數(shù)值分析典型例題new

PAGEPAGE１２數(shù)值分析典型例題例1對下列各數(shù)寫出具有5位有效數(shù)字的近似值。236.478,0.00234711,9.000024,9.000034.解：按照定義，以上各數(shù)具有5位有效數(shù)字的近似值分別為：236.478，0.0023471，9.0000，9.0000。注意:=9.000024的5位有效數(shù)字是9.0000而不是9，因為9是1位有效數(shù)字。例2指出下列各數(shù)具有幾位有效數(shù)字。2.0004，-0.00200，-9000，9，2。解：按照定義，以上各數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)分別為5，3，4，1，1例3已測得某物體行程的近似值s=800m，所需時間的近似值為t=35s，若已知，試求平均速度的絕對誤差和相對誤差限。解：因為，所以從而同樣所以因此絕對誤差限和相對誤差限分別為0.05和0.00205。例4試建立積分的遞推關系，并研究它的誤差傳遞。解：……………..…...(1)，計算出后可通過（1）依次遞推計算出,…,。但是計算時有誤差，由此計算出的,…,也有誤差，由（1）可知近似值之間的遞推關系為……………….…..(2)（1）-（2）可得，由計算時誤差被放大了倍。所以（1）不穩(wěn)定?？梢愿膶憺椤?）如果能先求出，則依次可以求出,…,，計算時有誤差，這樣根據(jù)（3）計算,…,就有誤差，誤差傳播為，誤差依次減少。例5用二分法求解方程在區(qū)間[0,1]內的1個實根，要求有3為有效數(shù)字。解：因為，且當時，，所以方程在[0,1]內僅有一個實根，由，解得，所以至少需要二分10次，才能得到滿足精度要求的根。第次有根區(qū)間為，該題的二分法的計算過程間下表，結果。00（+）0.5(-)1(-)10（+）0.25(+)0.5(-)20.25（+）0.375(+)0.5(-)30.375（+）0.4375(+)0.5(-)40.4375（+）0.46875(-)0.5(-)50.4375(+)0.453125(-)0.46875(-)60.4375(+)0.4453125(-)0.453125(-)70.4375(+)0.44140625(+)0.4453125(-)80.44140625(+)0.443359375(+)0.4453125(-)90.443359375(+)0.444335937(+)0.4453125(-)100.444335937(+)0.444824218(+)0.4453125(-)例6在區(qū)間[2,4]上考慮如下2個迭代格式的斂散性（1）（2）解：（1），當時，；，由收斂定理可知對任意的，迭代格式收斂（2），當時，從而該迭代格式發(fā)散。例7用迭代法求方程在0.4附近的根，精確到4位有效數(shù)字。解：將方程改寫成等價的形式，于是有。，從而迭代格式是局部收斂的，計算結果如下。，誤差不超過，從而近似解具有4位有效數(shù)字。例8用列主元Gauss消元法解線性方程組解：方程組的增廣矩陣為，通過回帶過程得解為。例9將方程組的系數(shù)矩陣作LU分解，并求方程組的解。解：增廣矩陣為，LU的緊湊格式為，所以系數(shù)矩陣的LU分解為，等價的三角形方程組為，解得。例10假設矩陣，求。解：的特征方程為，其特征根為例11討論用Jacobi迭代法求解線性方程組的收斂性，如果收斂，取初值，求。解：方程組的系數(shù)矩陣，迭代矩陣，特征方程即，通過計算得其特征值為，因此，從而迭代法是收斂的。迭代格式為，將初值帶入計算可得例12討論用Guass-Seidel迭代法求解線性方程組的收斂性，如果收斂，取初值，求。解：方程組的系數(shù)矩陣，迭代矩陣的特征方程即，通過計算得特征值為，因此，從而迭代法是收斂的。迭代格式為，將初值帶入計算可得例13已知，用一次插值多項式、二次插值多項式近似sinx，并用此近似求出。解：取和作為節(jié)點作一次插值得取和作為節(jié)點作一次插值得。取、和為插值節(jié)點，作二次插值誤差分析：可以看出用和做線性插值的精度比用和做線性插值的精度高，因為在和之間。例14已知節(jié)點上的函數(shù)值及，求一個次數(shù)不超過3的多項式使得，且，并估計插值余項，其中互不相同。解：（1）求插值多項式，假設，其中，由于，得到假設，由于，是R(x)的一重零點，是二重零點，從而，顯然在插值區(qū)間內，作輔助函數(shù)，顯然在插值區(qū)間內有5個零點，分別是，，，，，反復使用Rolle定理可得，即，。例15假設互不相同，使用Lagrange插值方法可以求出滿足插值條件的插值多項式，使用Newton插值方法可以求出滿足插值條件的多項式，問是否成立？為什么？解：是成立的假設滿足插值條件的多項式為，則（1）由于互不相同，方程組（1）的系數(shù)行列式，從而方程組（1）只有唯一解，即滿足插值條件的多項式是唯一確定的，而和滿足相同的插值條件，所以例16假設是Lagrange插值基函數(shù)，證明。證明：假設，則插值余項，所以。例題17假設一試驗中測得變量和的數(shù)據(jù)如下表，求一個代數(shù)多項式曲線，使其最好地擬合這組數(shù)據(jù)。12345678913456789101054211234解：將所給數(shù)據(jù)在坐標系中描出，從圖形上可以看出所給數(shù)據(jù)大致分布在一條拋物線周圍，因此假設擬合曲線為。正規(guī)方程組為，解得，因此擬合多項式為。例18用最小二乘法求超定方程組的近似解。解：因為有，，故得正規(guī)方程組，解得是原方程組的最小二乘解。例19證明Simpson公式具有三次代數(shù)精度。證明：Simpson公式是插值型的，因而至少具有2次代數(shù)精度。當時，有當時，有所以Simpson公式具有3次代數(shù)精度。例20考察求積公式具有幾次代數(shù)精度。解：當。所以所給求積公式具有1次代數(shù)精度。例21利用復合梯形法和Simpson法計算積分的近似值。解:該積分可以用牛頓-萊布尼茲公式計算04.000000001/83.938461541/43.764705883/83.506849321/23.200000005/82.876404493/42.560000007/82.2654867312.00000000=3.13898850例22用龍貝格算法計算積分的近似值。解：使用龍貝格算法列表計算如下區(qū)間等分數(shù)11.01831563820.87703726020.8299944467640.88061863390.88181242520.885270289080.88170379120.88206551030.88208238260.8820317809160.88198624520.88208039650.88208138890.8820813731所以所求I的近似值為0.8820814例23對于積分，構造插值型求積公式，要求其求積節(jié)點為。解：假設，則，，因而求積公式為。例24使用Euler公式求解初值問題，步長h=0.1。解:本題的Euler求解格式為，即。計算結果列于下表010.110.20.98000.30.94080.40.88440.50.81360.60.73220.70.64440.80.55420.90.46551.00.38171.10.30541.20.23821.30.18101.40.13401.50.09641.60.06751.70.04591.80.0303例25用4階龍格庫塔方法求解列23中的初值問題，取步長h=0.2.解：公式為，計算結果如下表010.20.96078930.40.85214290.60.69767550.80.52729771.00.36790361.20.23698571.40.14095761.60.07743871.80.0393135例26依據(jù)以下函數(shù)值表建立次數(shù)不超過3次的Lagrange多項式及Newton插值多項式。012419233解：（1）插值基函數(shù)Newton插值多項式和Lagrange插值多項式相同，通過建立差商標，得到例27已知多項式通過下列點-2-10123315111161試構造一多項式通過下列各點-2-1012331511111解：由已知條件，多項式滿足以下條件-2-101230000060由Lagrange多項式可知，所以。例28試依據(jù)如下數(shù)值表，構造次數(shù)不超過3的多項式，并寫出插值余項。01100-1解：記，，由題設知，利用兩點的Hermite插值公式有，式中式Hermite插值基函數(shù)，=，，因此得到，插值余項。例29證明關于互異節(jié)點的Lagrange插值基函數(shù)滿足恒等式。證明：假設，則，的Lagrange插值多項式為，，而，所以，從而。例30給定矩陣，計算。解：，，。，故。例31假設，證明（1）（2）證明：（1）（2）例32求矩陣的條件數(shù)解：從而。例33假設求解線性方程組的迭代格式，其中，試證明對任何初值迭代格式都收斂，并取，計算。解:假設是B的特征值，則，即，即，所以，所以迭代法式收斂的。當時依次可得，，。例34給定線性方程組，其中，證明用Jacobi方法求解發(fā)散，而用G-S方法求解收斂。解：Jacobi迭代法的迭代矩陣其特征值為，從而Jacobi方法發(fā)散。下證G-S迭代法收斂。顯然A對稱，并且其順序主子式，所以G-S迭代法收斂。例35證明用Jacobi方法求解方程組收斂，而用G-S迭代法求解發(fā)散。證明：Jacobi迭代矩陣為，其特征值為，所以Jacobi迭代收斂。G-S迭代法的迭代矩陣為，，所以G-S迭代法發(fā)散。例36：設線性方程組，討論用Jacobi法和G-S法的收斂性，若都收斂，比較哪種方法收斂的較快。解：，其，所以Jacobi迭代法收