初一數(shù)學(xué)絕對值難題解析

時間：二O二一年七月二十九日初一數(shù)學(xué)絕對值難題分析之邯鄲勺丸創(chuàng)作時間：二O二一年七月二十九日絕對值是初一數(shù)學(xué)的一個重要知識點,它的觀點自己不難,但卻常常拿來出一些難題,考驗的是學(xué)生對基本觀點的理解程度和基賦性質(zhì)的靈巧運用能力.絕對值有兩個意義：1）代數(shù)意義：非正數(shù)（包括零）的絕對值是它自己,正數(shù)的絕對值是它的相反數(shù).即|a|＝a（當a≥0）,|a|＝－a（當a＜0）2）幾何意義：一個數(shù)的絕對值等于數(shù)軸上示意它的點到原點的距離.靈巧應(yīng)用絕對值的基賦性質(zhì)：（1）|a|≥0；（2）|ab|＝|a|·|b|；（3）|a/b|＝|a|/|b|(b≠0)（4）|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|；（5）|a|－|b|≤|a－b|≤|a||b|；思慮：|a＋b|＝|a|＋|b|,在什么條件下建立？|a－b|＝|a|－|b|,在什么條件下建立？常常使用解題方法：（1）化簡絕對值：分類議論思想（即取絕對值的數(shù)為非正數(shù)和正數(shù)兩種狀況）2）運用絕對值的幾何意義：數(shù)形聯(lián)合思想,如絕對值最值問題等.3）零點分段法：求零點、分段、區(qū)段內(nèi)化簡、綜合.時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日例題分析：第一類：觀察對絕對值代數(shù)意義的理解和分類議論思想的運用1、在數(shù)軸上示意a、b兩個數(shù)的點如下圖,而且已知示意c的點在原點左邊,請化簡以下式子：1）|a－b|－|c－b|解：∵a＜0,b＞0∴a－b＜0c＜0,b＞0∴c－b＜0故,原式＝（b－a）－(b－c)＝c－a2）|a－c|－|a＋c|解：∵a＜0,c＜0∴a－c要分類議論,a＋c＜0當a－c≥0時,a≥c,原式＝（a－c）＋(a＋c)＝2a當a－c＜0時,a＜c,原式＝（c－a）＋(a＋c)＝2c2、設(shè)x＜－1,化簡2－|2－|x－2||.解：∵x＜－1∴x－2＜0原式＝2－|2－（2－x）|＝2－|x|＝2＋x3、設(shè)3＜a＜4,化簡|a－3|＋|a－6|.解：∵3＜a＜4∴a－3＞0,a－6＜0原式＝（a－3）－(a－6)＝34、已知|a－b|＝a＋b,則以下說法：（1）a必定不是正數(shù)；（2）可能是正數(shù)；哪個是正確的？時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日答：當a－b≥0時,a≥b,|a－b|＝a－b,由已知|a－b|＝a＋b,得ab＝a＋b,解得b＝0,這時a≥0；當a－b＜0時,a＜b,|a－b|＝b－a,由已知|a－b|＝a＋b,得b－aa＋b,解得a＝0,這時b＞0；綜上所述,（1）是正確的.第二類：觀察對絕對值基賦性質(zhì)的運用5、已知2011|x－1|＋2012|y＋1|＝0,求x＋y＋2012的值？解：∵|x－1|≥0,|y＋1|≥0∴2011|x－1|＋2012|y＋1|≥0又∵已知2011|x－1|＋2012|y＋1|＝0,∴|x－1|＝0,|y＋1|＝0∴x＝1,y＝－1,原式＝1－1＋2012＝20126、設(shè)a、b同時知足：(1)|a－2b|＋|b－1|＝b－1(2)|a－4|＝0那么ab等于多少？解：∵|a－2b|≥0,|b－1|≥0∴|a－2b|＋|b－1|＝b－1≥0∴（1）式＝|a－2b|＋b－1＝b－1,得|a－2b|＝0,即a＝2b∵|a－4|＝0∴a－4＝0,a＝4a＝2b∴b＝2,ab＝4×2＝87、設(shè)a、b、c為非零有理數(shù),且|a|＋a＝0,|ab|＝ab,|c|－c＝0,請化簡：|b|－|a＋b|－|c－b|＋|a－c|.時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日解：∵|a|＋a＝0,a≠0∴a＜0∵|ab|＝ab≥0,b≠0,a＜0∴b＜0,a＋b＜0|c|－c＝0,c≠0∴c＞0,c－b＞0,a－c＜0∴原式＝b＋（a＋b）－（c－b）＋c－a＝b8、知足|a－b|＋ab＝1的非負整數(shù)（a,b）共有幾對？解：∵a,b都是非負整數(shù)∴|a－b|也是非負整數(shù),ab也是非負整數(shù)∴要知足|a－b|＋ab＝1,一定|a－b|＝1,ab＝0或許|a－b|＝0,ab＝1分類議論：當|a－b|＝1,ab＝0時,a＝0,b＝1或許a＝1,b＝0有兩對（a,b）的取值；當|a－b|＝0,ab＝1時,a＝1,b＝1有一對（a,b）的取值；綜上所述,（a,b）共有3對取值知足題意.9、已知a、b、c、d是有理數(shù),|a－b|≤9,|c－d|≤16,且|a－b－cd|＝25,求|b－a|－|d－c|的值？闡發(fā)：本題咋一看無從下手,可是假如把a－b和c－d鑒別看作一個整體,而且運用絕對值基賦性質(zhì)：|x－y|≤|x|＋|y|即可迅速解出.解：設(shè)x＝a－b,y＝c－d,則|a－b－c＋d|＝|x-y|≤|x|＋|y|∵|x|≤9,|y|≤16∴|x|＋|y|≤25,|x-y|≤|x|＋|y|≤25∵已知|x-y|＝25∴|x|＝9,|y|＝16時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日∴|b－a|－|d－c|＝|－x|－|－y|＝|x|－|y|＝9－16＝－7第三類：多個絕對值化簡,運用零點分段法,分類議論以上這類分類議論化簡方法就叫做零點分段法,其步伐是：求零點、分段、區(qū)段內(nèi)化簡、綜合.依據(jù)以上資料解決以下問題：1）化簡：2|x－2|－|x＋4|2）求|x－1|－4|x＋1|的最大值.解：（1）令x－2＝0,x＋4＝0,鑒別求得零點值：x＝2,x＝-4,分區(qū)段議論：當x≤-4時,原式＝－2（x－2）＋（x＋4）＝－x＋8當-4＜x≤2時,原式＝－2（x－2）－（x＋4）＝－3x當x＞2時,原式＝2（x－2）－（x＋4）＝x－8綜上議論,原式＝（略)2）使用“零點分段法”將代數(shù)式簡化,而后在各個取值規(guī)模內(nèi)求出最大值,再加以比較,從中選出最大值.令x－1＝0,x＋1＝0,鑒別求得零點值：x＝1,x＝-1,分區(qū)段議論：當x≤-1時,原式＝－（x－1）＋4（x＋1）＝3x＋5,當x=-1時,取到最大值等于2；當-1＜x≤1時,原式＝－（x－1）－4（x＋1）＝－5x－3,此時無最大值；當x＞1時,原式＝（x－1）－4（x＋1）＝－3x＋3,此時無最大值.時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日綜上議論,當x=-1時,原式能夠取到最大值等于2.11、若2x＋|4－5x|＋|1－3x|＋4的值恒為常數(shù),則此常數(shù)的值為多少？解：我們知道,互為相反數(shù)的兩個數(shù),它們的絕對值相等,利用這條性質(zhì),能夠把絕對值內(nèi)帶x的項的符號由負號都釀成正號,以便于區(qū)段內(nèi)判斷正負關(guān)系.即原式＝2x＋|5x－4|＋|3x－1|＋4令5x－4＝0,3x－1＝0,鑒別求得零點值：x＝4/5,x＝1/3,分區(qū)段議論：當x≤1/3時,原式＝2x－（5x－4）－（3x－1）＋4＝－6x＋9,此時不是恒值；當1/3＜x≤4/5時,原式＝2x－（5x－4）＋（3x－1）＋4＝7,此時恒為常數(shù)7；當x＞4/5時,原式＝2x＋（5x－4）＋（3x－1）＋4＝10x－1,此時也不是恒值.綜上所述,若原式恒為常數(shù),則此常數(shù)等于7.12、若|a|＝a＋1,|x|＝2ax,且|x＋1|＋|x－5|＋2|x－m|的最小值是7,則m等于多少？解：∵當a≥0時,|a|＝a＝a＋1,獲得0＝1矛盾∴a＜0,|a|＝－a＝a＋1,解得a＝－1/2.∵|x|＝2ax＝－x,即x的絕對值等于它的相反數(shù)∴x≤0時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日令x＋1＝0,x－5＝0,x－m＝0,鑒別求得零點值：x＝－1,x＝5,x＝m∵x≤0∴要對m進行分類議論,以確立分段區(qū)間：（1）若m≥0,則x取值規(guī)模分成x≤－1和－1＜x≤0當x≤－1,原式＝－（x＋1）－（x－5）－2（x－m）＝－4x＋4＋2m,x＝－1時取到最小值8＋2m當－1＜x≤0,原式＝（x＋1）－（x－5）－2（x－m）＝－2x＋62m,x＝0時取到最小值6＋2m因此當m≥0時,最小值是6＋2m,令6＋2m＝7,得m＝0.5,適合題意（2）若－1≤m＜0,則x取值規(guī)模分成x≤－1和－1＜x≤m和m＜x≤0當x≤－1,原式＝－（x＋1）－（x－5）－2（x－m）＝－4x＋4＋2m,x＝－1時取到最小值8＋2m,由于－1≤m＜0,因此最小值≥6當－1＜x≤m,原式＝（x＋1）－（x－5）－2（x－m）＝－2x＋6＋2m,x＝m時取到最小值6因此當－1≤m＜0時,最小值是6,和題意不符.（3）若m＜－1,則x取值規(guī)模分成x≤m和m＜x≤－1和－1＜x≤0當x≤m,原式＝－（x＋1）－（x－5）－2（x－m）＝－4x＋4＋2m,x＝m時取到最小值4－2m當m＜x≤－1,原式＝－（x＋1）－（x－5）＋2（x－m）＝4－2m,這時為恒值4－2m時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日當－1＜x≤0,原式＝（x＋1）－（x－5）＋2（x－m）＝2x－2m＋6,無最小值因此當m＜－1時,最小值是4－2m,令4－2m＝7,得m＝－1.5,合適題意綜上所述,m＝0.5或－1.5.第四類：運用絕對值的幾何意義解題1、x的絕對值的幾何意義是在數(shù)軸上示意x的點到原點的距離,即|x|=|x－0||x－1|的幾何意義是在數(shù)軸上示意x的點到示意1的點的距離,|x＋2|的幾何意義是在數(shù)軸上示意x的點到示意－2的點的距離,|a－b|的幾何意義是在數(shù)軸上示意a的點到示意b的點的距離.2、設(shè)A和B是數(shù)軸上的兩個點,X是數(shù)軸上一個動點,我們研究下,當X在什么地點時,X到A點和B點的距離之和最??？很明顯,當X點在A點和B點之間時,X點到兩個點的距離之和最小,最小值即為A點到B點的距離.當再增添一個C點時,怎樣求動點X到三個點的距離之和的最小值呢.經(jīng)過研究發(fā)明,當X點在中間的點即C點時,它到三個點的距離之和最小,最小值也是A點到B點的