(江蘇專用)2018高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第三章不等式第15課基本不等式其應(yīng)用課時(shí)分層訓(xùn)練

第三章不等式第15課基本不等式及其應(yīng)用課時(shí)分層訓(xùn)練A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(建議用時(shí)：30分鐘)一、填空題1．以下命題中正確的選項(xiàng)是________．(填序號(hào))1①y＝x＋x的最小值是2；4②y＝2－3x－x(x＞0)的最大值是2－43；24③y＝sinx＋2的最小值是4；4④y＝2－3x－x(x＜0)的最小值是2－43.②[①不正確，如取x＝－1，則y＝－2.②正確，因?yàn)椋剑?＝－3x＋4≤－·4＝－y23xx2x223xx243.當(dāng)且僅當(dāng)3x＝4，即x＝23時(shí)等號(hào)建立．x324③不正確，令sinx＝t，則0＜t≤1，因此g(t)＝t＋t，明顯g(t)在(0,1]上單一遞減，故g(t)min＝g(1)＝1＋4＝5.④不正確，∵x＜0，∴－x＞0，44∴y＝2－3x－x＝2＋－3x＋－x≥2＋43.423當(dāng)且僅當(dāng)－3x＝－x，即x＝－3時(shí)等號(hào)建立．]2．對(duì)于x的不等式x2－4ax＋3a2＜0(a＞0)的解集為(x1，x2)，則x1＋x2＋a的最小值x1x2是________．42aa133[依題意可得x1＋x2＝4a，x1·x2＝3a，∴x1＋x2＋x1x2＝4a＋3a2＝4a＋3a≥24a·1＝43x1＋x2＋a的最小值為43.]33，故13a2xx3．已知a＞0，b＞0，若不等式m－3－1≤0恒建立，則m的最大值為________.【導(dǎo)3a＋bab學(xué)號(hào)：62172086】m31313b16[因?yàn)閍＞0，b＞0，因此由3a＋b－a－b≤0恒建立得m≤a＋b(3a＋b)＝10＋a＋3a3b3a3b3a3b3ab恒建立．因?yàn)閍＋b≥2a·b＝6，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)建立，因此10＋a＋b≥16，因此≤16，即的最大值為16.]mm4．(2017·鹽城模擬)若x>0，y>0，且2x＋y＝2，則1＋1的最小值是________．xy3y2＋2[由2x＋y＝2得x＋2＝1.1111y1yx∴x＋y＝x＋yx＋2＝1＋2＋2x＋y3yx3yx3＝＋＋≥＋22x·＝＋2.]22xy2y25．要制作一個(gè)容積為3，高為1m的無蓋長方體容器．已知該容器的底面造價(jià)是每4m平方米20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總造價(jià)是________．160元[由題意知，體積V＝4m3，高h(yuǎn)＝1m，24因此底面積S＝4m，設(shè)底面矩形的一條邊長是xm，則另一條邊長是xm．又設(shè)總造價(jià)是y元，則y＝×＋×2x＋8≥＋202x·8＝160.20410x80x8當(dāng)且僅當(dāng)2x＝x，即x＝2時(shí)獲得等號(hào)．]x－31y1m6．已知x，y∈(0，＋∞)，2＝2，若x＋y(m＞0)的最小值為3，則m的值為________．4[由2x－31y得x＋y＝3，則＝21m1x＋)·1m＋＝(x＋yxy3yymx1＝1＋m＋＋≥＋＋m)，3xy3(1m21)＝3，即(＋1)2＝9，解得＝4.]∴(1＋＋23127．若實(shí)數(shù)a，b知足a＋b＝ab，則ab的最小值為________．1212222[由a＋b＝ab知a>0，b>0，因此ab＝a＋b≥2ab，即ab≥22，212a＝b，42，＝242時(shí)取“＝”，因此ab當(dāng)且僅當(dāng)即＝的最小值為1a＋2b＝ab，22.]8．已知正數(shù)x，y知足x2＋2xy－3＝0，則2x＋y的最小值是__________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172087】23－x231313x33[由x＋2xy－3＝0得y＝2x＝2x－2x，則2x＋y＝2x＋2x－2x＝2＋2x≥23x·3＝3，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)，等號(hào)建立，因此2＋y的最小值為3.]22xx9．當(dāng)a＞0且a≠1時(shí)，函數(shù)f(x)＝log(x－1)＋1的圖象恒過點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mxa－y＋n＝0上，則4m＋2n的最小值為________．22[由題意可得：點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,1)，因此2m＋n＝1，因此4m＋2n＝22m＋n≥22mn2m＋n＝22.]22·2＝2210．(2017·蘇州期末)已知11＋2的最小值為________.＝，，∈(0,1)，則ab4ab1－a1－b【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172088】42114＋[∵ab＝，∴b＝.344a121218a∴1－a＋1－b＝1－a＋1－1＝1－a＋4a－14a＝1＋a－＋21＋2＋24a－1＝1－a1－a4a－124－4a＋4a－1＋2221[－4a＋a－]＋2＝34－4a＋4a－124－4aa－＝1＋2＋4－1＋4－4a＋23a2423(3＋22)＋2＝4＋3.1＋22當(dāng)且僅當(dāng)a＝時(shí)，取“＝”．]4＋22二、解答題311．(1)當(dāng)x3y＝x＋28<2時(shí)，求函數(shù)x－3的最大值；(2)設(shè)0<x<2，求函數(shù)y＝x－2x的最大值．183[解](1)y＝2(2x－3)＋2x－3＋23－2x83.＝－2＋3－2x＋23當(dāng)x<2時(shí)，有3－2x>0，3－2x83－2x8∴2＋3－2≥22·3－2＝4，xx3－2x81當(dāng)且僅當(dāng)2＝3－2x，即x＝－2時(shí)取等號(hào)．355于是y≤－4＋＝－，故函數(shù)的最大值為－.222∵0<x<2，∴2－x>0，x＋2－x∴y＝x－2x＝2·x－x≤2·＝2，2當(dāng)且僅當(dāng)x＝2－x，即x＝1時(shí)取等號(hào)，∴當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)y＝x－2x的最大值為2.12．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：xy的最小值；x＋y的最小值．82[解](1)由2x＋8y－xy＝0，得x＋y＝1，又x>0，y>0，82828則1＝x＋y≥2x·y＝xy，得xy≥64，當(dāng)且僅當(dāng)x＝16，y＝4時(shí)，等號(hào)建立．因此xy的最小值為64.2由2x＋8y－xy＝0，得x＋y＝1，8228y則x＋y＝x＋y·(x＋y)＝10＋y＋x2x8y≥10＋2y·x＝18.4當(dāng)且僅當(dāng)x＝12且y＝6時(shí)等號(hào)建立，因此x＋y的最小值為18.B組能力提高(建議用時(shí)：15分鐘)11．(2016·揚(yáng)州期末)已知a>b>1且2logab＋3logba＝7，則a＋b2－1的最小值為________．13[由2logab＋3logba＝7得logab＝2或logab＝3(舍去)，∴a＝b2，1212121∴a＋b2－1＝b＋b2－1＝(b－1)＋b2－1＋1≥2b－b2－1＋1＝3.當(dāng)且僅當(dāng)b2－1＝21，即＝2，＝2時(shí)等號(hào)建立．]b－ba12．(2015·山東高考)定義運(yùn)算“?”：x?y＝x2－y2(x，y∈R，xy≠0)．當(dāng)x>0，y>0時(shí)，xyx?y＋(2y)?x的最小值為________．x2－y24y2－x2x2－y22[因?yàn)閤y＝，因此(2yx＝2.又x>0，y>0.故xy＋(2yx＝xyxyxy4y2－x2x2＋2y2≥22xy2y時(shí)，等號(hào)建立．]＋＝2xy2xy＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2xy3．經(jīng)市場檢查，某旅行城市在過去的一個(gè)月內(nèi)(以30天計(jì))，第t天(1≤t≤30，t∈N1＋)的旅行人數(shù)f(t)(萬人)近似地知足f(t)＝4＋t，而人均花費(fèi)g(t)(元)近似地知足g(t)120－|t－20|.求該城市的旅行日利潤W(t)(萬元)與時(shí)間t(1≤t≤30，t∈N＋)的函數(shù)關(guān)系式；求該城市旅行日利潤的最小值．1[解](1)W(t)＝f(t)g(t)＝4＋t(120－|t－20|)401＋4＋100，1≤≤20，ttt＝140559＋t－4t，20<t≤30.100100(2)當(dāng)t∈[1,20]時(shí)，401＋4t＋t≥401＋24t·t＝441(t＝5時(shí)取最小值)．當(dāng)t∈(20,30]時(shí)，因?yàn)?)＝559＋140－4遞減，Wttt5因此t＝30時(shí)，W(t)有最小值W(30)＝4432，3因此t∈[1,30]時(shí)，()的最小值為441萬元．Wt4．(2017·鹽城模擬)已知美國蘋果企業(yè)生產(chǎn)某款iPhone手機(jī)的年固定成本為40萬美元，每生產(chǎn)1萬只還需另投入16萬美元．設(shè)蘋果企業(yè)一年內(nèi)共生產(chǎn)該款iPhone手機(jī)x萬只并所有銷售完，每萬只的銷售收入為()萬美元，且Rx400－6x，0<x≤40，R(x)＝740040000－x2，x>40.寫出年利潤W(萬美元)對(duì)于年產(chǎn)量x(萬只)的函數(shù)分析式；當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬只時(shí)，蘋果企業(yè)在該款iPhone手機(jī)的生產(chǎn)中所獲取的利潤最大？并求出最大利潤．[解](1)當(dāng)0<≤40，＝()－(16x＋40)＝－62＋384x－40；xWxRxx當(dāng)x>40，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－40000－16x＋7360.x6x2＋384x－40，0<x≤40，因此，W＝40000－－16x＋7