2022年高考沖刺和模擬題分項(xiàng)匯編數(shù)學(xué)（理）專題06三角函數(shù)及解三角形（解析版）

專題06三角函數(shù)及解三角形1．【2022年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)】函數(shù)f(x)=在的圖像大致為A． B．C． D．【答案】D【解析】由，得是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除A．又，排除B，C，故選D．【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)與圖象，滲透了邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，采取性質(zhì)法或賦值法，利用數(shù)形結(jié)合思想解題．解答本題時(shí)，先判斷函數(shù)的奇偶性，得是奇函數(shù)，排除A，再注意到選項(xiàng)的區(qū)別，利用特殊值得正確答案．2．【2022年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)】關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論：①f(x)是偶函數(shù) ②f(x)在區(qū)間（，）單調(diào)遞增③f(x)在有4個(gè)零點(diǎn) ④f(x)的最大值為2其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是A．①②④ B．②④C．①④ D．①③【答案】C【解析】為偶函數(shù)，故①正確．當(dāng)時(shí)，，它在區(qū)間單調(diào)遞減，故②錯(cuò)誤．當(dāng)時(shí)，，它有兩個(gè)零點(diǎn)：；當(dāng)時(shí)，，它有一個(gè)零點(diǎn)：，故在有個(gè)零點(diǎn)：，故③錯(cuò)誤．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，又為偶函數(shù)，的最大值為，故④正確．綜上所述，①④正確，故選C．【名師點(diǎn)睛】本題也可畫出函數(shù)的圖象（如下圖），由圖象可得①④正確．3．【2022年高考全國(guó)Ⅱ卷理數(shù)】下列函數(shù)中，以為周期且在區(qū)間(，)單調(diào)遞增的是A．f(x)=|cos2x| B．f(x)=|sin2x|C．f(x)=cos|x| D．f(x)=sin|x|【答案】A【解析】作出因?yàn)榈膱D象如下圖1，知其不是周期函數(shù)，排除D；因?yàn)?，周期為，排除C；作出圖象如圖2，由圖象知，其周期為，在區(qū)間(，)單調(diào)遞增，A正確；作出的圖象如圖3，由圖象知，其周期為，在區(qū)間(，)單調(diào)遞減，排除B，故選A．圖1圖2圖3【名師點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，滲透直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，畫出各函數(shù)圖象，即可作出選擇．本題也可利用二級(jí)結(jié)論：①函數(shù)的周期是函數(shù)周期的一半；②不是周期函數(shù).4．【2022年高考全國(guó)Ⅱ卷理數(shù)】已知α∈(0，)，2sin2α=cos2α+1，則sinα=A． B．C． D．【答案】B【解析】，，，又，，又，，故選B．【名師點(diǎn)睛】本題是對(duì)三角函數(shù)中二倍角公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的考查，中等難度，判斷正余弦的正負(fù)，運(yùn)算準(zhǔn)確性是關(guān)鍵，題目不難，需細(xì)心，解決三角函數(shù)問(wèn)題，研究角的范圍后得出三角函數(shù)值的正負(fù)很關(guān)鍵，切記不能憑感覺(jué)．解答本題時(shí)，先利用二倍角公式得到正余弦關(guān)系，再利用角范圍及正余弦平方和為1關(guān)系得出答案．5．【2022年高考全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)】設(shè)函數(shù)=sin（）(＞0)，已知在有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，下述四個(gè)結(jié)論：①在（）有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)②在（）有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn)③在（）單調(diào)遞增④的取值范圍是[)其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是A．①④ B．②③C．①②③ D．①③④【答案】D【解析】①若在上有5個(gè)零點(diǎn)，可畫出大致圖象，由圖1可知，在有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn).故①正確；②由圖1、2可知，在有且僅有2個(gè)或3個(gè)極小值點(diǎn).故②錯(cuò)誤；④當(dāng)=sin（）=0時(shí)，=kπ（k∈Z），所以，因?yàn)樵谏嫌?個(gè)零點(diǎn)，所以當(dāng)k=5時(shí)，，當(dāng)k=6時(shí)，，解得，故④正確.③函數(shù)=sin（）的增區(qū)間為：，.取k=0，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，綜上可得，在單調(diào)遞增.故③正確.所以結(jié)論正確的有①③④.故本題正確答案為D.【名師點(diǎn)睛】本題為三角函數(shù)與零點(diǎn)結(jié)合問(wèn)題，難度大，可數(shù)形結(jié)合，分析得出答案，要求高，理解深度高，考查數(shù)形結(jié)合思想．注意本題中極小值點(diǎn)個(gè)數(shù)是動(dòng)態(tài)的，易錯(cuò)，正確性考查需認(rèn)真計(jì)算，易出錯(cuò)．6．【2022年高考天津卷理數(shù)】已知函數(shù)是奇函數(shù)，將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為．若的最小正周期為，且，則A． B．C． D．【答案】C【解析】∵為奇函數(shù)，∴；又∴，又，∴，∴，故選C.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的求值問(wèn)題，解題關(guān)鍵是求出函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)性質(zhì)逐步得出的值即可.7．【2022年高考北京卷理數(shù)】函數(shù)f（x）=sin22x的最小正周期是__________．【答案】【解析】函數(shù)，周期為.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查二倍角的三角函數(shù)公式?三角函數(shù)的最小正周期公式，屬于基礎(chǔ)題.將所給的函數(shù)利用降冪公式進(jìn)行恒等變形，然后求解其最小正周期即可.8．【2022年高考全國(guó)Ⅱ卷理數(shù)】的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.若，則的面積為_________．【答案】【解析】由余弦定理得，所以，即，解得（舍去），所以，【名師點(diǎn)睛】本題易錯(cuò)點(diǎn)往往是余弦定理應(yīng)用有誤或是開方導(dǎo)致錯(cuò)誤．解答此類問(wèn)題，關(guān)鍵是在明確方法的基礎(chǔ)上，準(zhǔn)確記憶公式，細(xì)心計(jì)算．本題首先應(yīng)用余弦定理，建立關(guān)于的方程，應(yīng)用的關(guān)系、三角形面積公式計(jì)算求解，本題屬于常見(jiàn)題目，難度不大，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法、數(shù)學(xué)式子的變形及運(yùn)算求解能力的考查．9．【2022年高考江蘇卷】已知，則的值是▲.【答案】【解析】由，得，解得，或.，當(dāng)時(shí)，上式當(dāng)時(shí)，上式=綜上，【名師點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，滲透了邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取轉(zhuǎn)化法，利用分類討論和轉(zhuǎn)化與化歸思想解題.由題意首先求得的值，然后利用兩角和的正弦公式和二倍角公式將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為齊次式求值的問(wèn)題，最后切化弦求得三角函數(shù)式的值即可.10．【2022年高考浙江卷】在中，，，，點(diǎn)在線段上，若，則___________，___________．【答案】，【解析】如圖，在中，由正弦定理有：，而,，，所以..【名師點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形問(wèn)題，即正弦定理、三角恒等變換、數(shù)形結(jié)合思想及函數(shù)方程思想.在中應(yīng)用正弦定理，建立方程，進(jìn)而得解.解答解三角形問(wèn)題，要注意充分利用圖形特征.11．【2022年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)】的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)．（1）求A；（2）若，求sinC．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知得，故由正弦定理得．由余弦定理得．因?yàn)?，所以．?）由（1）知，由題設(shè)及正弦定理得，即，可得．由于，所以，故．【名師點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的問(wèn)題，涉及到兩角和差正弦公式、同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是能夠利用正弦定理對(duì)邊角關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到余弦定理的形式或角之間的關(guān)系.12．【2022年高考全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)】△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求B；（2）若△ABC為銳角三角形，且c=1，求△ABC面積的取值范圍．【答案】（1）B=60°；（2）.【解析】（1）由題設(shè)及正弦定理得．因?yàn)閟inA0，所以．由，可得，故．因?yàn)椋?，因此B=60°．（2）由題設(shè)及（1）知△ABC的面積．由正弦定理得．由于△ABC為銳角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°，由（1）知A+C=120°，所以30°<C<90°，故，從而．因此，△ABC面積的取值范圍是．【名師點(diǎn)睛】這道題考查了三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，以及正弦定理的使用（此題也可以用余弦定理求解），最后考查是銳角三角形這個(gè)條件的利用，考查的很全面，是一道很好的考題.13．【2022年高考北京卷理數(shù)】在△ABC中，a=3，b?c=2，cosB=．（1）求b，c的值；（2）求sin（B–C）的值．【答案】（1），；（2）.【解析】（1）由余弦定理，得.因?yàn)?，所?解得.所以.（2）由得.由正弦定理得.在中，∠B是鈍角，所以∠C為銳角.所以.所以.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理、正弦定理的應(yīng)用，兩角差的正弦公式的應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.14．【2022年高考天津卷理數(shù)】在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為．已知，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）在中，由正弦定理，得，又由，得，即．又因?yàn)?，得到，．由余弦定理可得．?）由（1）可得，從而，，故．【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和的正弦公式，二倍角的正弦與余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力．15．【2022年高考江蘇卷】在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因?yàn)椋捎嘞叶ɡ?，得，?所以.（2）因?yàn)?，由正弦定理，得，所?從而，即，故.因?yàn)?，所以，從?因此.【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力.16．【2022年高考江蘇卷】如圖，一個(gè)湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路l，湖上有橋AB（AB是圓O的直徑）．規(guī)劃在公路l上選兩個(gè)點(diǎn)P、Q，并修建兩段直線型道路PB、QA．規(guī)劃要求：線段PB、QA上的所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑．已知點(diǎn)A、B到直線l的距離分別為AC和BD（C、D為垂足），測(cè)得AB=10，AC=6，BD=12（單位：百米）．（1）若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長(zhǎng)；（2）在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個(gè)點(diǎn)選在D處？并說(shuō)明理由；（3）在規(guī)劃要求下，若道路PB和QA的長(zhǎng)度均為d（單位：百米）.求當(dāng)d最小時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離．【答案】（1）15（百米）；（2）見(jiàn)解析；（3）17+（百米）.【解析】解法一：（1）過(guò)A作，垂足為E.由已知條件得，四邊形ACDE為矩形，.'因?yàn)镻B⊥AB，所以.所以.因此道路PB的長(zhǎng)為15（百米）.（2）①若P在D處，由（1）可得E在圓上，則線段BE上的點(diǎn)（除B，E）到點(diǎn)O的距離均小于圓O的半徑，所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求.②若Q在D處，連結(jié)AD，由（1）知，從而，所以∠BAD為銳角.所以線段AD上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑.因此，Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求.綜上，P和Q均不能選在D處.（3）先討論點(diǎn)P的位置.當(dāng)∠OBP<90°時(shí)，線段PB上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑，點(diǎn)P不符合規(guī)劃要求；當(dāng)∠OBP≥90°時(shí)，對(duì)線段PB上任意一點(diǎn)F，OF≥OB，即線段PB上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑，點(diǎn)P符合規(guī)劃要求.設(shè)為l上一點(diǎn)，且，由（1）知，B=15，此時(shí)；當(dāng)∠OBP>90°時(shí)，在中，.由上可知，d≥15.再討論點(diǎn)Q的位置.由（2）知，要使得QA≥15，點(diǎn)Q只有位于點(diǎn)C的右側(cè)，才能符合規(guī)劃要求.當(dāng)QA=15時(shí)，.此時(shí)，線段QA上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑.綜上，當(dāng)PB⊥AB，點(diǎn)Q位于點(diǎn)C右側(cè)，且CQ=時(shí)，d最小，此時(shí)P，Q兩點(diǎn)間的距離PQ=PD+CD+CQ=17+.因此，d最小時(shí)，P，Q兩點(diǎn)間的距離為17+（百米）.解法二：（1）如圖，過(guò)O作OH⊥l，垂足為H.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OH為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.因?yàn)锽D=12，AC=6，所以O(shè)H=9，直線l的方程為y=9，點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)分別為3，?3.因?yàn)锳B為圓O的直徑，AB=10，所以圓O的方程為x2+y2=25.從而A（4，3），B（?4，?3），直線AB的斜率為.因?yàn)镻B⊥AB，所以直線PB的斜率為，直線PB的方程為.所以P（?13，9），.因此道路PB的長(zhǎng)為15（百米）.（2）①若P在D處，取線段BD上一點(diǎn)E（?4，0），則EO=4<5，所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求.②若Q在D處，連結(jié)AD，由（1）知D（?4，9），又A（4，3），所以線段AD：.在線段AD上取點(diǎn)M（3，），因?yàn)?，所以線段AD上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑.因此Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求.綜上，P和Q均不能選在D處.（3）先討論點(diǎn)P的位置.當(dāng)∠OBP<90°時(shí)，線段PB上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑，點(diǎn)P不符合規(guī)劃要求；當(dāng)∠OBP≥90°時(shí)，對(duì)線段PB上任意一點(diǎn)F，OF≥OB，即線段PB上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑，點(diǎn)P符合規(guī)劃要求.設(shè)為l上一點(diǎn)，且，由（1）知，B=15，此時(shí)（?13，9）；當(dāng)∠OBP>90°時(shí)，在中，.由上可知，d≥15.再討論點(diǎn)Q的位置.由（2）知，要使得QA≥15，點(diǎn)Q只有位于點(diǎn)C的右側(cè)，才能符合規(guī)劃要求.當(dāng)QA=15時(shí)，設(shè)Q（a，9），由，得a=，所以Q（，9），此時(shí)，線段QA上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑.綜上，當(dāng)P（?13，9），Q（，9）時(shí)，d最小，此時(shí)P，Q兩點(diǎn)間的距離.因此，d最小時(shí)，P，Q兩點(diǎn)間的距離為（百米）.【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用、解方程、直線與圓等基礎(chǔ)知識(shí)，考查直觀想象和數(shù)學(xué)建模及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力.17．【2022年高考浙江卷】設(shè)函數(shù).（1）已知函數(shù)是偶函數(shù)，求的值；（2）求函數(shù)的值域．【答案】（1）或；（2）．【解析】（1）因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有，即，故，所以．又，因此或．（2）．因此，函數(shù)的值域是．【名師點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)及其恒等變換等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力.18．【重慶西南大學(xué)附屬中學(xué)校2022屆高三第十次月考數(shù)學(xué)試題】已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸正半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)榻堑捻旤c(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸正半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，因此.故選B.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的定義，以及二倍角公式，熟記三角函數(shù)的定義與二倍角公式即可，屬于常考題型.解答本題時(shí)，先由角的終邊過(guò)點(diǎn)，求出，再由二倍角公式，即可得出結(jié)果.19．【四川省宜賓市2022屆高三第三次診斷性考試數(shù)學(xué)試題】已知，，則A． B．7C． D．【答案】C【解析】，∴，，則.故選C．【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式及兩角差的正切公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．解答本題時(shí)，根據(jù)已知的值，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式可求tanα，然后根據(jù)兩角差的正切公式即可求解．20．【廣東省韶關(guān)市2022屆高考模擬測(cè)試（4月）數(shù)學(xué)文試題】已知函數(shù)的相鄰對(duì)稱軸之間的距離為，將函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，則A． B．C． D．【答案】C【解析】由函數(shù)的相鄰對(duì)稱軸之間的距離為，得，即，所以，解得，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到的圖象，故選C．【名師點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的平移變換和伸縮變換的應(yīng)用，正弦型函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于基礎(chǔ)題型．解答本題時(shí)，首先利用函數(shù)的圖象求出函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步利用圖象的平移變換的應(yīng)用求出結(jié)果．21．【河南省鄭州市2022屆高三第三次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題】已知函數(shù)，的部分圖象如圖所示，則使成立的的最小正值為A． B．C． D．【答案】B【解析】由圖象易知，，，即，且，即，由圖可知，所以，即，又由圖可知，周期，且，所以由五點(diǎn)作圖法可知，所以函數(shù)，因?yàn)?，所以函?shù)關(guān)于對(duì)稱，即有，所以可得，所以的最小正值為.故選B.【名師點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練運(yùn)用三角函數(shù)的圖象和周期對(duì)稱性是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.解答本題時(shí)，先由圖象，求出，可得函數(shù)的解析式，再由易知的圖象關(guān)于對(duì)稱，即可求得a的值.22．【山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)等四校2022屆高三聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題】在中，，，分別為角，，的對(duì)邊，若的面積為，且，則A．1 B．C． D．【答案】D【解析】由，得，∵，∴，即，即，則，∵，∴，∴，即，則，故選D．【名師點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形的應(yīng)用，結(jié)合三角形的面積公式以及余弦定理求出的值以及利用兩角和差的正弦公式進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．解答本題時(shí)，根據(jù)三角形的面積公式以及余弦定理進(jìn)行化簡(jiǎn)求出的值，然后利用兩角和的正弦公式進(jìn)行求解即可．23．【山東省煙臺(tái)市2022屆高三3月診斷性測(cè)試（一模）數(shù)學(xué)試題】