社會(huì)統(tǒng)計(jì)學(xué)-5-離中趨勢的量度

2/27/20231第五章離中趨勢的量度第五章離中趨勢測量法離中趨勢——數(shù)列中各變量值之間的差距和離散程度。離勢小，平均數(shù)的代表性高；離勢大，平均數(shù)的代表性低。全距和四分位差平均差標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)分相對(duì)離勢偏度和峰度的測定2/27/20232第五章離中趨勢的量度10名同學(xué)的成果：78808285898790867988另10名同學(xué)的成果556878889910098908583均值相等（84.4），但兩組數(shù)據(jù)有差別嗎？是否有必要去計(jì)算一下數(shù)據(jù)之間的差距呢？2/27/20233第五章離中趨勢的量度A組：60，60，60，60，60B組：58，59，60，61，62C組：40，50，60，70，80D組：80，80，80，80，80平均數(shù)不同，離勢可能相同；平均數(shù)相同，離勢可能不同。2/27/20234第五章離中趨勢的量度第一節(jié)全距與四分位差1.全距(range)全距（R）：最大值和最小值之差。也叫極差。全距越大，表示變動(dòng)越大。對(duì)分組資料，不能確知最大值和最小值：1、組值最大組的組中值減去最小組的組中值2、組值最大組的上限減去最小組的下限3、組值最大組的組中值減去最小組的下限；最大組的上限減去最小組的組中值2/27/20235第五章離中趨勢的量度2/27/20236第五章離中趨勢的量度求下列兩組成果的全距：A:78808285898790867988B:556878889910098908583優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算簡潔、直觀。缺點(diǎn)：受極端值影響大；沒有量度中間各個(gè)單位間的差異性，數(shù)據(jù)利用率低，信息丟失嚴(yán)峻；受抽樣變動(dòng)影響大，大樣本全距比小樣本全距大。2/27/20237第五章離中趨勢的量度2.四分位差(Quartiledeviation)Q·D：第三四分位數(shù)和第一四分位數(shù)的半距。避開全距受極端值影響大的缺點(diǎn)。Q·D=2/27/20238第五章離中趨勢的量度求下列兩組成果的四分位差：A:788082858987908679888481B:5568788899100989085838481A：78，79，80，81，82，84，85，86，87，88，89，90B：55，68，78，81，83，84，85，88，90，98，99，1002/27/20239第五章離中趨勢的量度其次節(jié)平均差(Meanabsolutedeviation)離差——各變量值與算術(shù)平均數(shù)的差平均差——離差確定值的算術(shù)平均數(shù)。（meandeviation)1.未分組資料A·D=

2.分組資料A·D=3.平均差的性質(zhì)：仍屬算術(shù)平均數(shù)；在受抽樣變動(dòng)、極端值影響，理論意義不易闡述有時(shí)以中位數(shù)為基準(zhǔn)來計(jì)算平均差更合理。2/27/202310第五章離中趨勢的量度[例5．2．1]試分別以算術(shù)平均數(shù)為基準(zhǔn)，求85，69，69，74，87，91，74這些數(shù)字的平均差。[例5．2．2]試以算術(shù)平均數(shù)為基準(zhǔn)，求下表所示數(shù)據(jù)的平均差。

2/27/202311第五章離中趨勢的量度人口數(shù)（X）戶數(shù)(f)頻率(P)23456785816106410.100.160.320.200.120.080.02合計(jì)501.002/27/202312第五章離中趨勢的量度第三節(jié)標(biāo)準(zhǔn)差S（standarddeviation)意義：克服平均差帶有確定值的缺點(diǎn)，又保留其優(yōu)點(diǎn)。定義：各變量值對(duì)其算術(shù)平均數(shù)的離差平方的算術(shù)平均數(shù)的平方根。（均方差）Describeshowscoresofaninterval/ratiovariablearespreadacrossthedistributiontothemeanscore.1.未分組資料S=

=2/27/202313第五章離中趨勢的量度S==2/27/202314第五章離中趨勢的量度方差方差（variance,2,

S2）:各數(shù)據(jù)與平均數(shù)差數(shù)的平方和的平均值稱為方差，也稱為變異數(shù)。因此，方差的定義公式為：

2=(X-)2/n-1

S2=(X-)2/n-12/27/202315第五章離中趨勢的量度例1：求72、81、86、69、57這些數(shù)字的標(biāo)準(zhǔn)差和方差。簡算式：S=2/27/202316第五章離中趨勢的量度2.分組資料S=S===2/27/202317第五章離中趨勢的量度求下表數(shù)據(jù)資料的標(biāo)準(zhǔn)差2/27/202318第五章離中趨勢的量度是反映總體各單位標(biāo)記值的離散狀況和差異程度的最佳測度。（1）以算術(shù)平均數(shù)為基準(zhǔn)計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)差比以其他任何數(shù)值為基準(zhǔn)計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)差要小。“最小二乘方”性質(zhì)——各變量值對(duì)算術(shù)平均數(shù)的離差的平方和，必定小于他們對(duì)任何其他數(shù)偏差的平方和。（2）它將總體中各單位標(biāo)記值的差異全包括在內(nèi)，受抽樣變動(dòng)影響小。但在受極端值影響以及處理不確定組距方面，缺點(diǎn)同算術(shù)平均數(shù)。方差：標(biāo)準(zhǔn)差的平方。3.標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)2/27/202319第五章離中趨勢的量度問：已知一組數(shù)列的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，此時(shí)若將該組數(shù)列的每一個(gè)變量值均增加10形成一組新數(shù)列，請(qǐng)問新數(shù)列的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差怎樣變更。留意：樣本標(biāo)準(zhǔn)差(SampleStandardDeviation)：n-1樣本方差2/27/202320第五章離中趨勢的量度假如兩個(gè)學(xué)生都通過不同的高校入學(xué)考試，共同向一個(gè)學(xué)校申請(qǐng)獎(jiǎng)學(xué)金。設(shè)Mary參與的是ACT(theAcademicCollegeTestingService)andscored26ACTpoints,[0~36]John參與的是SAT(theStanfordAdmissionsTest)andscored900SATpoints.[200~1600]另有其他數(shù)據(jù)，ACT:Mean=22,S=2SAT:Mean=1000,S=100請(qǐng)問若只能一人獲獎(jiǎng)，應(yīng)當(dāng)給誰？2/27/202321第五章離中趨勢的量度4.標(biāo)準(zhǔn)分(standardizedscore)定義：以離差和標(biāo)準(zhǔn)差的比值來測定變量X與的相對(duì)位置。使原來不能干脆比較的離差標(biāo)準(zhǔn)化，可以相互比較，加、減、平均Z=z分?jǐn)?shù)的特性：1、z是和X一一對(duì)應(yīng)的變量值。2、Z分?jǐn)?shù)沒有單位，是一個(gè)不受原資料單位影響的相對(duì)數(shù)，所以可以用于不同單位資料的比較。3、Z分?jǐn)?shù)實(shí)際表達(dá)了變量值距總體均值有幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差。Z=2，Z=3.2，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量2/27/202322第五章離中趨勢的量度Z分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：1、Z分?jǐn)?shù)之和等于02、Z分?jǐn)?shù)的算術(shù)平均數(shù)等于03、Z分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差等于1，方差也等于1實(shí)際意義：以均值為基礎(chǔ)，以標(biāo)準(zhǔn)差為量度單位，各總體之間可以通過標(biāo)準(zhǔn)分進(jìn)行合理的比較和相加。2/27/202323第五章離中趨勢的量度Z分?jǐn)?shù)的應(yīng)用(1)可用于比較分?jǐn)?shù)性質(zhì)不同的觀測值在各自數(shù)據(jù)分布中的相對(duì)位置凹凸。(2)當(dāng)已知各不同質(zhì)的觀測值的次數(shù)分布為正態(tài)分布時(shí)，可用Z分?jǐn)?shù)求不同觀測值的總和或均值，以表示在團(tuán)體中的相對(duì)位置。2/27/202324第五章離中趨勢的量度例1：甲班的平均分為80分，乙班的平均分為60分，標(biāo)準(zhǔn)差都為10分，A、B分別屬于甲、乙兩班。A的成果為80分，B的成果為75分，試比較兩學(xué)生成果的好壞。例2：甲乙兩班的平均分均為60分，甲班的標(biāo)準(zhǔn)差為10，乙班的標(biāo)準(zhǔn)差為20分，A、B分別屬于甲、乙兩班，成果均為80分，試比較兩學(xué)生成果的好壞。一個(gè)20歲的高校生智力測驗(yàn)中作對(duì)了35個(gè)題目，一個(gè)6歲的兒童作對(duì)了9個(gè)題目，誰更聰慧？2/27/202325第五章離中趨勢的量度作業(yè)1.計(jì)算下列數(shù)據(jù)的全距、平均差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差788082858987908679885568788899100989085832.2/27/202326第五章離中趨勢的量度2.求下表頻次分布的標(biāo)準(zhǔn)差2/27/202327第五章離中趨勢的量度3.下列數(shù)據(jù)是從16~20歲的抽煙者中抽出的樣本。X為每天抽煙支數(shù)，mean=15支，S=5支。請(qǐng)完成下表。CaseXZ(standardizedscore)張三17李四30王五4馬六202/27/202328第五章離中趨勢的量度第四節(jié)相對(duì)離勢用離勢的確定離勢除以其平均指標(biāo)就得到離勢的相對(duì)指標(biāo)，稱為相對(duì)離勢。當(dāng)所對(duì)比的兩個(gè)數(shù)列的水平凹凸不同時(shí)，就不能接受全距、平均差或標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行對(duì)比分析，因?yàn)樗鼈兌际谴_定指標(biāo)，其數(shù)值的大小不僅受各單位標(biāo)記值差異程度的影響，而且受到總體單位標(biāo)記值本身水平凹凸的影響；為了對(duì)比分析不同水平的變量數(shù)列之間標(biāo)記值的變異程度，就必需消退數(shù)列水平凹凸的影響。2/27/202329第五章離中趨勢的量度1、異眾比率：非眾數(shù)的頻數(shù)與總體單位數(shù)的比值。V·R表示意義：能表明眾數(shù)所不能代表的那一部分變量值在總體中的比重。2、變異系數(shù)：確定離勢統(tǒng)計(jì)量與其算術(shù)平均數(shù)的比率，用V表示。（1）全距系數(shù)：數(shù)列中全距與算術(shù)平均數(shù)之比。（2）平均差系數(shù)：數(shù)列中各變量的平均差與其算術(shù)平均數(shù)之比。（3）標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)：數(shù)列中各變量的標(biāo)準(zhǔn)差與其算術(shù)平均數(shù)之比。變異系數(shù)的意義：對(duì)不同性質(zhì)、不同水平總體的離散程度進(jìn)行比較。2/27/202330第五章離中趨勢的量度例1:某項(xiàng)調(diào)查發(fā)覺，現(xiàn)今三口之家的家庭最多（32%），求異重比率。某開發(fā)商依據(jù)這一報(bào)導(dǎo)，將房屋的戶型大部分都設(shè)計(jì)為適合三口之家居住的樣式和面積，你認(rèn)為如何呢？例2：設(shè)為測體重，得到成人組和嬰兒組各100人的兩個(gè)抽樣總體。成人組平均體重為65千克，全距為10千克；嬰兒組平均體重為4千克，全距為2.5千克。能否認(rèn)為成人組體重的離勢比嬰兒組體重的離勢大？例3：對(duì)一個(gè)群體測量身高和體重，平均身高為170.2厘米，身高標(biāo)準(zhǔn)差為5.30厘米；平均體重為70千克，體重標(biāo)準(zhǔn)差為4.77千克；比較身高和體重的離散程度。2/27/202331第五章離中趨勢的量度3.偏態(tài)系數(shù)偏態(tài)=算術(shù)平均數(shù)-眾數(shù)偏斜系數(shù)=偏態(tài)/標(biāo)準(zhǔn)差α=0，對(duì)稱分布；α＞0為右偏；α＜0為左偏[-3，+3]2/27/202332第五章離中趨勢的量度練習(xí)：甲乙兩單位職工工資資料如下：

試比較哪個(gè)單位的職工工資差異程度小

月工資甲單位（人）乙單位（人）600以下21600~70042700~800104800~900712900~1000661000~110045合計(jì)33302/27/202333第五章離中趨勢的量度SPSS基本統(tǒng)計(jì)在中可以很簡潔地得出頻數(shù)分布表，平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差等。2/27/202334第五章離中趨勢的量度界面菜單菜單欄：file（SPSS文件的操作）Edit（編輯菜單）View（用戶界面設(shè)置菜單）Data（數(shù)據(jù)文件建立和編輯菜單）Transform（數(shù)據(jù)基本處理菜單）Analyze（統(tǒng)計(jì)分析菜單，主要統(tǒng)計(jì)功能）Graphs（統(tǒng)計(jì)圖形菜單）Utilities（相關(guān)應(yīng)用和設(shè)置菜單）Windows（各窗口切換菜單）Help（幫助菜單）2/27/202335第五章離中趨勢的量度一、頻數(shù)分布頻數(shù)分布：可以概略地看到資料的分布狀況，可做初步整理之用，從中還可檢查數(shù)據(jù)輸入狀況。Analyze——DescriptiveStatistics——Frequencies可選入多個(gè)變量。2/27/202336第五章離中趨勢的量度2/27/202337第五章離中趨勢的量度2/27/202338第五章離中趨勢的量度二、描述統(tǒng)計(jì)分析過程對(duì)于定距以上變量，可以進(jìn)行集中趨勢和離中趨勢的統(tǒng)計(jì)Analyze——DescriptiveStatistics——Descriptives變量可多選其中選項(xiàng)有：MeanStd.deviationMinimum2/27/202339第五章離中趨勢的量度2/27/202340第五章離中趨勢的量度Statistics:Dispersion(離差欄）:Std.Deviation標(biāo)準(zhǔn)差Variance方差Range全距MinimumMaximumS.E.mean均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤CentralTendency(集中趨勢欄）MeanMedianModeSum例：09-012/27/202341第五章離中趨勢的量度Distribution(分布參數(shù)）Skewness偏度（0，1.5，0.5，-0.5）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，值為0；正數(shù)，右偏；負(fù)數(shù)，左偏；值確定值大于1，則可確定數(shù)據(jù)的分布不成正態(tài)分布Kurtosis峰度（0，正，負(fù)）：尖平程度標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，值為0；大于0，分布比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布峰高（尖）；小于0，2/27/202342第五章離中趨勢的量度2/27/202343第五章離中趨勢的量度還可干脆作出圖形：Charts:Barcharts:條形圖PieCharts:圓圖、餅圖Histograms:直方圖。只適用于連續(xù)的數(shù)值型變量。2/27/202344第五章離中趨勢的量度2/27/202345第五章離中趨勢的量度2/27/202346第五章離中趨勢的量度1、各視察值均加減同一數(shù)后（）A、均數(shù)不變，標(biāo)準(zhǔn)差變更B、均數(shù)變更，標(biāo)準(zhǔn)差不變C、兩者均變更D、兩者均不變2、比較身高和體重兩組數(shù)據(jù)變異度大小宜接受（）A、標(biāo)準(zhǔn)差B、變異系數(shù)C、極差D、離差3、以下指標(biāo)中（）可用來描述計(jì)量資料的離散程度。A、算術(shù)均數(shù)B、幾何均數(shù)C、中位數(shù)D、標(biāo)準(zhǔn)差4、偏態(tài)分布，宜用（）描述其分布的集中趨勢。A、算術(shù)均數(shù)B、標(biāo)準(zhǔn)差C、中位數(shù)D、四分位差綜合練習(xí)1