湖北省2020年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷（八）

湖北省2020年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷（八）

（文科）

（考試時(shí)間120分鐘滿分150分）

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。

1.已知集合U={1,2,3,4},M={x*-5x+p=0},若說乂={2,3},則實(shí)數(shù)p的值（）

A.-6B.-4C.4D.6

2.若復(fù)數(shù)z與其共聊復(fù)數(shù)W滿足：z=7+2i>則復(fù)數(shù)z的虛部為（）

A.1B.iC.2D.-1

3.已知、是夾角為兮的兩個(gè)單位向量，若向量a=3e1-2。2,則a?e「（）

A.2B.4C.5D.7

4.教師想從52個(gè)學(xué)生中，利用簡單隨機(jī)抽樣的方法，抽取10名談?wù)剬W(xué)習(xí)社會(huì)主義核

心價(jià)值觀的體會(huì)，一小孩在旁邊隨手拿了兩個(gè)號(hào)簽，教師沒在意，在余下的50個(gè)號(hào)簽

中抽了10名學(xué)生，則其中的李明同學(xué)的簽被小孩拿去和被教師抽到的概率分別為（）

A.'B.高，/C.上，0D.[

265262626255

5.下列選項(xiàng)中，說法正確的是（）

A.命題“^xWR,X?-x40"的否定是"mxGR,x2-x>0w

B.命題"pVq為真"是命題"pAq為真”的充分不必要條件

C.命題“若am24bm之，則a4b”是假命題

1JT

D.命題“在aABC中，若sinA<4,則A<?"的逆否命題為真命題

26

6.如圖所示，四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)是長方體的四個(gè)頂點(diǎn)（長方體是虛擬圖形，起

輔助作用），則四面體ABCD的三視圖是（用①②③④⑤⑥代表圖形）（）

⑥

A.①②⑥B.①②③C.④⑤⑥D(zhuǎn).③④⑤

7.下列命題中，錯(cuò)誤的是（）

A.平行于同一平面的兩個(gè)不同平面平行

B.一條直線如果與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)相交，則必與另一個(gè)平面相交

C.如果兩個(gè)平面不垂直，那么其中一個(gè)平面內(nèi)一定不存在直線與另一個(gè)平面垂直

D.若直線不平行于平面，則此直線與這個(gè)平面內(nèi)的直線都不平行

8.定義某種運(yùn)算S=a?b,運(yùn)算原理如圖所示，則式子：si聲(1)2?lgl00

3e3

的值是()

A.V3B.275c.3D.4

TT

9.函數(shù)f(x)=sin(2x+巾)(|4>|<n)的圖象向左平移下個(gè)單位后關(guān)于原點(diǎn)對稱，則函

數(shù)f(x)在［0,上的最小值為()

A.-立B.--C.-D.立

2222

+

10.已知數(shù)列｛a",若點(diǎn)(n,an)(n￡N)在經(jīng)過點(diǎn)(5,3)的定直線1上，則數(shù)列｛a"

的前9項(xiàng)和S9=()

A.9B.10C.18D.27

11.一天，小亮看到家中的塑料桶中有一個(gè)豎直放置的玻璃杯，桶子和玻璃杯的形狀都

是圓柱形，桶口的半徑是杯口半徑的2倍，其主視圖如左圖所示.小亮決定做個(gè)試驗(yàn)：

把塑料桶和玻璃杯看作一個(gè)容器，對準(zhǔn)杯口勻速注水，注水過程中杯子始終豎直放置，

則下列能反映容器最高水位h與注水時(shí)間t之間關(guān)系的大致圖象是()

o12345678t

若以曲線上任意一點(diǎn)為切點(diǎn)作切線曲線上總存在異于

12.y=f(x)Mi(xpyi)1］,

的點(diǎn)以點(diǎn)為切點(diǎn)做切線叮，且則稱曲線具有“可平

MN(x2,y2),Nli〃h，y=f(x)

行性"，現(xiàn)有下列命題：①偶函數(shù)的圖象都具有"可平行性"；②函數(shù)y=sinx的圖象具有“可

平行性"；③三次函數(shù)f(x)=x3-x?+ax+b具有"可平行性"，且對應(yīng)的兩切點(diǎn)M(X”

xJ(x>m)

yi),N(X2，y2)的橫坐標(biāo)滿足X1+X2J；④要使得分段函數(shù)f(X)=x

ex-l(x<0)

的圖象具有"可平行性”，當(dāng)且僅當(dāng)實(shí)數(shù)m=l.

以上四個(gè)命題真命題的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。

13.不等式l°gj.”-x)>2的解集為.

2

2y-x<4

14.若變量x,y滿足約束條件且z=5y-x的最大值為a,最小值為b,則a

x>0

-b的值是____________

15.已知偶函數(shù)f(x)滿足f(x)-f(x+2)=0,且當(dāng)x￡[0,1]時(shí)，f(x)=x?e',若

在區(qū)間［-1,3］內(nèi)，函數(shù)g(x)=f(x)-kx-2k有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值

范圍是.

16.在正項(xiàng)等比數(shù)列{a"中,已知ai<a4=l,若集A={t|(a1-工)+(a2(由

ala2

1*

-——)<0,teN},則A中元素個(gè)數(shù)為.

三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.在4ABC中，角A,B,C對應(yīng)的邊分別是a,b,c,已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A

(1)求角A的大?。?/p>

(2)已知2+￡=4,求sinBsinC的值.

cb

18.已知正項(xiàng)數(shù)列｛aj的首項(xiàng)a1二L前n項(xiàng)和S0滿足/;月(n>2).

(I)求證：｛凡｝為等差數(shù)列，并求數(shù)列｛a"的通項(xiàng)公式；

2

(II)記數(shù)列｛二■二一｝的前n項(xiàng)和為八，若對任意的nGN,不等式4Tn<a-a恒成

anan+l

立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

19.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，AB_L平面PAD,AB〃CD,PD=AD,E是PB

的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上的點(diǎn)且DFJAB，PH為4PAD中AD邊上的高.

(1)證明：PH_L平面ABCD；

(2)若PH=1,AD=V2>FC=1,求三棱錐E-BCF的體積；

(3)證明：EF,平面PAB.

20.已知以點(diǎn)A(-1,2)為圓心的圓與直線I1：x+2y+7=0相切.過點(diǎn)B(-2,0)

的動(dòng)直線1與圓A相交于M、N兩點(diǎn)，Q是MN的中點(diǎn)，直線1與h相交于點(diǎn)P.

(I)求圓A的方程；

(II)當(dāng)MN=2舊時(shí)，求直線1的方程；

(川)而?而是否為定值，如果是，求出定值；如果不是，請說明理由?

21.已知f(x)=x-ae'(a￡R,e為自然對數(shù)的底)

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)若f(x)4e?x對xeR恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同零點(diǎn)x”X2，求證：X］+X2>2.

四、請考生在第22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.請

答題時(shí)寫清題號(hào)

22.如圖，圓0的直徑AB=10,P是AB延長線上一點(diǎn)，BP=2,割線PCD交圓0于點(diǎn)

C,D,過點(diǎn)P作AP的垂線，交直線AC于點(diǎn)E,交直線AD于點(diǎn)F.

(I)當(dāng)NPEC=75。時(shí)，求NPDF的度數(shù)；

(II)求PE?PF的值.

23.在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已

TT

知曲線C］的極坐標(biāo)方程為P=4cos0,曲線C2的極坐標(biāo)方程為Pcos(e+-y)=242-

(1)求曲線C］的參數(shù)方程與曲線C2的直角坐標(biāo)方程；

(2)記曲線Ci與曲線C2交于M,N兩點(diǎn)，求線段MN的長度.

24.已知函數(shù)f(x)=|1-2x|-|l+x|.

(1)解不等式f(x)>4；

(2)若關(guān)于x的不等式a2+2a+|1+x|>f(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

參考答案

一、單項(xiàng)選擇題

1.C.2.A.3.B4.B.5.C6.B7.D.8.A.9.A.10.D

11.C.12.B.

二、填空題

13.解：eiog?.?.原不等式可寫成，l°g_L(2-x)>loglX

24224

再根據(jù)對數(shù)函數(shù)f(x)=l°g_Lx在(0,+8)上單調(diào)遞減，

2-x>0

故填：*2).

'x+y<8

2V—4

14.解：作出約束條件]所對應(yīng)的可行域(如圖陰影),

x>0

、y>0

變形目標(biāo)函數(shù)可得y=[xVz,

平移直線y)x可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A(8,0)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取最小值b=-8,

當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)B(4,4)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取最大值a=16,

a-b=16-(-8)=24

故答案為：24

x-y=8

2y-x=4

15.解：Vf(x)-f(x+2)=0,

,*.f(x)=f(x+2),

即函數(shù)的周期是2,

,當(dāng)xe［O,1］時(shí)，f(x)=x?ex,

,根據(jù)增函數(shù)的性質(zhì)可知，此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，且f(0)=0,f(1)=e,

.,.當(dāng)xG［-1,0］時(shí),f(x)=f(-x)=-x*e-x,

由g(x)=f(x)-kx-2k=0,得到f(x)=k(x+2),

作出兩個(gè)函數(shù)f(x)和g(x)=k(x+2)在［-1,3］的圖象，

由圖象可知當(dāng)x=l時(shí)，f(1)=e,

當(dāng)x=3時(shí)，f(3)=f(1)=e,即B(1,e),C(3,e),

當(dāng)直線y=k(x+2)經(jīng)過點(diǎn)B(1,e)時(shí)，此時(shí)兩個(gè)函數(shù)有2個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)e=3k,解得

,

直線y=k(x+2)經(jīng)過點(diǎn)C(3,e)時(shí)，此時(shí)兩個(gè)函數(shù)有4個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)e=5k,解得k=*|

要想使函數(shù)g(x)=f(x)-kx-2k有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，

則直線應(yīng)該位于直線AB和AC之間，

...此時(shí)直線的斜率k滿足

53

故k的取值范圍是(嘏，與，

53

16.解：設(shè)公比為q

3

Vai<a4=aiq=1

.,.0<a1<ll<q3,q>l,①

；.a]=q",②

/.(a|--)+(a-~)+...+(a--)

a】2a?t

=(a|+a2+...+at)-(后一個(gè)首項(xiàng)‘，公比」)

a[^2，③]q

代入②，得

q'-l

%(q-1)qt

.,.qr7-l<0

t-7,1

q§

At-7<0

解得t<7

故答案為：7.

三、解答題

17.解：(1)由題意可得：

3cosBcosC-3sinBsinC+2-2cosA=0,

9

3cos(B+C)+2-2cosA=0,

7

-3cosA+2-2cos~A=0,

2cosA+3cosA-2=0,

解得cosA=^或cosA=-2(舍去)，

2

又A為三角形內(nèi)角，故角A=60。.

(2)由題意可得：

b2+c2=4bc,

聯(lián)立余弦定理：b2+c2=a2+2bccosA可得a2=3bc,

又由正弦定理得：sinBsinC=^sinA￡si.nA=~osin

aaa

18.解：（I）an=Vs^+7sn-l

sn-sn-iW^+Jsn-1

?■?V^-Vsn-l=1

數(shù)列｛?1是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列

.??府（1+（n-1）=n

??Sn-n

??an=V^n+VSn-l=n+n-l=2n-1（n>2）

當(dāng)n=l時(shí)，aj=l也適合

/.an=2n-1

（n）1________二

anan+l（2n-1）（2n+l）22n-12n+l

???然《（1'i41-5+，，，t2n-l-2rdT）=2（一^7）

,n

2n+l

.,.Tn<l

..,明一-a恒成立

2<a2-a,解得a>2或a4-1

19.解：（1）證明：平面PAD,

APHIAB,

VPH為APAD中AD邊上的高，

.\PH_LAD,

VABnAD=A,

.?.PH，平面ABCD.

（2）如圖，連接BH,取BH中點(diǎn)G,連接EG,

YE是PB的中點(diǎn)，

AEGPH,

?.?PH_L平面ABCD,

，EGJ_平面ABCD,

則EGmPH^，

??VE-BCF=|S/iBCF?EG=g?1?FC?AD?EG專

(3)證明：如圖，取PA中點(diǎn)M,連接MD,ME,

?；E是PB的中點(diǎn)，

???MEJ^AB，

:DFj^AB，

AMEj^DF,

...四iOMEDF是平行四邊形，

.\EF〃MD,

VPD=AD,AMD1PA,

；AB_L平面PAD,AMD±AB,

VPAnAB=A,，MDJ_平面PAB,

...EF，平面PAB.

20.解：(I)設(shè)圓A的半徑為R,由于圓A與直線h：x+2y+7=0相切,

.R=H^=2V_

.?.圓A的方程為(x+1)2+(y-2)~=203.

(ID①當(dāng)直線1與x軸垂直時(shí)，易知x=-2符合題意…

②當(dāng)直線1與x軸不垂直時(shí)，

設(shè)直線1的方程為y=k(x+2),即kx-y+2k=0,

連接AQ,則AQ±MN

,.,MN=2A/T9>AQ=V20-19=b…

則由人0=%22|=1，得k=^，；?直線1：3x-4y+6=0.

故直線1的方程為x=-2或3x-4y+6=0...

(Ill)VAQ1BP).,.BQ.BP=(BA+AQ)-BP=BA-BP+AQ-BP=BA-BP--

①當(dāng)1與x軸垂直時(shí)，易得P(-2,-搟)，則砥(0,--|),又箴=(1,2)，

???BQ-BP=BA?BP=-5...

②當(dāng)1的斜率存在時(shí)，設(shè)直線1的方程為y=k(x+2),

產(chǎn)I),得「-4k-7-5k、,L_，Y-5k.

則由，(l+2k，百如人nBP-(k*i+2k

x+2y+7=01+2

-5-10k

???BQ-BP=BA-BP^=-5

l+2kl+2k

綜上所述，話?而是定值，且前?而=-5.…

21.解：(1)當(dāng)asO時(shí)，易知f(x)=x-ae*在R上是增函數(shù),

當(dāng)a>0,f(x)=1-aex,

故當(dāng)xV-Ina時(shí)，f(x)>0,當(dāng)x>Tna時(shí)，f(x)<0；

故函數(shù)f(x)在(-8,-Ina)上是增函數(shù)，在(-Ina,+-)上是減函數(shù);

(2)f(x)4e?x對xWR恒成立可化為x-ae、e2x對xCR恒成立,

-2x

故aSx--c二對xeR恒成立,

X

e

-2x

令F(x)一x——e

X

e

1--x

則F(x)」--------

ex

則當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)(x)<0,x>0H寸，F(xiàn)(x)>0；

x-P

故F(x)=———在x=0處有最大值F(0)=-1；

故aN-1；

(3)證明：???函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同零點(diǎn)xi，x2,

結(jié)合(1)可知，-Ina-aelna>0,

解得，0<a<—；

e

x2

則x[二ae”'x2=ae；

則ahq的兩個(gè)不同根為xi，X2，

e

Y1-Y

令g(x)^―,貝Ijg'(x)=----，

exe

知g(X)在(-8,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減;

又：當(dāng)xe(-8,0]時(shí)，g(x)<0,

故不妨設(shè)X]6(0,1),X2e(1,+oo).

對于任意a”a2G(0,—),設(shè)ai>a2，

e

若g(mp=g(m2)=a),g(np=g(n2)=a2>

其中0<m]<lVm2，0<n)<1<n2，

Vg(x)在(-8,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減；

又(rri])>g(川)，g(m2)>g(n2);

.".ni]>ri],m2<n2；

nin

.2<2

"mi"

x

故,9隨著a的減小而增大,

X1

令二Xo=t,

X1

Xj=aexl,X2=ae",可化為x2-X]=lnt；t>1；

m,Inttint

則xiQTq,X2=yT1

(t+1)Int

則X2+X]=-

(t+1)Int

令h(t)

t-1

則可證明h（t）在（1,+8）上單調(diào)遞增;

故X2+X]隨著t的增大而增大，即

x

X2+X1隨著’2的增大而增大,

X]

故X2+X|隨著a的減小而增大,

而當(dāng)」時(shí),

aX2+X]=2；

e

故

X2+X]>2.

22.解：(I)連結(jié)BD,則NBDA=90。...

VZCDB=ZCAB...

ZPEC=900-ZCAB,...

ZPDF=90°-ZCDB...

ZPEC=ZPDF=75°；

(II)由(I)得：ZPEC=ZPDF,

AD,C,E,F四點(diǎn)共圓，…

?.?AB=10,P是AB延長線上一點(diǎn)，BP=2,

PE?PF=PC?PD=PB?PA=2xl2=24.

23.解：（1）..?p=4cos。，，p2=4pcose,故曲線。的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=4x,即（三三）

2+

，=sinO得x=2+2cos8

令*22=CQS8f