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文檔簡介
對輔助圓的思考及探究錫濱-祝榮耀在幾何證明中,困難的并不在于題目,而在于輔助線.在初二學習全等系列的知識點過程中,我們帶著學生學習了很多種的輔助線,比如倍長中線、截長補短等.而在學習完圓之后,我們又遇到了新的問題,如做弦的垂線,連接半徑,連接直徑等.這些的輔助線對于中檔的學生都是可以解決的,但我們有沒有遇到作出一個圓的輔助線?這也是今天要講的專題--輔助圓.那么下面我就來對“輔助圓”問題說說自己的一些看法.出現(xiàn)“輔助圓”的情況在我總結來看無外乎就是線段最值、存在唯一點、點的運動等.那下面我就按照如下幾點來探究“輔助圓”出現(xiàn)的一般情況.一線段最值線段最值分類相對較多,我們單獨來看看什么時候需要我們作出相對的輔助圓的情況.Ⅰ.折疊中的線段最值年成都中考2ABCDAD邊的中點,N是AB邊上一動點,將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A¢MN,連接A¢C,則A¢C長度的最小值是 .〖分析〗△AMNMNA點的運動軌AM為圓心,MAC到⊙MCM—半CM的長即可,如下圖.2.(2019年無錫惠山區(qū)二模)如圖,在Rt△ABC中,∠B=60°,BC=3,D為BC邊上的三等分點,BD=2CD,E為AB邊上一動點將△DBE沿DE折疊到△D的位置連接A則線段A的最小值為 .〖分析〗△DBEDEDB=D1相似,即作出輔助圓⊙DD為圓心,DB為半徑的圓.AAB’AD—半徑即可,如下圖.Ⅱ.圓軌跡中的線段最值年無錫惠山區(qū)一模為圓心,1為半徑作圓.P點為圓上一動點,連結OP.點B為OP的中點,點C坐標為(2,0),求BC的取值范圍 .POPPBBOAOABQ,BQ=1AP1BQ2 21為圓心,2
為半徑的圓.再求出CB的最大和最小值=CQ±半徑即可.(如下圖)年無錫外國語中學一模OABO為圓心,OA長為半徑作圓O.點M在圓O上運動,連接MB,以MB為腰作等腰Rt△MBC,使三點為逆時針順序連接則AC長的取值范圍是 .MCBM90CB所在圓的圓心及半徑,則就可以解出此題.為確定圓心,連接OM,將OM也繞著點B旋轉90°,確定O¢,連接O¢C.易證△BOMOM,則可得出點C的運動軌跡是以為圓心,1為半徑的圓.再求出AC的最大和最小值=AO¢±半徑即可.(如下圖)Ⅲ.直角三角形中的輔助圓(2019年江陰校級一模)ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=2,P是△ABC所在平面內一點,且滿足則PC的取值范圍為 .〖分析〗因為∠APB=90°,由90°所對的弦是直徑得出,構造⊙O.以AB中點O為圓心,1為半徑作圓,則P是在⊙O上運動,確定CP的最小值為OC—半徑即可.(如下圖)(2019年無錫天一中學二模)EF是正方形ABCD的邊AD上兩個AE=DFCFBD于點GBEAG于點H.若正方形的邊長為2,則線段DH長度的最小值是 .〖分析〗因為AE=DF,易得△ABE≌△DCF、△AGD≌△CGD,則∠ABE=∠GAD=∠DCF.因為∠GAD+∠BAH=90°,所以∠BAH+∠ABE=90°,所以∠AHB=90°.則點H是在以AB為直徑的圓上運動.確定DH的最小值為OD—半徑即可.(如下圖)Ⅳ.定弦、定角中的輔助圓7.(2019年無錫濱湖區(qū)期中考試)ABCD,AB2
,若點P滿足PD=2,且∠BPD=90°,請求出AP的長.因為∠BAD=∠BPD=90BAPDBD為直徑的圓上,BDBDA=∠APB=45°,得出∠DPE=45Rt△PEDDE=PE=
Rt△AED中,AD=2
AE=
,則可得AP=6-
.如下圖即可.年威海中考如圖,△ABC為等邊三角形若P為△ABC內一動點且滿足∠PAB=∠ACP,則線段PB長度的最小值 .因為△ABCAPCP點的運動軌跡是一個弧,P是在△APCBPOB—半徑即可.(如下圖)這也是我們定弦定角定理的一般模型.年無錫惠山區(qū)二模如圖已知AB是半徑為2的⊙O上的兩動點以AB為直角邊在⊙O內作等腰Rt△ABC,∠B=90°,連接OC,則OC的最小值為 .〖分析〗因為△ABCRt△,則∠BCA=45BC交⊙OD,則∠ACD=135ADB=90AD為⊙OAD=47C圓心為O¢,因為∠ACD=135°,則其所對的圓心角∠AO¢D=90°,則O¢是在⊙O上,半徑,則當、O、C三點共線的時候,OC的值最小,為22-2.(如下圖)二證明角度關系或求值Ⅰ.角度的倍數(shù)關系年江蘇學大教師月考如圖,AB=AC=AD,如果∠DAC是∠CAB的k倍,那么∠DBC是∠BDC的( )倍A.k B.2k C.3k D.不能確定〖分析〗因為AB=AC=AD,則B、C、D三點可以看成是在以點A為圓心,AB為半徑的圓上.則∠DBC與∠CAD是同弧所對的圓周角和圓心角,∠BDC與∠CAB是同弧所對的圓周角和圓心角.∠DAC是∠CAB的k倍,則∠DBC也是∠BDC的k倍.Ⅱ.角度求值問題2.(2019年無錫惠山區(qū)校級月考)已知在正方形ABCDA、B分別在平面直角坐標系的x軸、y軸的正半軸上滑動,點CD在第一象限,點E為正方形ABCD的對稱中心,連結OEOE平分角∠AOB.〖分析〗因為∠AOB=∠AEB=90°,則可以說明A、O、B、E四點共圓,以AB的中點O¢90°的四邊形稱為損矩形,即可采用四點共與∠AOEEBA=∠AOE=45°,OE平分角∠AOB.(如下圖)Ⅲ.角度最值問題3.(2019年南京市校級月考)如圖是半徑為CD是互相垂直的兩條直徑,點P是O上任意一點過點P作PM⊥AB于M,PN⊥CD于N,點Q是MN的中點,當點P沿著圓周從D運動到點C時,tan∠QCN的最大值為 .〖分析〗因為PM⊥AB,PN⊥CD,則四邊形MONP為矩形,得到對角線MN=OP=2.說明OQ的長度恒定為1,確定點Q是在以O為圓心,1為半徑的圓上,則當CQ與圓相切時,即是∠QCO最大,tan∠QCN的值最大.(如下圖)三最值存在問題Ⅰ.線段范圍1.(2019年河池中考)如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,P是BC邊上的動點.設BP=x,若能在AC邊上找到一點Q,使∠BQP=90°,則x的取值范圍是 .〖分析〗因為∠ABC=90°,則由直徑所對的圓周角等于90°,得出以BP為直徑的圓與線段AC有交點,得出題目的解題技巧.則當⊙O與AC相切時,x的值最小,當點P到達C點時,x的值最大.(如下圖)2.(2019年無錫外國語二模)在平面直角坐標系中,已知△AOBA的BN為直線y=-x-2Bl⊥xlOMA=2∠ONANM的坐標;若不存在,請說明理由.〖分析〗OMA=2∠ONA,M為圓心,OM為半徑的圓正好滿足于此條件,則可以理解為輔助N有且只有一個,則說明⊙M與直線y=-x-2相切即可,同時也要注意圖形的M點關x軸對稱即可.(如左圖)Ⅱ.路程長或面積問題3(2019年無錫惠山區(qū)校級月考)OABCOA、OCx軸、y軸B的坐標為(7,3)EABAE=1Py軸上一動點,連接EP,過點O作直線EP的垂線段,垂足為點H,在點P從點F(0,程中,點H的運動路徑長為 .
25)運動到原點O的過4〖分析〗因為∠APB=90OEHOEP由F為起點,O為終點運動,則點H的運動軌跡是一段弧,圓心角為∠則求出∠OO¢H的度數(shù)即可,而∠OO¢H=2
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