射影幾何在中學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用

關(guān)于射影幾何在中學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用第1頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三目錄仿射變換交比的應(yīng)用Desargues透視定理123提綱第2頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三其中(x,y)與(x',y')為任一對對應(yīng)點P,P'的坐標,矩陣滿足|A|0,稱為仿射變換的矩陣.仿射變換

明顯，橢圓在仿射變換下可變換為圓，平行四邊形在仿射變換下可變換為正方形第3頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三

仿射變換的基本性質(zhì):(1)保持直線的平行線；

(2)保持同素性和結(jié)合性；

(3)保持共線三點的單比,從而保持兩平行線段的比值不變.仿射變換

定理：兩個三角形的面積之比是仿射不變量；

推論1：兩個多邊形的面積之比是仿射不變量；

推論2：兩個封閉圖形的面積之比是仿射不變量；第4頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三

橢圓變?yōu)閳A的變換不是唯一的，并且在這些變換下，橢圓中原有直線變換為直線，原點變換為原點，切線變換為切線，直線與直線之間的關(guān)系保持不變（平行直線變換為平行直線，相交直線變換為相交直線），點與線的關(guān)系保持不變，同一直線上的兩條線段之比不變（單比不變），從而線段的中點保持不變，面積之比在變換下不變，兩直線斜率只比不變，等等；但是直線的傾斜角、斜率，兩點間的距離，兩直線間的夾角等則發(fā)生改變仿射變換第5頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三仿射變換

例1

在平行四邊形ABCD中，點E、F分別在線段BC、CD上，且EF//BD,求證：第6頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三仿射變換

例2求橢圓的面積第7頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三仿射變換

半徑為a的圓的內(nèi)接三角形的面積的最大值是多少呢？

橢圓的內(nèi)接四邊形面積的最大值是多少呢？一般的，橢圓的內(nèi)接n邊形的面積的最大值多少呢？

例3求橢圓內(nèi)接△ABC的面積的最大值思考一思考二

一般的，橢圓的外切n邊形的面積的最小值是多少呢？第8頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三

橢圓變?yōu)閳A的變換不是唯一的，并且在這些變換下，橢圓中原有直線變換為直線，原點變換為原點，切線變換為切線，直線與直線之間的關(guān)系保持不變（平行直線變換為平行直線，相交直線變換為相交直線），點與線的關(guān)系保持不變，同一直線上的兩條線段之比不變（單比不變），面積之比在變換下不變，兩直線斜率只比不變，等等；但是直線的傾斜角、斜率，兩點間的距離，兩直線間的夾角等則發(fā)生改變仿射變換第9頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三仿射變換

例5設(shè)A、B是橢圓長軸的兩個端點，C是橢圓的中心，橢圓在其上的一點P處的切線與點A處的切線相交于點Y，則CY//BP第10頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三仿射變換

例4求證：橢圓的任意一組平行弦的中點的軌跡是一條經(jīng)過中心的線段，并且在這線段的兩個端點處的切線平行于這些弦第11頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三仿射變換

例6（2009年遼寧卷數(shù)學(xué)理第20題）已知橢圓的方程為，點A的坐標為（1,3/2），右焦點為F，設(shè)M、N是橢圓上的兩個動點，如果直線AM的斜率與AN的斜率互為相反數(shù)，證明直線MN的斜率為定值，并求出這個定值第12頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三仿射變換第13頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三目錄仿射變換交比的應(yīng)用Desargues透視定理123提綱第14頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三交比的初等幾何意義

注：如果P4=P,而P1,P2,P3為通常點,則可合理地規(guī)定：于是有,(P1P2,P3P)=(P1P2P3)為前三個通常點的簡單比.交比第15頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三

定理1

平面上五點(其中無三點共線)唯一確定一條非退化二階曲線。

定理2

二階曲線上四個定點與其上任意一點連線所得四直線的交比為定值。

注：定理2對于解析幾何中的各種二次曲線都適用。二次曲線的射影定義第16頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三

例7過圓的弦AB的中點O任作另外兩弦CE,DF，連結(jié)EF,CD交AB于G,H。求證：GO=OH。(蝴蝶定理)交比第17頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三交比

如圖：AD平分BC于點O，即OB=OD，過O的兩條直線EF和GH，與四邊交于E、F、G、H，連接GF和EH，分別交BD于點I、J則有OI=OJ

橢圓的長軸與x軸平行，短軸在y軸上，中心在y軸的正半軸上,過原點的兩條直線分別交橢圓于點Ｃ,D和點Ｇ,Ｈ,設(shè)CH交X軸于點P，GD交X軸于點Q,則有OP=OQ第18頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三

例7過圓的弦AB的中點O任作另外兩弦CE,DF，連結(jié)EF,CD交AB于G,H。求證：GO=OH。(蝴蝶定理)交比第19頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三

例7過圓的弦AB的中點O任作另外兩弦CE,DF，連結(jié)EF,CD交AB于G,H。求證：GO=OH。(蝴蝶定理)

證明因為A,F,C,B為圓上四定點,則由二次曲線的定義，有以直線AB截這兩個線束，得由交比的初等幾何表示式，有所以同理可證，G'O=OH'.交比第20頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三調(diào)和比是最重要的交比！對于(P1P2,P3P4)=–1,則稱點組為調(diào)和點組此時,若P4=P,而P1,P2,P3為通常點,則這表示P3為P1P2的中點.

定理

設(shè)P1,P2,P為共線的通常點，P為此直線上的無窮遠點，則P為P1P2的中點交比利用初等幾何意義,有第21頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三

定理

在完全四點形的每條邊上有一個調(diào)和點組，其中一對為頂點，另一對中一個為對邊點，一個為該邊與對邊三點形的邊的交點。比如在邊AB上，有完全四點形的調(diào)和性比如在邊CD上，有考察完全四點形ABCD第22頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三

例8

證明：梯形兩腰延長線的交點與對角線的交點連線平分上下底。幾何證明題

證明如圖，ABCD為梯形，AD//BC,E,F分別為兩腰和對角線的交點。EF交AD,BC于P,Q。只要證明P,Q分別是AD,BC的中點。

考察完全四點形ABCD。設(shè)ADBC=G，由上述定理，有(BC,QG)=–1，從而得出Q為BC的中點。

同理有，(AD,PG)=–1，所以P為AD的中點。完全四點形的調(diào)和性第23頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三目錄仿射變換交比的應(yīng)用Desargues透視定理123提綱第24頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三2、Desargues透視定理Desargues透視定理

迪沙格定理

如果兩個三點形對應(yīng)頂點的連線交于一點，則對應(yīng)邊的交點共線。

注:Desargues定理與其逆定理實際是一對對偶命題.

迪沙格定理的逆定理如果兩個三線形的對應(yīng)邊的交點共線，則對應(yīng)頂點的連線交于一點。第25頁，共29頁，2023年，2月20日，星期三作圖題

例9.

已知平面上二直線a,b,P為不在a,b上的一點.不定出a,b的交點ab,過P求作直線c,使c經(jīng)過ab.作法：(1)在a,b外取異于P的一點O.過O作三直線l1,l2,l3.設(shè)l1,l2,分別交a,b于A1,A2;B1,B2.(2)連PA1,PB1分別交l3于A3,B3.(3)連A2A3,B2B3交于Q.(4)PQ=c為所求直線.

證明：由作法,三點形A1A2A3,B1B2B3有透視中心O.故其對應(yīng)邊的交點P=A1A3B1B3,Q=A2A3B2B3以及ab三點共線,即c=PQ經(jīng)過ab.Desargu