2021-2022學(xué)年廣西百色市百色民族高級中學(xué)高一下學(xué)期素質(zhì)拓展數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2021-2022學(xué)年廣西百色市百色民族高級中學(xué)高一下學(xué)期素質(zhì)拓展數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知向量的夾角為60°，且，，則向量在方向上的投影向量的模等于（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】由已知及向量數(shù)量積的運算律可得，求出向量的模，再由向量在方向上的投影向量的模，即可得結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，，而，所以，可得或(舍)，綜上，向量在方向上的投影向量的模為.故選：B2．如圖所示，一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是等腰梯形，且直觀圖的面積為2，則該平面圖形的面積為（

）A．2 B． C．4 D．【答案】B【解析】根據(jù)平面圖形和直觀圖的度量關(guān)系和位置關(guān)系，找到線段和角度關(guān)系，則該平面圖形的面積易求.【詳解】解：設(shè)等腰梯形對應(yīng)該平面圖形，則，，，，故選：B.3．在△中，為邊上的中線，為的中點，則A． B．C． D．【答案】A【分析】分析：首先將圖畫出來，接著應(yīng)用三角形中線向量的特征，求得，之后應(yīng)用向量的加法運算法則三角形法則，得到，之后將其合并，得到，下一步應(yīng)用相反向量，求得，從而求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)向量的運算法則，可得，所以，故選A.【點睛】該題考查的是有關(guān)平面向量基本定理的有關(guān)問題，涉及到的知識點有三角形的中線向量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程中，需要認(rèn)真對待每一步運算.4．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，則=A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【分析】利用余弦定理推論得出a，b，c關(guān)系，在結(jié)合正弦定理邊角互換列出方程，解出結(jié)果.【詳解】詳解：由已知及正弦定理可得，由余弦定理推論可得，故選A．【點睛】本題考查正弦定理及余弦定理推論的應(yīng)用．5．一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點間的距離是（

）A．10海里 B．10海里C．20海里 D．20海里【答案】A【分析】先確定∠CAB和∠ACB,然后由正弦定理可直接求解.【詳解】如圖所示，易知，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根據(jù)正弦定理得＝，解得BC＝10(海里)．故選：A【點睛】本題考查利用正弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題.6．已知圓錐的高為1，母線長為，則過此圓錐頂點的截面面積的最大值為（

）A．2 B． C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)題意，判斷截面頂角的范圍，求得面積最大時頂角的大小，即可用三角形面積公式求得結(jié)果.【詳解】如圖是圓錐的軸截面，由題意母線，高，則，是銳角，所以，于是得軸截面頂角，所以當(dāng)兩條母線夾角為時，截面面積為為所求面積最大值．故選：B．【點睛】本題考查圓錐軸截面的計算，注意本題中關(guān)于何時截面面積最大的討論，屬基礎(chǔ)題.7．一質(zhì)點受到平面上的三個力(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài)．已知成60°角，且的大小分別為2和4，則的大小為A．6 B．2C． D．【答案】D【解析】根據(jù)力平衡可得，平方運算后可求得，開平方可得結(jié)果.【詳解】由題意得：，即：本題正確選項：【點睛】本題考查向量模長的求解，關(guān)鍵是通過平方將問題轉(zhuǎn)變?yōu)橄蛄繑?shù)量積運算和模長運算問題，屬于基礎(chǔ)題.8．在中，是的中點，是的中點，若，則（

）A．1 B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)是的中點，，為的中點，得到，然后結(jié)合，求出的值.【詳解】解：∵是的中點，，為的中點，∴，∵，∴，，∴，故選：D.9．已知向量＝(3,4)，＝(2，－1)，若向量＋x與－垂直，則x的值為A． B． C． D．2【答案】A【詳解】,，由于，則，，選A.10．點、、、，若，，則的夾角為A． B． C． D．【答案】D【詳解】，，因為，所以，則的夾角為，故選D．11．下列說法中正確的個數(shù)是（

）①有兩個側(cè)面是矩形的立體圖形是直棱柱；②圓柱、圓錐和圓臺的底面都是圓面．③以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺；A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】由棱柱，圓臺的定義，旋轉(zhuǎn)體的性質(zhì)判斷．【詳解】有兩個側(cè)面是矩形的棱柱中，如果這兩個側(cè)面相互平行，此時棱柱不一定是直棱柱，①錯；圓柱、圓錐和圓臺的底面都是圓面，②正確；以直角梯形的不與底面垂直的腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體不是圓臺，③錯．只有一個命題正確．故選：B．12．在中，角所對的邊分別為，表示的面積，若，則A．90 B．60 C．45 D．30【答案】D【分析】由正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡已知等式可得sinA＝1，即A＝900，由余弦定理、三角形面積公式可求角C，從而得到B的值．【詳解】由正弦定理及得,因為，所以；由余弦定理、三角形面積公式及，得,整理得，又,所以,故.故選D【點睛】本題考查正、余弦定理、兩角和的正弦公式、三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．二、多選題13．下列說法錯誤的是（

）A．若，則 B．若，則存在唯一實數(shù)使得C．若，，則 D．與非零向量共線的單位向量為【答案】ABC【分析】由數(shù)量積定義可知A錯誤；通過反例可確定BC錯誤；根據(jù)單位向量和共線向量定義可確定D正確.【詳解】對于A，若，則，無法得到，A錯誤；對于B，若，，則，此時不存在滿足的實數(shù)，B錯誤；對于C，若，則，，無法得到，C錯誤；對于D，，由單位向量和共線向量定義可知與共線的單位向量為，D正確.故選：ABC.14．在水流速度為10的自西向東的河中，如果要使船以的速度與河的南岸垂直到達北岸，則船出發(fā)時行駛速度的大小與方向為（

）A．北偏西30° B．北偏西60° C．20 D．30【答案】AC【分析】如圖所示，設(shè)，，解三角形即可得出．【詳解】如圖所示，設(shè)，，所以，而，所以，即船出發(fā)時行駛速度的大小為20，方向為北偏西30°．故選：AC．15．下列說法錯誤的有（

）A．如果非零向量與的方向相同或相反，那么的方向必與或的方向相同B．在中，必有C．若，則，，一定為一個三角形的三個頂點D．若，均為非零向量，則【答案】ACD【分析】直接利用向量的線性運算，向量的夾角運算，三角形法則，向量的模的應(yīng)用判斷、、、的結(jié)論．【詳解】解：對于：非零向量與的方向相同或相反，那么的方向必與或的方向相同或為零向量，故錯誤；對于：在中，必有，故正確；對于：若，則，，一定為一個三角形的三個頂點，或、、三點共線時，也成立，故錯誤；對于，均為非零向量，則，故錯誤；故選：．16．已知平行四邊形的三個頂點的坐標(biāo)分別是．則第四個頂點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】設(shè)平行四邊形的四個頂點分別是，分類討論點在平行四邊形的位置有：，，，將向量用坐標(biāo)表示，即可求解.【詳解】第四個頂點為，當(dāng)時，，解得，此時第四個頂點的坐標(biāo)為；當(dāng)時，，解得，此時第四個頂點的坐標(biāo)為；當(dāng)時，，解得，此時第四個項點的坐標(biāo)為．∴第四個頂點的坐標(biāo)為或或．故選:ABC.【點睛】本題考查利用向量關(guān)系求平行四邊形頂點坐標(biāo)，考查分類討論思想，屬于中檔題.17．下列各組向量中，不能作為基底的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】ACD【分析】依次判斷各選項中的兩向量是否共線即可.【詳解】A，C，D中向量與共線，不能作為基底；B中，不共線，所以可作為一組基底．【點睛】本題主要考查平面向量的基本定理及基底的定義，屬于基礎(chǔ)題.18．在中，角、、的對邊分別為，，，若，，則使此三角形有兩解的的值可以是（

）A．5 B． C．8 D．【答案】BC【分析】根據(jù)三角形解的個數(shù)判斷，即為銳角時，三角形有兩解.【詳解】當(dāng)為銳角時，三角形有兩解.，，的值可以是，8，故選：BC.【點睛】本題考查三角形解的個數(shù)的判斷，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.19．已知在平面直角坐標(biāo)系中，點，.當(dāng)是線段的一個三等分點時，點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】設(shè)，則，然后分點P靠近點，靠近點兩種情況，利用平面向量的線性運算求解.【詳解】設(shè)，則，當(dāng)點P靠近點時，，則，解得，所以，當(dāng)點P靠近點時，，則，解得，所以，故選：AD【點睛】本題主要考查平面向量的線性運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.20．下列關(guān)于平面向量，，的運算，一定成立的有（）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義及運算律判斷即可；【詳解】解：對于A：根據(jù)平面向量數(shù)量積的分配律可知一定成立，故A正確；對于B：由數(shù)量積的結(jié)果為數(shù)量，則表示與共線的向量，表示與共線的向量，則與不一定相同，即B錯誤；對于C：設(shè)與的夾角為，則，因為，所以，故C正確；對于D：，，由C知，所以，即，即，故D正確；故選：ACD21．在中，若，則的形狀可能為（

）A．直角三角形 B．等腰(非等邊)三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【答案】ABCD【分析】利用正弦定理對變形可得，再利用二倍角公式可得，從而可得或，進而可判斷三角形的形狀【詳解】由題知，根據(jù)正弦定理，可得，即或，即或，可能為直角三角形，等腰（非等邊）三角形，等腰直角三角形，等邊三角形.故選：ABCD.22．在中，，則的面積可以是（

）A． B．1 C． D．【答案】AD【分析】由余弦定理求出，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出答案．【詳解】解：∵，由余弦定理得，∴，∴，或，∴由的面積公式得或，故選：AD．【點睛】本題主要考查三角形的面積公式的應(yīng)用，考查余弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題．三、雙空題23．已知平面向量，的夾角為，且，，則在方向上的投影向量是_____，的最小值是_____．【答案】

【分析】根據(jù)投影的定義求得在方向上的投影即可得投影向量，求出，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可得最小值.【詳解】由題意，在方向上的投影為，在方向上的投影向量為；，所以時，取得最小值3，取得最小值.故答案為：；.24．已知向量，．若時，，則____；若對任意，，則____．【答案】

0【分析】（1）根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示的公式可得結(jié)果，（2）根據(jù)已知可得，經(jīng)過向量數(shù)量積的運算，代入坐標(biāo)得到結(jié)果.【詳解】（1）根據(jù)，，，解得：；（2），解得：.故選；.【點睛】本題考查了向量共線的坐標(biāo)表示，和向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于簡單題型.25．我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)·主釋》中指出：“凡望極高、測絕深而兼知極遠(yuǎn)者，必用重差.”也就是說目標(biāo)“極高”、“絕深”等不能靠近進行測量時，必須用兩次（或兩次以上）測量的方法加以實現(xiàn).為測量某山的高度，在，測得的數(shù)據(jù)如圖所示（單位：），則山高______，到山頂?shù)木嚯x______.【答案】

【分析】設(shè)，將用表示，在中，用余弦定理