高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文 探究遞推公式為分式型數(shù)列的通項(xiàng)問(wèn)題 新人教版

n33nn33n探究遞推公為分式型數(shù)的通項(xiàng)問(wèn)題對(duì)于形如遞推公式為

Aaann

（

，

BC

）的數(shù)列

題有一般性的公式解法，通常用特征方程求不動(dòng)點(diǎn)，即先求解遞推公式所對(duì)應(yīng)的特征方程，求出不動(dòng)點(diǎn)，然后再解。雖然這類(lèi)題本身有特征方程求不動(dòng)點(diǎn)等的知識(shí)背景高考題并不考不賴(lài)于這知識(shí)所的標(biāo)準(zhǔn)答案來(lái)看立在于將遞推數(shù)列求通項(xiàng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知數(shù)列的已知知識(shí)來(lái)解決，即轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列來(lái)解決。那么有沒(méi)有不用高等數(shù)學(xué)知識(shí)只高中數(shù)學(xué)知識(shí)的方法？這類(lèi)問(wèn)題是否存在通項(xiàng)公式？若存在又怎么來(lái)求？下面通過(guò)具體例子介紹一種方法，僅供參!例題例題1

年全國(guó)高考數(shù)學(xué)理科第題

）已知數(shù)，n

1.an（Ⅰ）設(shè)

c

51，b2an

，求數(shù)列

；（Ⅱ）求使不等式

a

＜

n

＜

成立的

的取值范圍分析：（Ⅰ）

題目已經(jīng)明確告訴學(xué)生要構(gòu)造：an

的倒數(shù)，也就是說(shuō)在

an

512n

，兩邊同時(shí)減2得

an

51an2an

，再倒數(shù)即：

14an

，亦即bn

4bn

，下一步再變形：

bn

23

2

1是首項(xiàng)為，比3為4的等比數(shù)列，進(jìn)而可求出數(shù)列

式（Ⅱ）略例題2008年全國(guó)高考數(shù)學(xué)陜西卷理科第題）已知數(shù)列

1

=

35

，

n

=

n2n

，，,

（ⅰ）求

式﹙ⅱ﹚證明：對(duì)任意的x＞0,

a

≥

11－1

，2，

a31nn是首項(xiàng)為na31nn是首項(xiàng)為n（ⅲ）證明：

a1

n

＞

n2n分析：（ⅰ）由

n

=

n2n

兩邊同時(shí)加上，a

n

＋＝

n2an

；倒數(shù)得

2a3n

213a

13

a

13

；令

3

的分母成“

an

”型或，妨取于是有

1211＝＋變形－＝aa3n

12＝所以數(shù)

是21以為項(xiàng)，為公比的等比數(shù)。于是：有3﹙ⅱ﹚略

121，得aa33n

3例題2007年全國(guó)高考數(shù)學(xué)理科試卷第題已知：數(shù)列n式（Ⅰ）求

，，

（Ⅱ）若數(shù)列

b1

2

bn

nn

，

，2

證明：2＜b≤n

4n

，

，2分析：（Ⅰ）由題設(shè)可得

n

n所以數(shù)列

n

，公比為

的等比數(shù)列所以a

，23

（Ⅱ）對(duì)于

bn

3bn2bn

兩邊同時(shí)加

得：

3bb2bn

；即：

n

nbn

2211222112倒數(shù)：

1bbxnn即

1bn

x

2

（）可令：

3x2x

，目的是使分母變成“

n

”型則（1）式可化為

13x12bxbxnn

（）由方程

3x2x

得2;妨取2則（2）式可變?yōu)?/p>

n

3323n即：

b

1

2

1b

它是形如“

a

n

pan

”的式子；易求

b

2

2

所以：

b21

22

；顯然，b＞2。n由ⅰ)：

所以

4n

1

12

于是：

4n

1n

22

2

12

22

A2

≥所以，

n

≤

4n綜上可知，

＜

n

≤

4n

，

，2

探求

：對(duì)于

an

n(A0)Cn

型通項(xiàng)公式的方法可以推廣到一般，結(jié)果總結(jié)如下：對(duì)于

a

AaAan兩同時(shí)加，：CaDn

即：

a

())nn倒數(shù)：

1na(A)Dxn即：

1an

CACx

nA))n

C

ACx

所以：

CD1Ca(A)a)n即：

DCACx(A

an

1Cx

ACx

nnnnnn為了使上述等式左右成“

1an

”形式，可令

則：

1D1CaACxaAnn

（*由方程

B

x

，得：

Cx

2

xB0

(方程有解的條件為：

()

2

BC≥0在此條件下可求出該方程解：，x；妨令12

x1則（*式可變?yōu)椋?/p>

1DCxaan11設(shè)

1，an1

1an1則

pbnn

（其中

D1，A1

）對(duì)于上述數(shù)列

求它的通項(xiàng)公式的1即可求出數(shù)列an1

的通項(xiàng)。進(jìn)而求出數(shù)列

。以上方法盡管相對(duì)較麻煩些，但它用得知識(shí)點(diǎn)和方法都是高中數(shù)學(xué)內(nèi)容所要求的。因?yàn)樵瓟?shù)列既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列們?cè)瓟?shù)列一適當(dāng)?shù)臄?shù)”過(guò)來(lái)，就可以用我們所掌握的等差，等比知識(shí)來(lái)求了，所以不妨稱(chēng)之為“加倒法一種初等的方法。練習(xí)

：1

.（河北省定州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)

張志蘭）中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參——。

76已知數(shù)列

，a1

nan

，

N（ⅰ）若數(shù)列

ab滿(mǎn)bn1n

，證明：

；﹙ⅱ﹚求數(shù)列

式及最大項(xiàng)，并說(shuō)理由；（ⅲ）求

limax

的值。

西師大附中

李天紅）中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考2009.1—。

80

1n12313111n12313113已知函數(shù)

f

，設(shè)數(shù)列

afnn

，記nnn

ni

bi（?。┣髷?shù)列

式﹙ⅱ﹚求證：

；（ⅲ）求證：S＜

233

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列

an

71n且數(shù)列2n

式．已數(shù)列

1

，

an

3aan

，求數(shù)列

。．已數(shù)列

7aan

，首項(xiàng)為

1

，求數(shù)列

。

．已數(shù)