新高考數(shù)學一輪復習講義7.2《一元二次不等式及其解法》(原卷版)

§7.2一元二次不等式及其解法最新考綱考情考向分析1.會從實際問題的情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系.3.會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，會設計求解的程序框圖.以理解一元二次不等式的解法為主，常與集合的運算相結合考查一元二次不等式的解法，有時也在導數(shù)的應用中用到，加強函數(shù)與方程思想，分類討論思想和數(shù)形結合思想的應用意識.在高考中常以選擇題的形式考查，屬于低檔題，若在導數(shù)的應用中考查，難度較高.1.一元二次不等式的解集判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩相異實根x1，x2(x1<x2)有兩相等實根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a))))){x|x∈R}ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集2.常用結論(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法不等式解集a<ba＝ba>b(x－a)·(x－b)>0(x－a)·(x－b)<0口訣：大于取兩邊，小于取中間.概念方法微思考1.一＋bx＋c的圖象有什么關系？2.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的條件是什么？題組一思考辨析1.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集為(x1，x2)，則必有a>0.()(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，則方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根是x1和x2.()(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)沒有實數(shù)根，則不等式ax2＋bx＋c>0的解集為R.()(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的條件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.()(5)若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象開口向下，則不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集.()題組二教材改編2.已知集合A＝{x|x2－x－6>0}，則?RA等于()A.{x|－2<x<3}B.{x|－2≤x≤3}C.{x|x<－2}∪{x|x>3}D.{x|x≤－2}∪{x|x≥3}3.y＝log2(3x2－2x－2)的定義域是________________.題組三易錯自糾4.不等式－x2－3x＋4>0的解集為________.(用區(qū)間表示)5.若關于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,3)))，則a＋b＝________.6.不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0，對一切x∈R恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A.(－∞，2] B.(－2,2]C.(－2,2) D.(－∞，2)題型一一元二次不等式的求解命題點1不含參的不等式例1(2019·呼和浩特模擬)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{y|y＝2x}，則A∩B等于()A.(－1,2)B.(－2,1)C.(0,1)D.(0,2)命題點2含參不等式例2解關于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0).跟蹤訓練1解不等式12x2－ax>a2(a∈R).題型二一元二次不等式恒成立問題命題點1在R上的恒成立問題例3已知函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1.若對于x∈R，f(x)<0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.命題點2在給定區(qū)間上的恒成立問題例4已知函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1.若對于x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.引申探究1.若將“f(x)<5－m恒成立”改為“f(x)<5－m無解”，如何求m的取值范圍？2.若將“f(x)<5－m恒成立”改為“存在x，使f(x)<5－m成立”，如何求m的取值范圍？命題點3給定參數(shù)范圍的恒成立問題例5若mx2－mx－1<0對于m∈[1,2]恒成立，求實數(shù)x的取值范圍.思維升華解決恒成立問題一定要搞清誰是主元，誰是參數(shù)，一般地，知道誰的范圍，誰就是主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù).跟蹤訓練2函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋3.(1)當x∈R時，f(x)≥a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(2)當x∈[－2,2]時，f(x)≥a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(3)當a∈[4,6]時，f(x)≥0恒成立，求實數(shù)x的取值范圍.一、選擇題1.已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|(x＋1)(x－5)<0}，則A∩B等于()A.[－1,4) B.[0,5)C.[1,4] D.[－4，－1)∪[4,5)2.(2018·沈陽二十中聯(lián)考)若不等式ax2＋bx＋2>0的解集為{x|－1<x<2}，則不等式2x2＋bx＋a>0的解集為()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－1或x>\f(1,2))))) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<x<\f(1,2)))))C.{x|－2<x<1} D.{x|x<－2或x>1}3.若一元二次不等式2kx2＋kx－eq\f(3,8)<0對一切實數(shù)x都成立，則k的取值范圍為()A.(－3,0) B.[－3,0]C.[－3,0) D.(－3,0]4.若存在實數(shù)x∈[2,4]，使x2－2x＋5－m<0成立，則m的取值范圍為()A.(13，＋∞) B.(5，＋∞)C.(4，＋∞) D.(－∞，13)5.若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，則a的取值范圍是()A.[－4,1] B.[－4,3]C.[1,3] D.[－1,3]6.若不等式x2＋ax－2>0在區(qū)間[1,5]上有解，則a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)，＋∞)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)，1))C.(1，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(23,5)))7.在關于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含1個整數(shù)，則a的取值范圍是()A.(－3,5) B.(－2,4)C.[－1,3] D.[－2,4]8.設a<0，(4x2＋a)(2x＋b)≥0在(a，b)上恒成立，則b－a的最大值為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(\r(2),2)二、填空題9.(2018·全國名校大聯(lián)考)不等式x2－2ax－3a2<0(a>0)的解集為________.10.(2018·煙臺聯(lián)考)不等式x>eq\f(1,x)的解集為________.11.若關于x的不等式x2－ax－a>0的解集為R，則實數(shù)a的取值范圍是________.12.(2019·上海長寧、嘉定區(qū)模擬)不等式eq\f(x,x＋1)≤0的解集為________.13.若不等式x2＋ax＋4≥0對一切x∈(0,1]恒成立，則a的取值范圍為________.14.已知對于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x2－2(a－2)x＋a>0，則實數(shù)a的取值范圍是________