標與C橫標相同求出的橫坐標，代入反比例解析式中，確定出坐，由E與F坐確定出直線斜，即為直線的率，再M坐標，確定出直線PM解析式，由P橫坐標與B橫坐標相同，將B橫標代入直線PM解式中求出的，即為P的縱坐標，進而確定出此時P的標．3．如圖，已知一次數(shù)與x軸y軸分別交于點，，比例函數(shù)y=經(jīng)過點M．（）M是線段AB上一個動點（不與點、重）．當a=﹣時設(shè)點M的橫坐標為m，求k與之的函數(shù)關(guān)系式．（）一次函y=ax+2的圖象與反比例函數(shù)y=的象有唯一公共點M，且，a的值．（）﹣2時將eq\o\ac(△,)在第一限內(nèi)沿直線

y=x平移

個單位長度得到

eq\o\ac(△,)A′B，圖2，是eq\o\ac(△,)A′B斜上的一個動點，求k的值范圍．【答案】（）：當﹣時﹣，當時，﹣，x=，點M的坐標為m，且M是段AB上一個動點（不與點、重），＜＜，，DANG則

，﹣，當時，﹣

+2m（＜m）（）：由題得：

，ax+2=，k=0，直a）雙曲線y=有一公共點M時=4+4ak=0，ak=﹣，﹣，

則，解得：OM=，

，1

+（）（）

，a=±（）：當a=﹣時y=，點的標為（，），點B的坐標為02，將eq\o\ac(△,)在第一象限內(nèi)沿直線平

個單位得到eq\o\ac(△,)′O，′（，）B（，），點是eq\o\ac(△,)A′B斜上一動點，當點與′重合時，，當點與B重時k=3，k的值范圍是2≤k【解析】【分析】（）a=﹣時，直線解析式為﹣，出A點橫坐標，由于點M的橫坐標為m且M是線段上的一個動點（不與點AB重合）從而得到m的值范圍，由3x+2=,由X=m得﹣2（＜＜）；2由得ax2+2x﹣k=0直線（）雙曲線y=有一公共點M時eq\o\ac(△,)=4+4ak=0，﹣，勾股定理即可；（3）a=﹣時y=﹣，而求出、兩的坐標由平移的知識知，點坐標，從而得到k的值范圍。4．如圖，矩形OABC的點A、分在xy軸正半軸上，點為BC邊的點，反比例函數(shù)y=

（在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點

（，）AB邊上的點（，）．（）反比例數(shù)的表達式和的值；

（）矩形OABC的進行折疊，使點O于D重合，折痕分別與x軸軸半軸交于點F，，求折痕FG所直線的數(shù)關(guān)系式．【答案】（）：反例函數(shù)=2，

（）第象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點（，）反例函數(shù)的表式為y=

．又點（，2）在反比例函數(shù)y=

的圖象上，2m=2，解得：（）：設(shè)OG=x則﹣，點（，）CD=1．在eq\o\ac(△,Rt)中DCG=90°，CG=2，，，CD+CG=DG，解得：點G（，

，即1+（﹣）=x）．

，過點作FHCB于點，圖所示．由折疊的特性可知：GDF=GOF=90°，，．CDG=90°，，HDF，F(xiàn)HD=90°，GCD△DHF，DF=2GD=

=2，，點的標為（

，）

設(shè)折痕FG所直線的函數(shù)關(guān)系式為y=ax+b，有，解得：．折FG所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣

x+【解析】【分析】（）點的坐標利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求出值，再由點B在比例函數(shù)圖象上，代入即可求出值2），用勾股定理即可得出關(guān)于x的元二次方程，解方程即可求出x值，從而得出點G的標．再點F作FHCB于H，由此可得eq\o\ac(△,出)△DHF，據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出線段的長度，從而得出點的標，結(jié)點G、的標利用待定系數(shù)法即可求出結(jié)論．5．如，在平面直角坐標系中，平行四邊形點坐為.

的邊，點

坐標為，（）的標________，的標是________（表）；（）雙曲線（）平行四形【答案】（）（）：雙線

過平行四邊形與雙曲線；過點

的頂點和，該雙曲線的表達式；總有公共點，求的取值范圍和點，

點的坐標為

，解得，，點坐標為

，把點的坐標

代入，解得，雙線表達式為

在雙曲線（）：平四邊形當當點在雙曲線的取值范圍

與雙曲線，得到，得到.

，，

總有公共點，【解析】【分析】（）四邊形為平行四邊形，得到A與縱標同，C與D縱坐標相同，橫坐標相差2，出B、坐即可；）根據(jù)B與在比例圖象上，得到C與D橫縱坐標乘相等，求出b的確定出B坐，進而求出的，確定出雙曲線解析式；3）住兩個關(guān)鍵點，將A坐標代入雙曲線解析式求出b的；將C坐標代入雙曲線解析式求出的值，即可確定出平行四邊形與雙曲線總有公共點時b的圍．6．理數(shù)學(xué)興趣小組在探究如何求的，經(jīng)過思考、討論、交流，得到以下思路：思路一如，在eq\o\ac(△,Rt)中，，ABC=30°，長CB至點D，使BD=BA，接．設(shè)AC=1，則BD=BA=2，．

．tanD=tan15°==思路二利科普書上的和（差）角正切公式：（α±）α=60°，代差角正切公式：（﹣45°）．=思路三在角為30°的腰三角形中，作腰上高也可…思路四請解決下列問題（上述思路僅供參考）．

=

．假設(shè)

（）比：求的；（）用：如2某電視塔建在一座小山上，山高BC為30米在地平面上有一點，測得AC兩點間距離為60米，從測得電視塔的視角CAD為，這座電視塔CD的度；（）展：如，直線

與雙曲線

交于，兩，與y軸于點，將直線繞C旋轉(zhuǎn)45°后是否仍與雙曲線相交？若能，求出交點的坐標；若不能，請說明理由．【答案】（）：方法一：如圖1在eq\o\ac(△,)ABC中，C=90°，，長至點，BD=BA，接AD設(shè)AC=1，則BC=

．===

；方法二：（45°+30°）==（）：如圖，在eq\o\ac(△,)中，==

，sin

，即BAC=30°．DAC=45°，DAB=45°+30°=75°．在eq\o\ac(△,)中，DAB=

，DB=ABDAB=

（）

，DC=DB﹣

=．答：這座電視塔CD的高度為（）

（）：若直線AB繞C逆時針旋轉(zhuǎn)45°后與雙曲線相交于，圖．點C作x軸，過點P作PECD于，過點A作CD于．解方程組：

，得：

或，點（1）點B（﹣，﹣）對于

，當x=0時，y=﹣，C（﹣）OC=1，CF=4，﹣（﹣）=2，tanACF=

，∴PCE=tan（ACP+）=tan（ACF）==3，即則有：，

=3．點P的標為（，）解得：

或，點的坐標為（1，）或（，）②若線繞C順針旋轉(zhuǎn)后，與x軸交于點，圖．由①可ACP=45°，（，），則CP．過點P作PHy軸于H，則

GOC=，GCO=90°﹣HCP=，，

．CH=3﹣（﹣），，，

，GO=3，（3，）設(shè)線的析式為，則有：，解得：，直CG的解析式為．聯(lián)立：，△=

，消去y，得：，理得：，方?jīng)]有實數(shù)根，點P不存在．綜上所述：直線AB繞旋45°，能與雙曲線相交，交點的坐標為（﹣，﹣4）（，）【解析】【分析】，DAC用邊的比值表示在eq\o\ac(△,)ABC中由勾股定理求出，三角函數(shù)得出∠從而得到∠，在eq\o\ac(△,)中可求出，﹣分種情況討論，設(shè)點P的坐標為（a，），根據(jù)tanPCE和P在圖像上列出含有a，的程組，求出a利用已知證eq\o\ac(△,)CHP根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出G的標設(shè)出直線CG的析式，與反比例函數(shù)組成方程組消元eq\o\ac(△,)<0點P不存在.7．如圖，一次函數(shù)y=﹣的象與反比例y=（為數(shù)，且k≠0）的圖象交于1，a，兩點．（）反比例數(shù)的表達式及點B的坐標；（）x軸上找一點P，使的最小，求滿足條件的點P的坐標．【答案】（）：點A（，）一次函數(shù)y=﹣的象上，﹣1+3=2，點（，）點（，）反比例（為數(shù)，且≠0）圖象上，

k=1×2=2，反例函數(shù)的表式為y=．聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)關(guān)系式成方程組，得：，解得：

，，點（2，）（）：作點于x軸對稱點B（，1）連接AB，x軸于點，連接，圖所示．點、關(guān)軸對稱，PB=PB．點、P、三點共線，此PA+PB取小值．設(shè)直線AB的數(shù)表達式為y=mx+n（≠0）將（，）、B（，1）代入y=mx+n，，解得：，直AB的數(shù)表達式為y=﹣3x+5．當y=﹣3x+5=0時，x=，滿條件的點的標為（，）【解析】【分析】（）x=1代直線AB的數(shù)表達式中即可求出點A的坐標，由點的坐標利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求出反比例函數(shù)的表達式，聯(lián)立兩函數(shù)表達式成方程組，通過解方程組即可求出點的坐標；2作B點于x軸的對稱點′（，﹣1）連接AB，交x軸點，連接，由兩點之間線段最短可得出此時PA+PB取最小值，根據(jù)點A、的標利用待定系數(shù)法可求出直線的數(shù)表達，再利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求出點的標．8．【閱讀理解】我們知道，當a＞且b0時（（當時等號），

﹣）所以a﹣，從而a+b≥2

121212121212【獲得結(jié)論】設(shè)函數(shù)y=x+（＞，x0），由上述結(jié)論可知：當x=即x=

時，函數(shù)y有最小值為2（）直接應(yīng)】若=x（＞）y（＞）則當x=________時，+y取最小值為________．（）變形應(yīng)】若（＞﹣）與y（+4（＞﹣）則

的最小值是_______（）探索應(yīng)】在平面直角坐標系中，點A（3，）點（0，2，點P是數(shù)y=在第一象限內(nèi)圖象上的一個動點，過P點作PCx軸于點，y軸于點D，點P的坐為x四邊形ABCD的積為S①求S與x之的函數(shù)關(guān)系式；②求S的小值，判斷取得最小值時的四邊形ABCD的狀，并說明理由．【答案】（）；（）（）：設(shè)（，）則C（，）（，），+2AC?BD=（x+3）+2）=6+x+；②x＞x+≥2=6當x=時即x=3時，x+有最小值，

12121212此有小值12，，（2）C（3），（2）A、C關(guān)x軸稱，、關(guān)y軸稱，即四邊形ABCD的角線互相垂直平分，四形為形．【解析】【解答】解：（）＞，y+y=x+≥2=2，當x=時即x=1時，y+y有小，答案為：；；（）x＞，，

=

=（）+≥2，∴當x+1=

時，即x=1時，

有最小值4，故答案為4；【分析】（）接由結(jié)論可求得其取得最小值，及其對應(yīng)的的值；2）把x+1看一個整體，再利用結(jié)論可求得答案；（）可（x，）則可表示出、的標，從而可表示出和，利用面積公式可表示四邊形ABCD的面積，從而可得到S與的函數(shù)關(guān)系式再用結(jié)論可求得其最得小值時對應(yīng)的x的，則可得到、C、D的坐標，可判斷、關(guān)x軸對稱B、關(guān)軸對稱，可判斷四邊形為形．9．在面直角坐標系xOy中，對于雙曲線y=（0）和雙曲線（＞）如果，則稱雙曲線y=

（＞）雙曲線y=

（＞）“倍雙曲線”，雙曲線y=（0）雙曲線y=（＞）的倍曲”，雙曲線（＞）雙曲線y=（＞0）的半曲線，（）你寫出雙曲線

y=

的倍曲線”是；雙曲線y=

的“半曲線”是________；（）圖1，平面直角坐系中，已知點A是曲線y=在一象限內(nèi)任一點，過點與y軸平行的直線交雙曲線y=的半曲線于點，eq\o\ac(△,求)的積；

（）圖，知點M是曲線

（＞）第一象限內(nèi)任意一點，過點M與軸平行的直線交雙曲線y=

的半曲”于N，點M與x軸平行的直線交雙曲線y=的半曲于點，eq\o\ac(△,)的積記為

eq\o\ac(△,)

，且1≤2求k的值范圍．【答案】（）；（）：如圖，

雙線y=的半曲線”是，AOD的面積為2，的積為，AOB的積為（）：解法：如圖2依題意可知雙曲線

的半曲”為，設(shè)點的橫坐標為m，則點坐為，），點坐標為m，），CM=MN=

，CN=．﹣=．同理﹣=．

eq\o\ac(△,)

=MN?PM=1

≤2，1≤≤2．

=k，=k，≤k，解法二：如圖3，依題意可知雙曲線

的半曲”為，設(shè)點的橫坐標為m，則點坐為，），點坐標為m，），點N為的點，同理點為MD的點．連接OM，

，△．

．

eq\o\ac(△,)OCM

eq\o\ac(△,)

=．1

≤2，≤≤2．≤k．【解析】【解答】解：（）由倍雙曲”的定義雙線y=，的“倍曲”是；雙曲線y=

的半曲是．故答案為y=，；【分析】（）接利用“雙曲線”的定義即可；（）用曲線的性質(zhì)即可；（）先利用雙曲線上的點設(shè)出的坐標，進而表示出，的標；方法一、用三角形的面積公

eq\o\ac(△,)AOPeq\o\ac(△,)AOBeq\o\ac(△,)AOPeq\o\ac(△,)AOBeq\o\ac(△,)AOBeq\o\ac(△,)AOPeq\o\ac(△,)AOB式建立不等式即可得出結(jié)論；方法二、利用相似三角形的性質(zhì)得eq\o\ac(△,)PMN的面積，進而建立不等式即可得出結(jié)論．10．圖，在平面直角坐標中，軸點C，A（數(shù)y=的圖象上．

，）反比例（）反比例數(shù)的達式；（）x軸的負半軸上存在一點，使得

=，求點的標；（）eq\o\ac(△,)BOA繞B按逆時方向旋轉(zhuǎn)60°得eq\o\ac(△,)BDE．直接寫出點E的標，并判斷點是否在該反比例函數(shù)的圖象上．【答案】（）：點A（

，）反比例數(shù)y=的象上，k=×1=

，反例函數(shù)表達為

.（）：（

，）x軸點C

，AC=1，OAAB，A=COB，A==tanOC2=AC，即BC=3，，

，

=××4=2

，

==

，設(shè)點P的坐標為m，）

×|m|×1=

，解得m|=2

，

121212121212P是x軸負半軸上的點，，m=﹣，）點的坐標為（2（）：由（）可知=

=

，COB=60°，，eq\o\ac(△,)BOA繞按時方向旋轉(zhuǎn)60°得eq\o\ac(△,)，OBD=60°，，x軸，在eq\o\ac(△,)AOB中，AB=4AO=DE=2，

，且BC=3，OC=

，﹣

，﹣DE=1，E﹣﹣

，﹣）×（﹣）

，點在該反比例函數(shù)圖象上【解析】【分析】（）點A的標，利用待定系數(shù)法可求得反比例函數(shù)表達式；2）由條件可求，用三角函數(shù)的定義可到=AC，求得BC的，可求eq\o\ac(△,)的積，設(shè)點坐標為（，）由題意得到關(guān)于m的程，可求得m的值；（）條可求，則BDx軸由、的長，可求得E點坐標，代入反比例函數(shù)解析式進行判斷即可．11．圖1，平面直角坐標系O為坐標原點，點（2，）點B（，2

）（）接寫求的數(shù)；（）圖1，eq\o\ac(△,)AOB繞順針eq\o\ac(△,)A，當A恰好落在AB邊上時，eq\o\ac(△,)AB′O的面積為，BA的積為S，S與有關(guān)系？為什么？（）eq\o\ac(△,)繞O順針旋轉(zhuǎn)到如圖所的位置S與S的系發(fā)生變化了嗎？證明你的判.【答案】（）：A（），（，）

12121212121212OA＝，＝，在eq\o\ac(△,)AOB中，＝

，BAO＝（）：＝；理由：60°＝，＝，OA'＝＝，AOA'是邊三角形，OA'＝＝＝，B'A'O＝60°60°，B'A'，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得eq\o\ac(△,)AOA'的邊AO上高相等，eq\o\ac(△,)AB′O中AO邊高和BA中BA邊的高相等，BA'O的積eq\o\ac(△,)AB'O的積相等（等底等的三角形的面積相等），即＝（）明：＝不發(fā)生變化理由：如圖，過點作OB.過點作ANOB'交B'O的延長線于，A'B'O是eq\o\ac(△,)繞旋得到，BOOB'，＝，＋＝A'OM＋＝，＝A'OM，eq\o\ac(△,)AON和A'OM中

，AONA'OM），AN，BOA'的積eq\o\ac(△,)AB'O的積相等（等底等高的三角形的面積相等），即＝.

11【解析】【析】（1）先求出，OB，再用銳角三角函數(shù)即可得出結(jié)論（