2023八年級數(shù)學下冊期末復習（二）勾股定理試題（新版）新人教版

PAGEPAGE1期末復習(二)勾股定理各個擊破命題點1勾股定理的證明【例1】(1)以圖1中的直角三角形為根底，可以構造出以a，b為底，以a＋b為高的直角梯形(如圖2)，請你利用圖2，驗證勾股定理；(2)利用圖2中的直角梯形，證明eq\f(a＋b,c)<eq\r(2).圖1圖2【思路點撥】(1)利用梯形面積的兩種算法列出等式證明；(2)利用直角梯形中斜腰大于直角腰證明．【方法歸納】勾股定理的證明方法是用面積法證明恒等式的方法，通過不同的方式表示同一個圖形的面積．1．如圖是用硬紙板做成的四個全等的直角三角形(兩直角邊長分別是a，b，斜邊長為c)和一個邊長為c的正方形，請你將它們拼成一個能證明勾股定理的圖形．(1)畫出拼成圖形的示意圖；(2)證明勾股定理．命題點2勾股定理及其逆定理【例2】如圖，每個小正方形的邊長為1.(1)求四邊形ABCD的周長；(2)求證：∠BCD＝90°.【思路點撥】(1)利用勾股定理求出四邊形的各邊長；(2)求出△BCD的三邊長，利用勾股定理的逆定理證明．【方法歸納】正方形格中的兩個格點之間的距離可以用勾股定理求出．勾股定理的逆定理是證明一個角等于90°的一種思路．此題的第(2)問還可以通過兩個三角形全等來證明．2．如圖，：在正方形ABCD中，點E是BC中點，點F在AB上，且AF∶FB＝3∶1.(1)請你判斷EF與DE的位置關系，與同學交流，并說明理由；(2)假設此正方形的面積為16，求DF的長．命題點3勾股定理在實際問題中的應用【例3】如圖，高速公路的同側有A，B兩個村莊，它們到高速公路所在直線MN的距離分別為AA1＝2km，BB1＝4km，A1B1＝8km.現(xiàn)要在高速公路上A1B1之間設一個出口P，使A，B兩個村莊到P的距離之和最短，那么這個最短距離是多少千米？【思路點撥】運用“兩點之間線段最短〞先確定出P點在A1B1上的位置，再利用勾股定理求出AP＋BP的長．【方法歸納】解這類題關鍵在于運用幾何知識正確找到適合條件的P點的位置，會構造Rt△AB′E求之，勾股定理把三角形中有一個直角的“形〞的特征，轉化為三邊“數(shù)〞的關系，因此它是數(shù)形結合的一個典范．3．某工廠的大門如下圖，其中四邊形ABCD是長方形，上部是以AB為直徑的半圓，AD＝2.3m，AB＝2m，現(xiàn)有一輛裝滿貨物的卡車，高2.5m，寬1.6m，問：這輛車能否通過廠門？請說明理由．命題點4圖形的折疊與勾股定理【例4】如圖，把矩形紙片OABC放入平面直角坐標系中，使OA，OC分別落在x軸，y軸上，頂點O與原點O重合，連接AC，將矩形紙片OABC沿AC折疊，使點B落在點D的位置，假設B(1，2)，那么點D的橫坐標是____________．【思路點撥】求點D的橫坐標即先要求點D到y(tǒng)軸的距離，然后根據(jù)點D在第二象限，確定點D的橫坐標．【方法歸納】解決有關折疊的問題時，通常利用勾股定理這個等量關系建立方程．4．(安徽中考)如圖，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，將△ABC折疊，使A點與BC的中點D重合，折痕為MN，那么線段BN的長為()A.eq\f(5,3)B.eq\f(5,2)C．4D．5整合集訓一、選擇題(每題3分，共30分)1．在Rt△ABC中，兩直角邊長分別為1和3，那么斜邊的長為()A．1B．2.4C．2eq\r(2)D.eq\r(10)2．小新將鐵絲剪成九段，分成三個組：①2cm，3cm，4cm；②3cm，4cm，5cm；③9cm，40cm，41cm.分別以每組鐵絲圍成三角形，能構成直角三角形的有()A．②B．①②C．①③D．②③3．以下各命題的逆命題成立的是()A．全等三角形的對應角相等B．如果兩個數(shù)相等，那么它們的絕對值相等C．兩直線平行，同位角相等D．如果兩個角都是45°，那么這兩個角相等4．以下選項中，不能用來證明勾股定理的是()5．如圖，正方形網(wǎng)格中的△ABC，假設小方格邊長為1，那么△ABC是()A．直角三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形D．以上答案都不對6．在直角三角形中，如果有一個角是30°，那么以下各比值中，是這個直角三角形的三邊之比的是()A．1∶2∶3B．2∶3∶4C．1∶4∶9D．1∶eq\r(3)∶27．如圖，△ABC和△DCE都是邊長為4的等邊三角形，點B，C，E在同一條直線上，連接BD，那么BD的長為()A.eq\r(3)B．2eq\r(3)C．3eq\r(3)D．4eq\r(3)8．設a，b是直角三角形的兩條直角邊，假設該三角形的周長為6，斜邊長為2.5，那么ab的值是()A．1.5B．2C．2.5D．39．如圖是一張?zhí)綄殘D，根據(jù)圖中的尺寸，起點A與起點B的距離是()A.eq\r(113)B．8C．9D．1010．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，BC＝2，CD＝3，那么AB＝()A．4B．5C．2eq\r(3)D.eq\f(8\r(3),3)二、填空題(每題3分，共18分)11．如果三角形的三邊分別為eq\r(2)，eq\r(6)，2，那么這個三角形的最大角的度數(shù)為____________．12．(無錫中考)如圖，△ABC中，CD⊥AB于點D，E是AC的中點，假設AD＝6，DE＝5，那么CD的長等于____________．13．a(chǎn)，b，c是△ABC的三邊長，且滿足關系eq\r(c2－a2－b2)＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－b))＝0，那么△ABC的形狀為____________．14．如圖是“趙爽弦圖〞，△ABH，△CDF，△DAE和△BCG是四個全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形，如果AH＝6，EF＝2，那么AB等于____________．15．(濱州中考)如圖，在平面直角坐標系中，將長方形AOCD沿直線AE折疊(點E在邊DC上)，折疊后頂點D恰好落在邊OC上的點F處，假設點D的坐標為(10，8)，那么點E的坐標為____________．16．課間，小聰拿著老師的等腰直角三角板玩，不小心掉到兩墻之間(如圖)，∠ACB＝90°，AC＝BC，從三角板的刻度可知AB＝20cm，小聰很快就知道了砌墻磚塊的厚度(每塊磚的厚度相等)為______cm.三、解答題(共52分)17．(8分)如圖，某山的高度AC為800米，在山上A處與山下B處各建一個索道口，且BC＝1500米，歡歡從山下索道口坐纜車到山頂，纜車每分鐘走50米，那么大約多少分鐘后，歡歡才能到達山頂？18．(10分)在△ABC中，a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2＋n2，其中m，n是正整數(shù)，且m＞n，試判斷△ABC是否是直角三角形．19．(10分)一個零件的形狀如圖1所示，按規(guī)定這個零件中∠A和∠DBC都應為直角．工人師傅量得這個零件各邊尺寸如圖2所示．圖1圖2(1)你認為這個零件符合要求嗎？為什么？(2)求這個零件的面積．20．(12分)如圖，一根長度為50cm的木棒的兩端系著一根長度為70cm的繩子，現(xiàn)準備在繩子上找一點，然后將繩子拉直，使拉直后的繩子與木棒構成一個直角三角形，這個點將繩子分成的兩段各有多長？21．(12分)在△ABC中，AB＝2eq\r(5)，AC＝4，BC＝2，以AB為邊向△ABC外作△ABD，使△ABD為等腰直角三角形，求線段CD的長．

參考答案【例1】(1)∵Rt△ABE≌Rt△ECD，∴∠AEB＝∠EDC.又∵∠EDC＋∠DEC＝90°，∴∠AEB＋∠DEC＝90°.∴∠AED＝90°.∵S梯形ABCD＝SRt△ABE＋SRt△DEC＋SRt△AED，∴eq\f(1,2)(a＋b)(a＋b)＝eq\f(1,2)ab＋eq\f(1,2)ab＋eq\f(1,2)c2.整理得a2＋b2＝c2.(2)證明：∵BC＝a＋b，AD＝eq\r(2)c，BC<AD，∴a＋b<eq\r(2)c.eq\f(a＋b,c)<eq\r(2).【例2】(1)根據(jù)勾股定理可知AB＝3eq\r(2)，BC＝eq\r(34)，CD＝eq\r(34)，AD＝5eq\r(2)，∴四邊形ABCD的周長為8eq\r(2)＋2eq\r(34).(2)證明：連接BD，∵BC＝eq\r(34)，CD＝eq\r(34)，DB＝eq\r(68)，∴BC2＋CD2＝BD2.∴△BCD是直角三角形，即∠BCD＝90°.【例3】過B作B點關于MN的對稱點B′，連接AB′交A1B1于點P，那么AP＋BP＝AP＋PB′＝AB′，易知P點即為到A，B距離之和最短的點．過A作AE⊥BB′于點E，那么AE＝A1B1＝8，B′E＝AA1＋BB1＝2＋4＝6.由勾股定理，得AB′＝eq\r(AE2＋EB′2)＝eq\r(82＋62)＝10.即AP＋BP＝AB′＝10.故出口P到A，B兩村莊的最短距離之和是10km.【例4】－eq\f(3,5)題組訓練1．(1)圖略．(2)證明：用大正方形的面積證明．c2＝(b－a)2＋4×eq\f(1,2)ab＝b2＋a2.2．(1)EF與DE垂直，即EF⊥DE.連接DF，設正方形邊長為a，那么AD＝DC＝a，AF＝eq\f(3,4)a，BF＝eq\f(1,4)a，BE＝EC＝eq\f(1,2)a.在Rt△DAF中，DF2＝AD2＋AF2＝eq\f(25,16)a2.在Rt△CDE中，DE2＝CD2＋CE2＝eq\f(5,4)a2.在Rt△EFB中，EF2＝FB2＋BE2＝eq\f(5,16)a2.∵DE2＋EF2＝eq\f(5,4)a2＋eq\f(5,16)a2＝eq\f(25,16)a2＝DF2，∴△DFE為直角三角形．∴EF⊥DE.(2)連接DF.∵正方形的面積為16，∴a2＝16.∵DF2＝eq\f(25,16)a2＝eq\f(25,16)×16＝25，∴DF＝5.3．能通過，理由如下：如圖，設AB的中點為O，顯然，車的寬度小于門的寬度，設OF＝1.6÷2＝0.8(m)，過點F作FG⊥AB，G為半圓上的點，因為OG＝eq\f(AB,2)＝1m，OF＝0.8m，所以FG2＝OG2－OF2＝12－0.82＝0.36.所以FG＝0.6m，所以G點離地面的高度為0.6＋2.3＝2.9(m)>2.5m，故車能通過．4．C整合集訓1．D2.D3.C4.D5.A6.D7.D8.D9.D10.D11.90°12.813.等腰直角三角形14.1015.(10，3)16.eq\f(10,13)eq\r(26)17．根據(jù)，可得∠ACB＝90°.在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，得AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(8002＋15002)＝1700(米).1700÷50＝34(分鐘)．答：大約34分鐘后，歡歡才能到達山頂．18．∵m，n是正整數(shù)，且m＞n，∴c＞b，c＞a.∴a2＋b2＝(m2－n2)2＋(2mn)2＝m4－2m2n2＋n4＋4m2n2＝m4＋2m2n2＋n4.又∵c2＝(m2＋n2)2＝m4＋2m2n2＋n4，∴a2＋b2＝c2.∴△ABC是直角三角形．19．(1)這個零件符合要求．∵AB2＋AD2＝32＋42＝25，BD2＝52＝25，∴AB2＋AD2＝BD2.∴∠A＝90°.又∵BD2＋BC2＝52＋122＝169，DC2＝132＝169，∴BD2＋BC2＝DC2.∴∠DBC＝90°.(2)由(1)知∠A＝90°，∠DBC＝90°，∴這個零件的面積為eq\f(1,2)×3×4＋eq\f(1,2)×5×12＝36.20．分兩種情況：(1)如圖1，當∠B＝90°時，設BC＝xcm，那么AC＝(70－x)cm.在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2，即(70－x)2＝502＋x2，解得x＝eq\f(120,7)，那么AC＝70－x＝eq\f(370,7).即該點將繩子分成長度分別為eq\f(120,7)cm和eq\f(370,7)cm的兩