廣西科技大學時間序列分析計算題復習考試題

0?1??廣西科技學—2014年第2學期時間序列析計算題復題0?1??設間序列

{}t

來自

(2,1)

過程，滿足(10.52)Bett

其{}是白噪聲序列，并(eVar)2ttt

，（1）判斷

模型的平穩(wěn)性分）（2）利用遞推法計算其一般線性過表達式的前三個系數，，0

2

分解答

AR

特征方程為

1x2

特征根為

x

在單位圓外平！也可用平穩(wěn)域法見（式4.3.11）。（2)P57公（知道1.411.42221

。某1月—月的歲業(yè)女性的月度數經過一階差分后平穩(wěn)N500過計算樣本其樣本自相關系數

{

}

及樣本偏相關系數

{}

的前個值如下表k1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

k

（1）利用所學知識，對

{}t

所屬的模型進行初步的模型識別）（2）對所識別的模型參數和白噪聲差

e

給出其矩估計分解答）樣自相關系數階尾，樣本偏相關系數拖尾，

ARIMA(0,1,1)（2）由于

ARIMA

模型有1，11

2

0.47

111

。3.{}是二階滑動平均模型MA(2)滿足XtttVar(e)，tt/

t

，其{}是白噪聲序列，并且t

1k4?1k4?Y(1)???(1)]所以(ll(1)(2)[t（2）0.8時，計算樣本均(X)/方差。4解答1）tttttt0,他

k2其他（2）

34Var1

(

10.84

)4.設{}是序列Var(e)2，間序{X}來ttttX，問模型是否平穩(wěn)？為什么？tttt解答：該模型是平穩(wěn)的，因為其AR特征方程10.8x的根為1.25，大于15.假定Acme公司的年銷售單位萬美元)符合AR(2)模型Y其tttt。（）如果說20052006和2007的銷售額分別是萬美元1100萬美元和美元，預測年和2009的銷售額。（b）證明模型里的。（c）計算問題中2008年預測的預測極限。（d）如果2008的銷售額結果為萬美元，更新對年的預測。解答:(a)應用142公式(9.3.28)得(1)Y200720072006

5+(10–0.5()=10.5（百萬美）??20072007

+(10.5–(10=（百萬美元）(b由課本54頁公式,

，。1（c)由課本140公式（9.3.15知道：e(lt

(11

2

t

2008年預測的95%預測極限(Y10.025

(1)1

(e

(1)))，這里

2007

2008

2007

2008

，故ar(e

(1))

e

，代入后簡單計算2008年預測的95%預測極限為（（d)148頁更新方程（9.6.1）知

???tlt???20082007

(1)]11.5510.5)13.2（百萬美元）/

?11????6.{}的長度為10樣本值為0.8,0.2,0.9,0.74,0.82,0.92,0.78,0.86,0.72,0.84，試求?11????t（1）樣本均x；（2）樣本的自協(xié)方差函自相關函21,（3)對AR(2)型參數給出其矩估計，并寫出模型的表達式。（1）樣本均值x。

（2）樣本的自協(xié)方差函數值

1

,

2

和自相關函數值

1

,

2

。注意

t

t

t

，而

0

(這里，體計算略過）（3）對AR(2)型參數給出其矩估計，并且寫出模型的表達式。由Yule-Walker方1121110.18649，112

1

0.080908xt

t

0.080908

t

t7.{}服從模型：Xtt

t

0.6，其中Xtt

0.3,

0.01。（1）給出未3的預測值；（2）給出未3的預測值的預測區(qū)間（z

1.96）？。解答）

100100

0.234

（2）應用延遲算子B表式，我們有

t

10.6B1B

t

BB

t

。由（P143公式（）知

[

lj

j

，

l

。因為0.2,02

故有Var[預測區(qū)間為為：

，

[e，Var[e。以未l期的預測值的100的預測區(qū)間100

(0.2340.0025,0.2341.960.0025)/

(1(122（，0.287（-0.049，0.2518.設平穩(wěn)時間序列{X}服從(1)模型：tt1

t

，其中{}白噪聲序列，并且tt()Var()證明Var(X)。ttt證明：由題意，兩邊求方差得tttar))t1ttVa))因與X1tarX)（因X平穩(wěn)）tt

t

相互獨立）整理即得

arX)t

1

。9.設平穩(wěn)時間序{X}服從(2)模型：Xtt1tt并且()Var()，證明其偏自相關系數滿足tt

，其{}是白噪聲序列，ttk。0k證明：因為AR(2)模型偏自相關系數階截尾，即k時一般證明見課本P80）這里僅證事實上滿足如下Yule-Walker程1（見課本式（122分別為該(2)模型前2階自相關系數。由課本頁的公式（4.3.14）和P53頁的公1式（4.3.15）知2211

。于是，解方程211

211)2)2

2

。210.設時序{}服從(1,1)模型Xtt

t

0.25e其{}是白噪聲序列，ttt并且()Var()tt

1，證明其自相關系數滿足：kk

。解：方程兩邊乘以整理得方程兩邊求方差得

t

再取數學期望得E(XX)(0.5tt0

2t

X

ee，tttt(1)(X)Xt

t

0.25e)tt/

110eet110eet整理得

0.25

0.25(X)Var0.25)(0.5X,0.25e)tttttt1)（2）16將（2）入到（1）可得：，所0.27。0注意到，而k，方程兩邊乘以再取數學期望可得t0()(0.5X)e)Xe)tttttttt整理得0.5k在（3）兩邊同，即得0.52。證畢！0k

（3）11.設時間序列

{}t

服從模型：Xt

t

t

，

其{}是白噪聲序列()Var()ttt

ex,(x)2

為來自上述模型的樣本觀測值，試求模型參

的極大似然估計。解：依

題意

2

，故無條件平方和函數為

2S((xx2x21112t易見(式(）其對數似然函數為()ee

1S(22e所以對數似然方程組為e

))

，即

22x1212xx12

。解之得

2x2xx222x22

。12.對下每個ARIMA模型，()Var()。tt（Y0.75etttt（b)Y0.25ttttt解原模型可變形為e注意e為零均值方差tttt

的白噪聲序列。所以有

()E(30.75)ttt)0.75)ttte

2516為e此{}的ttttt(1,1)模型。同時注意e為零均值方差的白噪聲序列，所以我們有te()E0.250.1)0.25E)（平穩(wěn)性）ttttt104013另一方面，

Var()Var(100.25)tttt/

2(Var(0.1e0.1etttttt

116

()0.01)2te

E[0.25(e0.1)]ttt(1

116

)(0.01)2te

E()0.05(etttt0.05E(1.010.05eettette所以有

Var()t

0.9615

16

1.024

。13.若一時間序列長度為現對該時間序列擬AR(1)型得其殘差的前個樣本自相關系數如下,0.032,0.047,0.0210.017,0.01924計算Ljung統(tǒng)計量并由此對殘差的自相關性進行檢驗（顯著性水解：易見Kpq課本P132）檢驗統(tǒng)計量等于35(352)[*

(2(0.032)(2(35

2

]0.28此時服從一個自由度為65)的卡方分布，因為Q0.28*有證據來拒絕殘差項是不相關的零假設。

(5)11.0705，所以沒14.若一時間序列長度為對該時間序列擬合ARMA模型得其殘差的前8個樣本自相關系數如下

0.01,