獻給可愛的學生-暑假學習資料(數學)

獻給可愛的學生

暑假學習資料

一、高中數學與初中數學特點的變化

1數學語言在抽象程度上突變。不少學生反映，集合、映射等概念難以理解，覺得離生活很

遠，似乎很“玄”。確實，初、高中的數學語言有著顯著的區(qū)別。初中的數學主要是以形象、通

俗的語言方式進行表達。而高-數學一下子就觸及抽象的集合語言、邏輯運算語言以及以后要學

習到的函數語言、空間立體幾何等。

2思維方法向理性層次躍遷。高中數學思維方法與初中階段大不相同。初中階段，很多老師

為學生將各種題建立了統(tǒng)一的思維模式，如解分式方程分幾步；因式分解先看什么，再看什么。

即使是思維非常靈活的平面幾何問題，也對線段相等、角相等,分別確定了各自的思維套路。因此,

初中學習中習慣于這種機械的、便于操作的定勢方式。高中數學在思維形式上產生了很大的變化,

數學語言的抽象化對思維能力提出了高要求。當然，能力的發(fā)展是漸進的，不是一朝一夕的。這

種能力要求的突變使很多高一新生感到不適應，故而導致成績下降。高一新生一定要能從經驗型

抽象思維向理論型抽象思維過渡，最后還需初步形成辯證型思維。

3知識內容的整體數量劇增。高中數學在知識內容的“量”上急劇增加了。例如：高一《代

數》第一章就有基本概念52個，數學符號28個；《立體幾何》第章有基本概念37個，基本公理、

定理和推論21個；兩者合在一起僅基本概念就達89個之多，并集中在高一第一學期學習，形成了

概念密集的學習階段。加之高中一年級第一學期只有七十多課時，輔助練習、消化的課時相應地

減少了。使得數學課時吃緊，因而教學進度一般較快，從而增加了教與學的難度。這樣，不可避

免地造成學生不適應高中數學學習，而影響成績的提高。這就要求：第一，要做好課后的復習工

作，記牢大量的知識。第二，要理解掌握好新舊知識的內在聯系，使新知識順利地同化于原有知

識結構之中。第三，因知識教學多以零星積累的方式進行的，當知識信息量過大時，其記憶效果

不會很好，因此要學會對知識結構進行梳理，形成板塊結構，實行“整體集裝”。如表格化，使

知識結構一目了然；類化，由一例到一類，由一類到多類，由多類到統(tǒng)一；使兒類問題同構于同

一知識方法。第四，要多做總結、歸類，建立主體的知識結構網絡。

二、現有初高中數學知識存在以下“脫節(jié)”

1.立方和與差的公式初中已刪去不講，而高中的運算還在用。

2.因式分解初中?般只限于二次項且系數為“1”的分解，對系數不為“1”的涉及不多，而

且對三次或高次多項式因式分解幾乎不作要求，但高中教材許多化簡求值都要用到，如解方程、不

等式等。

3.二次根式中對分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函數、不等式

常用的解題技巧。

4.初中教材對二次函數要求較低，學生處于了解水平，但二次函數卻是高中貫穿始終的重要

內容。配方、作簡圖、求值域、解二次不等式、判斷單調區(qū)間、求最大、最小值，研究閉區(qū)間上

函數最值等等是高中數學必須掌握的基本題型與常用方法。

5.二次函數、二次不等式與二次方程的聯系，根與系數的關系(韋達定理)在初中不作要求,

此類題目僅限于簡單常規(guī)運算和難度不大的應用題型，而在高中二次函數、二次不等式與二次方

程相互轉化被視為重要內容，高中教材卻未安排專門的講授。

6.圖像的對稱、平移變換，初中只作簡單介紹，而在高中講授函數后，對其圖像的上、下;

左、右平移，兩個函數關于原點，軸、直線的對稱問題必須掌握.

7.含有參數的函數、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究，而高中這部分內容視為

重難點。方程、不等式、函數的綜合考查常成為高考綜合題。

8.幾何部分很多概念(如重心、垂心等)和定理(如平行線分線段比例定理，射影定理，相

交弦定理等)初中生大都沒有學習，而高中都要涉及。

另外，像配方法、換元法、待定系數法初中教學大大弱化，不利于高中知識的講授。

三、初中數學與高中數學銜接緊密的知識點

1絕對值：

⑴在數軸上，一個數所對應的點與原點的距離叫做該數的絕對值。

a(a>0)

⑵正數的絕對值是他本身，負數的絕對值是他的相反數，0的絕對值是0,即時=<0(a=0)

-a{a<0)

⑶兩個負數比較大小，絕對值大的反而小

⑷兩個絕對值不等式:|x|<a(a>0)<=>-a<x<(2；|x|>a(a>0)=%〈一4或％〉〃

2乘法公式：

⑴平方差公式：/一/=(〃+。)(。一力)

⑵立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b?)

⑶立方和公式：a3={a+b\a2-ab+b2)

⑷完全平方公式：(a±A):=a2±2ab+b2,

(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+lac+2bc

(5)完全立方公式:(a+by=+3a2b+3ab2+b3

3分解因式：

⑴把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變化叫做把這個多項式分解因式。

⑵方法：①提公因式法，②運用公式法，③分組分解法，④十字相乘法。

4一元一次方程：

⑴在一個方程中，只含有一個未知數，并且未知數的指數是1,這樣的方程叫一元一次方程。

⑵解一元一次方程的步驟：去分母，移項，合并同類項，未知數系數化為1。

⑶關于方程ax=b解的討論

①當a*0時，方程有唯一解x=2；

a

②當a=0,6工0時，方程無解

③當a=0,6=0時，方程有無數解；此時任一實數都是方程的解。

5二元一次方程組：

(1)兩個二元一次方程組成的方程組叫做二元一次方程組。

(2)適合一個二元一次方程的一組未知數的值，叫做這個二元一次方程的一個解。

(3)二元一次方程組中各個方程的公共解，叫做這個二元一次方程組的解。

(4)解二元一次方程組的方法：①代入消元法，②加減消元法。

6不等式與不等式組

(1)不等式：

①用符不等號(＞、#、＜)連接的式子叫不等式。

②不等式的兩邊都加上或減去同一個整式，不等號的方向不變。

③不等式的兩邊都乘以或者除以一個正數，不等號方向不變。

④不等式的兩邊都乘以或除以同一個負數，不等號方向相反。

(2)不等式的解集：

①能使不等式成立的未知數的值，叫做不等式的解。

②一個含有未知數的不等式的所有解，組成這個不等式的解集。

③求不等式解集的過程叫做解不等式。

(3)一元一次不等式：

左右兩邊都是整式，只含有一個未知數，且未知數的最高次數是1的不等式叫一元一次不等

式。

(4)一元一次不等式組：

①關于同一個未知數的幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一元一次不等式組。

②一元一次不等式組中各個不等式的解集的公共部分，叫做這個一元一次不等式組的解集。

③求不等式組解集的過程，叫做解不等式組。

7一元二次方程：ax2+bx+c=0(a0)

①方程有兩個實數根=△=〃—4acN0

A>0

②方程有兩根同號=

中，=—>0

"a

A>0

③方程有兩根異號=\c

xx=—<0

[[2a

bc

④韋達定理及應用：玉+乙二——,王々=一

aa

2

x；+x；=（再+x2）-2X1X2,|x]-x2|=+丁）2-4中2=?

5=2

xj+%2=（X1+x2）（x：-XtX2+%2）（玉+x2）[（玉+x2）-3X|X2]

8函數

(1)變量：因變量，自變量。

在用圖象表示變量之間的關系時，通常用水平方向的數軸上的點自變量，用豎直方向的數軸上

的點表示因變量。

(2)一次函數：①若兩個變量y,x間的關系式可以表示成了=丘+匕(6為常數，k不等于0)

的形式，則稱y是尤的一次函數。②當b=0時，稱y是龍的正比例函數。

(3)一次函數的圖象及性質

①把一個函數的自變量x與對應的因變量y的值分別作為點的橫坐標與縱坐標，在直角坐標系

內描出它的對應點，所有這些點組成的圖形叫做該函數的圖象。

②正比例函數y=kx的圖象是經過原點的一條直線。

③在一次函數中，當k<0,b<0,則經2、3、4象限；當k<0,b>0lit,則經1、2、4象

限；當&>0,6<0時，則經1、3、4象限；當女〉0,b>0時，則經1、2、3象限。

④當々>0時，y的值隨x值的增大而增大，當女<0時，y的值隨尤值的增大而減少。

（4）二次函數:

①一般式：y=ax2+bx+c-a(x+—)2——(a0),對稱軸是工=--—,

2a4a2a

頂點是

②頂點式：y-a（x+m）2+k（a0）,對稱軸是x=-"?,頂點是（一根，女）；

③交點式：y=a（x-xj（x-x2）（aH。），其中（…,0）,（x2,0）是拋物線與x軸的交點

（5）二次函數的性質

b

①函數y=+"+儀。豐0）的圖象關于直線x=—上對稱。

2a

②a>0時，在對稱軸（x=—2）左側，y值隨x值的增大而減少；在對稱軸（x=—2）

2a2a

右側；y的值隨x值的增大而增大。當工=-點?時，y取得最小值;〃

hh

③a<0時，在對稱軸（x=-一）左側，y值隨x值的增大而增大；在對稱軸（x=-一）

2a2a

右側；y的值隨x值的增大而減少。當x=-3b時，y取得最大值4izc—b~

2a4a

9圖形的對稱

（1）軸對稱圖形：①如果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個

圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。②軸對稱圖形上關于對稱軸對稱的兩點確定的線段

被對稱軸垂直平分。

（2）中心對稱圖形：①在平面內，一個圖形繞某個點旋轉180度，如果旋轉前后的圖形互相重合,

那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做他的對稱中心。②中心對稱圖形上的每一對對應點

所連成的線段都被對稱中心平分。

10平面直角坐標系

（1）在平面內，兩條互相垂直且有公共原點的數軸組成平面直角坐標系。水平的數軸叫做x軸或

橫軸，鉛直的數軸叫做y軸或縱軸，x軸與y軸統(tǒng)稱坐標軸，他們的公共原點。稱為直角坐標系

的原點。

（2）平面直角坐標系內的對稱點：設（尤2,%）是直角坐標系內的兩點，

①若M和關于），軸對稱，則有一一/。

I兄=為

②若“和關于x軸對稱，則有|。

出=f

③若M和關于原點對稱，則有J/——%。

71~2

④若加和M'關于直線y=x對稱，則有廣一乃。

=%2

⑤若〃和〃'關于直線x=a對稱，則有（玉=2"一％或（X2=2a-。

I%=%I弘=%

11統(tǒng)計與概率：

（1）科學記數法：一個大于10的數可以表示成Ax10"的形式，其中4大于等于1小于10,N

是正整數。

（2）扇形統(tǒng)計圖：①用圓表示總體，圓中的各個扇形分別代表總體中的不同部分，扇形的大小

反映部分占總體的百分比的大小，這樣的統(tǒng)計圖叫做扇形統(tǒng)計圖。②扇形統(tǒng)計圖中，每部分占總

體的百分比等于該部分所對應的扇形圓心角的度數與360度的比。

（3）各類統(tǒng)計圖的優(yōu)劣：①條形統(tǒng)計圖：能清楚表示出每個項目的具體數目；②折線統(tǒng)計圖：

能清楚反映事物的變化情況；③扇形統(tǒng)計圖：能清楚地表示出各部分在總體中所占的百分比。

（5）平均數：對于N個數…，X”我們把'■（玉+々+…+4）叫做這個N個數的算術

平均數，記為X。

(6)加權平均數：一組數據里各個數據的重要程度未必相同，因而，在計算這組數據的平均數

時往往給每個數據加一個權，這就是加權平均數。

(7)中位數與眾數：①"個數據按大小順序排列，處于最中間位置的一個數據(或最中間兩個數

據的平均數)叫做這組數據的中位數。②一組數據中出現次數最大的那個數據叫做這個組數據的

眾數。③優(yōu)劣比較：平均數：所有數據參加運算，能充分利用數據所提供的信息，因此在現實生

活中常用，但容易受極端值影響；中位數：計算簡單，受極端值影響少，但不能充分利用所有數

據的信息；眾數：各個數據如果重復次數大致相等時，眾數往往沒有特別的意義。

(8)調查：①為了?定的目的而對考察對象進行的全面調查，稱為普查，其中所要考察對象的

全體稱為總體，而組成總體的每一個考察對象稱為個體。②從總體中抽取部分個體進行調查，這

種調查稱為抽樣調查，其中從總體中抽取的一部分個體叫做總體的一個樣本。③抽樣調查只考察

總體中的一小部分個體，因此他的優(yōu)點是調查范圍小，節(jié)省時間，人力，物力和財力，但其調查

結果往往不如普查得到的結果準確。為了獲得較為準確的調查結果，抽樣時要主要樣本的代表性

和廣泛性。

(9)頻數與頻率：①每個對象出現的次數為頻數，而每個對象出現的次數與總次數的比值為頻

率。②當收集的數據連續(xù)取值時，我們通常先將數據適當分組，然后再繪制頻數分布直方圖。

(10)數據的波動：①極差是指一組數據中最大數據與最小數據的差。②方差是各個數據與平均

數之差的平方和的平均數。③標準差就是方差的算術平方根。④一般來說，一組數據的極差，方

差，或標準差越小，這組數據就越穩(wěn)定。

(11)事件的可能性：①有些事情我們能確定他一定會發(fā)生，這些事情稱為必然事件；有些事情

我們能肯定他一定不會發(fā)生，這些事情稱為不可能事件；必然事件和不可能事件都是確定的。②

有很多事情我們無法肯定他會不會發(fā)生，這些事情稱為不確定事件。③一般來說，不確定事件發(fā)

生的可能性是有大小的。

(12)概率：①人們通常用1(或100%)來表示必然事件發(fā)生的可能性，用0來表示不可能事件

發(fā)生的可能性。②游戲對雙方公平是指雙方獲勝的可能性相同。③必然事件發(fā)生的概率為1,記

作尸(必然事件)=1；不可能事件發(fā)生的概率為0,記作P(不可能事件)=0；如果A為不

確定事件，那么0<P(A)<l

四、科學地進行學習

高中學生僅僅想學是不夠的，還必須“會學”，要講究科學的學習方法，提高學習效率，才

能變被動學習為主動學習，才能提高學習成績。

1培養(yǎng)良好的學習習慣。反復使用的方法將變成人們的習慣。什么是良好的學習習慣？良好

的學習習慣包括制定計劃、課前自學、專心上課、及時復習、獨立作業(yè)、解決疑難、系統(tǒng)小結和

課外學習幾個方面。

(1)制定計劃使學習目的明確，時間安排合理，不慌不忙，穩(wěn)扎穩(wěn)打，它是推動主動學習和

克服困難的內在動力。但計劃?定要切實可行，既有長遠打算，又有短期安排，執(zhí)行過程中嚴格

要求自己，磨煉學習意志。

(2)課前自學是上好新課、取得較好學習效果的基礎。課前自學不僅能培養(yǎng)自學能力，而且

能提高學習新課的興趣，掌握學習的主動權。自學不能走過場，要講究質量，力爭在課前把教材

弄懂，上課著重聽老師講思路，把握重點，突破難點，盡可能把問題解決在課堂上。

(3)上課是理解和掌握基礎知識、基本技能和基本方法的關鍵環(huán)節(jié)?！皩W然后知不足”，課

前自學過的同學上課更能專心聽課，他們知道什么地方該詳，什么地方可以一帶而過，該記的地

方才記下來，而不是全抄全錄，顧此失彼。

(4)及時復習是高效率學習的重要一環(huán)。通過反復閱讀教材，多方面查閱有關資料，強化對

基本概念知識體系的理解與記憶，將所學的新知識與有關I日知識聯系起來，進行分析比效，一邊

復習一邊將復習成果整理在筆記本上，使對所學的新知識由“懂”到“會”。

(5)獨立作業(yè)是通過自己的獨立思考，靈活地分析問題、解決問題，進一步加深對所學新知

識的理解和對新技能的掌握過程。這一過程也是對意志毅力的考驗，通過運用使對所學知識由

“會”到“熟”。

(6)解決疑難是指對獨立完成作業(yè)過程中暴露出來對知識理解的錯誤，或由于思維受阻遺漏

解答，通過點撥使思路暢通，補遺解答的過程。解決疑難一定要有鍥而不舍的精神。做錯的作業(yè)

再做?遍。對錯誤的地方要反復思考。實在解決不了的要請教老師和同學，并要經常把易錯的知

識拿來復習強化，作適當的重復性練習，把求老師問同學獲得的東西消化變成自己的知識，使所

學到的知識由“熟”到“活”.

(7)系統(tǒng)小結是通過積極思考，達到全面系統(tǒng)深刻地掌握知識和發(fā)展認識能力的重要環(huán)節(jié)。

小結要在系統(tǒng)復習的基礎上以教材為依據，參照筆記與資料，通過分析、綜合、類比、概括，揭

示知識間的內在聯系，以達到對所學知識融會貫通的目的。經常進行多層次小結，能對所學知識

由“活”到“悟”。

(8)課外學習包括閱讀課外書籍與報刊，參加學科競賽與講座，走訪高年級同學或老師交流

學習心得等。課外學習是課內學習的補充和繼續(xù)，它不僅能豐富同學們的文化科學知識，加深和

鞏固課內所學的知識，而且能夠滿足和發(fā)展興趣愛好，培養(yǎng)獨立學習和工作的能力，激發(fā)求知欲

與學習熱情。

2循序漸進，防止急躁。由于同學們年齡較小，閱歷有限，為數不少的同學容易急躁。有的

同學貪多求快，囹冏吞棗；有的同學想靠幾天“沖刺”一蹴而就；有的取得一點成績便洋洋自得,

遇到挫折又一蹶不振。同學們要知道，學習是一個長期地鞏固舊知、發(fā)現新知的積累過程，決非

一朝一夕可以完成的。為什么高中要學三年而不是三天！許多優(yōu)秀的同學能取得好成績，其中一

個重要原因是他們的基本功扎實，他們的閱讀、書寫、運算技能達到了自動化或半自動化的熟練

程度。

3注意研究學科特點，尋找最佳學習方法。數學學科擔負著培養(yǎng)運算能力、邏輯思維能力、

空間想象能力以及運用所學知識分析問題、解決問題的能力的重任。它的特點是具有高度的抽象

性、邏輯性和廣泛的適用性，對能力要求較高。學習數學一定要講究“活”，只看書不做題不行,

只埋頭做題不總結積累也不行?對課本知識既要能鉆進去，又要能跳出來，結合自身特點，尋找

最佳學習方法。華羅庚先生倡導的“由薄到厚”和“由厚到薄”的學習過程就是這個道理。方法

因人而異，但學習的四個環(huán)節(jié)（預習、上課、作業(yè)、復習）和一個步驟（歸納總結）是少不了的。

五、新生預習高中數學三大策略

由于高中數學內容的加深，思維要求的提高，課堂容量的增加，老師講解課時的減少，學生課

后自由安排時間的增加，許多同學不能適應這種變化，致使成績下降，甚至影響部分同學的信心。

在這里，我給出三大策略，指導高一新生如何預習數學，供大家參考。

策略一、明確預習的動力源泉

預習意義基本有三點：1.學會自主學習，培養(yǎng)良好的學習習慣；2.有助了解下一節(jié)要學習的

知識點，為上課掃除部分知識障礙，建立新舊知識間聯系，有利于知識系統(tǒng)化：3.有助于提高聽

課效果。預習中不懂的問題，上課老師講解這部分知識時，目標明確，態(tài)度積極，注意集中，容

易將不懂問題搞懂。

策略二、預習的基本步驟：“讀、戈U、寫、查”

1.“讀”——先粗讀一遍，以領會教材的大意

根據學科特點，然后細讀。數學課本可分為概念，規(guī)律（包括法則、定理、推論、性質、公

式等）、圖形、例題、習題等逐條閱讀。例如，看例題時要求學生做到①分清解題步驟，指出關鍵

所在；②弄清各步的依據，養(yǎng)成每步必問為什么，步步有依據的習慣；③比較同一節(jié)例題的特點,

盡量去體會選例意圖；④分析例題的解題規(guī)范格式，并按例題格式做練習題。

2.“劃”——即劃層次、劃重點

將一節(jié)內容劃分成幾個層次，分別標出序號。對每層中重點用“★”，對重點字、詞下面加

，對疑難問題旁邊加“？”，對各層次間關系用“="表示等等，劃時要有重點，切勿面

面俱到，符號太多。

3.“寫”——即將自己的看法、體會寫在書眉或書邊

（1）寫段意：每一段在書邊上寫出段意；（2）寫小結：一要概括本書內容，二要反映本節(jié)各

內容之間的并列與從屬關系；（3）例題：在書邊說明各主要步驟的依據，在題后空白處用符號或

幾個字，寫出本例特點，體現編者選例意圖；（4）變式：對優(yōu)秀生要求對例題條件、結論變化，

山特殊向一般轉傾，將有關知識進行橫向聯系，縱向發(fā)展。

4.“查”——即自我檢查預習的效果

①合上書本思考下節(jié)課老師要講的內容大意，哪些內容已看懂，哪些內容模糊，哪些內容不

懂，需要在什么地方再提高；②對照自學輔導或老師課前擬訂的自學提綱，揭露知識的內涵，挖

掘知識的本質，溝通知識的聯系。簡要地用語言能加以表達；③根據課本的練習，做兒道具有代

表性的習題，檢查預習的效果。

策略三、預習的關鍵是處理幾個關系

1.數學學科與其它學科的關系：預習時要花費較多的時間，高中階段有八九門課，門門都預

習不可能，可選擇一2門薄弱學科進行試點，有?定經驗后再全面展開。

2.預習與聽課的關系：預習是聽課高效的準備，聽課能解決預習中不懂的問題，可以鞏固需

學知識，千萬不可認為預習已懂，上課不認真聽講做其他事，浪費課堂寶貴時間，影響學習效果,

總之要使預習在聽課中發(fā)揮最大效益，否則失去預習的作用。

六、高一學生消除數學學習障礙的四大對策

對策一、搞好初高中教學銜接

教師在教學初始應控制進度，不能求快而增大學習難度，要注意數學知識相經聯系的，高中

數學知識要涉及初中的內容，很多地方是初中知識的延拓和提高，但不是簡單的重復.因此在教

學中正確處理好二者的銜接，深入研究兩者彼此潛在的聯系和區(qū)別；做好新I日知識的串聯和溝通,

為此，在高一教學中必須采用“低起點，小步于”的指導思想，幫助學生溫習舊知識，恰當地進

行鋪墊，以減緩坡度，分解教學過程，分散教學難點，讓學生在己有的水平上，通過努力能夠理

解和掌握知識，并引導學生對知識加以區(qū)別和聯系，得涉及到新的概念。

定理等都要結合初中己學過的知識，以激發(fā)學生的興趣和求知欲。為了使高一學生很快從初

中的方法中走出來，作為聯結，“直觀化”是高一數學起始教學必須遵循的原則，通過實物直觀、

模型直觀和語言直觀等直觀化的方法，使學生對抽象的概念形成鮮明的表象，減少學生理解過程

中的障礙。對于知識含量較大，學生記憶效果不佳的部分內容，教師必要進行梳理，作表格化、

類化、鏈式遞進的處理等，使內容易懂易記。這樣，不僅可以激發(fā)學生的求知欲，而且可以培養(yǎng)

他們的創(chuàng)造能力。

教師在處理教學內容，引導學生思維時，可以將思維的目標問題分解為若干個循序漸進的環(huán)

節(jié)，讓學生的思維水平從形象思維沿著小坡度的臺階向抽象思維步步升華，在處理問題時，一個

問題各環(huán)節(jié)之間、問題與問題之間要注意避免脫節(jié)、跳躍，注意鋪平道路，減少學生思維發(fā)展障

礙。這樣學生從己有的經驗出發(fā)，用特殊對象描述一般對象就可以在己有的思維水平基礎上有所

進步和發(fā)展。

總之，教師在教學時做到抽象概念形象化，抽象結論具體化，抽象方法通俗化，給學生有一

段適應的過渡緩沖期，學生就可以很快形成良好的抽象思維能力，消除學習數學的障礙。

對策二、加強學法指導，培養(yǎng)良好的學習習慣

良好學習習慣是學好高中數學的重要因素，它包括制定計劃、課前復習、專心上課、及時復

習、獨立作業(yè)、解決疑難、系統(tǒng)小結和課外學習這幾個方面，改進學生的學習方法，可以這樣進

行：引導學生養(yǎng)成認真制定計劃的習慣，合理安排時間，從盲目的學習中解放出來，引導學生養(yǎng)

成課前預習的習慣，可布置一些思考題和預習作業(yè)，保證聽課時有針對性，還要引導學生學會聽

課，要“心到”即注意力高度集中，對知識能觸類旁通，多方聯想，當學生聽到“增函數”，就

應該聯想起增函數性質圖像，函數在單調區(qū)間內，函數值隨著自變量的增大而增大，圖象在單調

區(qū)間從左到右單調上升趨勢?！把鄣健奔醋屑毧辞謇蠋熋恳徊桨逖荨ⅰ笆值健奔催m當做好筆記、

“口到”即隨時回答老師的提問，以提高聽課效率，引導學生養(yǎng)成及忖復習的習慣，下課后要反

復閱讀書本，回顧每堂課上老師所講內容，查閱有關資料，或向教師同學請教，以強化對基本概

念、知識體系的理解和記憶；引導學生養(yǎng)成獨立作業(yè)的習慣，要獨立地分析問題、解決問題，切

記有點小問題或習題不會做，就不假思索地請教老師同學；引導學生養(yǎng)成系統(tǒng)復習小結的習慣，

將所學新知識融入有關的體系和網絡中，以保持知識的完整性。引導學生養(yǎng)成閱讀有關報刊和資

料問題，以進一步充實大腦，拓展眼界，保持可持續(xù)發(fā)展的后勁，加強學法指導應富于知識講解、

作業(yè)評講、試卷分析等教學活動中。

另外，還可以通過舉辦講座介紹學習方法和進行學習目的及學法交流，學生掌握科學的學習

方法，學會學習，提高學習效率，變被動為主動，從而不斷地消除學習數學的障礙。

對策三、培養(yǎng)學生的數學興趣

心理學研究成果表明，推動學生進行學習的內部動力是學習動機，而興趣即是構建學習動機

中最現實、最活躍成分，濃厚的學習興趣無疑會使人的各種感受尤其是大腦處于最活躍的狀態(tài)，

使感知更清晰、觀察更細致、思維更深刻，想象更豐富、記憶更牢固，能夠最佳地接受教學信息,

不少學生之所以視數學學習為苦役，為畏途，主要原因還在于缺乏對數學的興趣，因此教師要著

力于培養(yǎng)和調動學生學習數學的興趣。

課堂教學的導言，需要教師精心構思，一開頭，就能把學生的思維活躍起來使他們對數學學

習產生了濃厚的興趣。還可通過介紹古今中外數學史，數學方面的偉大成就，闡明數學在自然科

學和社會科學研究中，尤其在工農業(yè)生產、軍事、生活等方面的巨大作用，來引導學生對數學的

興趣。在課堂教學中，要針對不同層次的學生進行分層教學，從學生的實際情況出發(fā)，兼顧學習

有困難的和學有余力的學生，通過多種途徑和方法，滿足他們的學習需求，發(fā)展他們的數學才能。

讓他們有所得，發(fā)現自己的學習成效，體會探索知識的樂趣，才能使學生學習數學的興趣得到持

續(xù)。

對策四、學生能力的培養(yǎng)

培養(yǎng)學生能力，消除高一學習數學障礙的重要環(huán)節(jié)，主要有：（1）培養(yǎng)學生獨立學習的能力;

（2）培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力；（3）培養(yǎng)學生的準確計算能力；（4）培養(yǎng)學生推理和

轉換能力；（5）培養(yǎng)良好的心理素質，發(fā)揮非智力因素的作用。

總之，高一數學的起步教學階段，分析清楚學生學習數學的障礙，只要教師采取正確的措施,

適當地處理教學內容，便能使學生盡快適應高中數學的學習，從而更高效、更順利地接受新知和

發(fā)展能力，高中數學教學就能取得成功，為全面推進素質教育作出應有的貢獻。

七、怎樣做數學作業(yè)才能發(fā)揮最大效益

做作業(yè)是學生鞏固知識，訓練方法，發(fā)展思維的重要的不可缺少的學習環(huán)節(jié)，它是在老師指

導下進行的有目的學習活動。雖然作業(yè)天天做，但效果卻大不同。有的同學有章有法，效果顯著,

成績上升；有的同學疲于應付，心中厭煩，影響情緒，挫傷熱情，導致成績下降。其實，做作業(yè)

有個方法或策略的問題，只有把握方法，遵循規(guī)律，保質保量，才能事半功倍，提高效益。下面

以數學學科為例談談做作業(yè)的方法。

一，溫故知新，把握要領

先把書看透，再動手做作業(yè)。做作業(yè)前，首先溫故有關的知識，回顧概念，掌握要求，了解

有關的注意事項，明確學習的目的，把握解題的規(guī)范化要求，然后再動手做作業(yè)，就心中有數，

練中學，學中練，達到鞏固目的，強化了知識，提高了能力。

但事實上，我們許多同學沒有這個好習慣，拿到題目就做。這樣，首先是速度慢，效率低。

另外，由于概念不清，有的概念理解錯誤，做了題目起不到應有的作用，甚至還有反作用，鞏固

了錯誤，在相應方面形成了一個頑疾，為以后學習埋下后患。

二，明確題意，構建思路

題海戰(zhàn)術的最大特點是以做題的數量作為標準，并期望以多取勝。由于高考升學的壓力，不

少同學不知不覺的掉進題海，拿到題目不假思索，跟著感覺走，時常出現張冠李戴，答非所問等

現象，也會出現漏解或者畫蛇添足，勞而無功。長期下去，最大的壞處是形成不嚴謹的思維習慣,

不利于將來的發(fā)展。

審題是我們解題的前奏工作，不可忽視，在解題前必須審清題意，分析條件和結論，并且根

據條件和結論進行聯想：以前遇到過類似或者部分類似的問題嗎？當時是用什么方法解決的？在

這里還有效嗎？等等?通過聯想構建解題思路，設計解題程序，把握解題要點，為正確快速解題

掃清障礙，奠定基礎。

三，限定時間，一氣呵成

常聽同學抱怨，作業(yè)太多，做不完了，有的同學為應付還不惜抄襲作業(yè)，影響優(yōu)秀品質的形

成。了解下來，問題大多是在時間安排上。覺得辛苦的同學，他們的作業(yè)都是在彈性的時間內完

成，想做就做些，不想做就玩會兒；或者慢條斯理，認為時間還有的是，等會再完成。有一-次，

作業(yè)量并不大，可是有位同學居然沒完成，他坦誠的說，晚上應該花上半小時就完成，可是當走

到電視前時，就自我安慰，看會吧，睡前再做，而到睡前又想起語文老師布置的“周記”明天早

自習要交，只有先寫周記，早自習再做吧，早自習外語老師來檢查背誦，所以就誤了事。

但是，大部分同學還是對數學作業(yè)高度重視，應對自如，甚至還學有余力，額外做了些提高

題，所以他們經常要求老師多布置些作業(yè)。調查下來，有兩個是他們的共同特點：一是他們做作

業(yè)限時完成，不拖拉，干凈利落，遇到困難，待各項任務基本完成后，再進行鉆研。另一方面，

他們做到了心動不如行動。他們拿到問題，常常是立即投入戰(zhàn)斗，而不是去想今天有多少作業(yè)，

需多少時間，難度是否太大，能不能完成得了等等。他們遇到難題是先能做多少就做多少，能解

決到什么程度就解決到什么程度，當解決了問題的部分時，常常會閃出好念頭，悟出問題的解決

方案。實際上每解決一點就是向目標靠近一步，這就是“吹盡黃沙始得金”的道理。

四，做后反思，提高效益

有人說題海戰(zhàn)術是臭豆腐，聞的臭，吃的香。題海戰(zhàn)術既然被人普遍使用，肯定有它存在的

道理，不能全盤否定。但是它的效益不高的弊端也是很明顯的。對它進行改進也是情理之中，實

踐證明解題后反思是提高效益的有效途徑。

首先要反思題意。前面已經介紹了審題的重要性，這里不再詳述。

其次要反思錯誤。要用批評的眼光去看待自己的解題過程，看看思路是否有問題，概念使用

是否正確，計算是否有失誤，思考是否周密等等。有時需要從不同的角度去思考，不同的方法去

演算更能發(fā)現問題。千萬別把檢查答案當成“自我欣賞”，那么肯定發(fā)現不了錯誤，發(fā)現不了錯

誤當然就談不上克服錯誤了。

第三要反思方法，解完題后再思考，由于對這個問題的認識有了一定的高度，所以思考出的

新方法常常更為簡捷，巧妙，在很大程度上能激勵我們的信心，即使我們發(fā)現不了巧思妙解，在

思考過程中我們回顧了相關知識，嘗試了許多方法，收獲仍不可小視。

最后還要反思變化。研究性學習已經進入高考，提高探究創(chuàng)新能力己經刻不容緩。許多經典

的數學問題可以進行變化，創(chuàng)設探究的契機。這些，大家只要利用原來問題的解題思路進行探索,

知道他們都是周期函數。這樣，我們解一題會一類，并訓練了探究，創(chuàng)新能力，較大限度提高了

解題的效益。

針對性的做題充分發(fā)揮讓你的期中復習事半功倍

期中考試的目的是幫助我們發(fā)現半個學期以來自己在學習目的、態(tài)度、知識、能力、方法等

方面存在的問題，為自己下一階段有針對性地改進學習提供重要的依據。對于高一來說，期中考

試是進入高一之后的第一次大洗牌，能不能在高中獲得一個“先發(fā)”的位置，就看這次期中考試;

對于高二的學生來說，每一次學校的統(tǒng)一考試，都決定著自己未來的努力方向，而且，會影響到

高校自主招生對他的評定。所以，大家不僅要全力備戰(zhàn)，并且在考后及時反省自己的學習狀況，

努力探求適合自己的學習方法，為自己更長遠的發(fā)展提供幫助。

1、跟著老師走，切忌盲目復習

很多同學在復習時都比較盲目，花了大量的時間，累的夠嗆，可出來的成績總是不盡人意；

因此在復習時，大家一定要善于思考，跟著老師走，合理利用時間，提高考試復習效率，建立知

識網絡與體系，抓住每個章節(jié)的核心知識，從而進行突破。

2、有針對性的做題

大家都知道做題是很重要，但是要不要成海就要商榷一下，如果題海的話就有很多是大量重

復的，是一種浪費，而且你做的不是經典題的話有可能有誤導，所以要選取其精華。一般老師推

薦的經典卷子，同學們要認真的對待，可以多做幾遍。

3、充分發(fā)揮

怎樣才能在考試中充分發(fā)揮呢？我們要戰(zhàn)略上藐視考卷，戰(zhàn)術上重視考卷。戰(zhàn)略上藐視考卷

是指自己已經準備相當長的時間了，對考試有了平常的經驗，相信自己一定能考好。在戰(zhàn)術上要

重視考卷是指對考卷中的每一道題都認真對待，一分一分地拿分。謹慎、小心、認真、負責地做

好每一道題。此外，考試開始后，也要及時總結前一門考試的經驗，以使后面的科目考得更好。

八、女生學好高一數學的六個法寶

大量事實和調查數據表明，隨著數學內容的逐步深化，高中女生數學能力逐漸下降，他們越

學越用功，卻越學越吃力，出現了部分女生嚴重偏科的現象.因而，對高中女生數學能力的培養(yǎng)

應引起重視。

一、“棄重求輕”，培養(yǎng)興趣

女生數學能力的下降，環(huán)境因素及心理因素不容忽視.目前社會、家庭、學校對學生的期望

值普遍過高.而女生性格較為文靜、內向，心理承受能力較差，加上數學學科難度大，因此導致

她們的數學學習興趣淡化，能力下降.因此，教師要多關心女生的思想和學習，經常同她們平等

交談，了解其思想上、學習上存在的問題，幫助其分析原因，制定學習計劃，清除緊張心理，鼓

勵她們“敢問”、“會問”，激發(fā)其學習興趣.同時，要求家長能以積極態(tài)度對待女生的數學學

習，要多鼓勵少指責，幫助她們棄掉沉重的思想包袱，輕松愉快地投入到數學學習中；還可以結

合女性成才的事例和現實生活中的實例，幫助她們樹立學好數學的信心.事實上，女生的情感平

穩(wěn)度比較高，只要她們感興趣，就會克服困難，努力達到提高數學能力的目的.

二、“開門造車”，注重方法

在學習方法方面，女生比較注重基礎，學習較扎實，喜歡做基礎題，但解綜合題的能力較差,

更不愿解難題；女生上課記筆記，復習時喜歡看課本和筆記，但忽視上課聽講和能力訓練；女生

注重條理化和規(guī)范化，按部就班，但適應性和創(chuàng)新意識較差.因此，教師要指導女生“開門造車”，

讓她們暴露學習中的問題，有針對地指導聽課，強化雙基訓練，對綜合能力要求較高的問題，指

導她們學會利用等價轉換、類比、化歸等數學思想，將問題轉化為若干基礎問題，還可以組織她

們學習他人成功的經驗，改進學習方法，逐步提高能力.

三、“笨鳥先飛”，強化預習

女生受生理、心理等因素影響，對知識的理解、應用能力相對要差一些，對問題的反應速度

也慢一些.因此，要提高課堂學習過程中的數學能力，課前的預習至關重要.教學中，要有針對

性地指導女生課前的預習，可以編制預習提綱，對抽象的概念、邏輯性較強的推理、空間想象能

力及數形結合能力要求較高的內容，要求通過預習有一定的了解，便于聽課時有的放矢，易于突

破難點.認真預習，還可以改變心理狀態(tài)，變被動學習為主動參與.因此，要求女生強化課前預

習，“笨鳥先飛”.

四、“固本扶元”，落實“雙基”

女生數學能力差，主要表現在對基本技能的理解、掌握和應用上.只有在鞏固基礎知識和掌

握基本技能的前提下，才能提高女生的綜合能力.因此，教師要加強對舊知識的復習和基本技能

的訓練，結合講授新課組織復習；也可以通過基礎知識的訓練，使學生對一學的知識進行鞏固和

提高，使他們具備學習新知識所必需的基本能力，從而對新知識的學習和掌握起到促進作用.

五、“揚長補短”，增加自信

在數學學習過程中，女生在運算能力方面，規(guī)范性強，準確率高，但運算速度偏慢、技巧性

不強；在邏輯思維能力方面，善于直接推理、條理性強，但間接推理欠缺、思維方式單一；在空

間想象能力方面，直覺思維敏捷、表達準確，但線面關系含混、作圖能力差；在應用能力方面，

“解?！蹦芰^強，但“建?！蹦芰ζ?因此，教學中要注意發(fā)揮女生的長處，增加其自信心,

使其有正視挫折的勇氣和戰(zhàn)勝困難的決心.特別要針對女生的弱點進行教學，多講通解通法和常

用技巧，注意速度訓練，分析問題既要“由因導果”，也要“執(zhí)果索因”，暴露過程，激活思維;

注重數形結合，適當增加直觀教學，訓練作圖能力，培養(yǎng)想象力；揭示實際問題的空間形式和數

量關系，培養(yǎng)“建?！蹦芰?

六、“舉一反三”，提高能力

“上課能聽懂，作業(yè)能完成，就是成績提不高.”這是高中階段女生.共同的“心聲”.由于

課堂信息容量小，知識單一，在老師的指導下，女生一般能聽懂；課后的練習多是直接應用概念

套用算法，過程簡單且技能技巧要求較低，她們能完成.但因速度和時間等方面的影響，她們不

大注重課后的理解掌握和能力提高.因此教學中要編制“套題”（知識性，技能性）、“類題”

（基礎類，綜合類，方法類）、“變式題”（變條件，變結論，變思想，變方法），并對其中具有

代表性的問題進行詳盡的剖析，起到“舉一反三”、“觸類旁通”的作用，這有利于提高女生的

數學。

九、如何科學合理的學習高一數學

高中學生僅僅想學是不夠的，還必須“會學”，要講究科學的學習方法，提高學習效率，才

能變被動學習為主動學習，才能提高學習成績。

一、數學學習的科學理念

一條好的創(chuàng)業(yè)理念能挽救一個工廠，發(fā)展一個企業(yè)，振興一個民族，這已是屢見不鮮的事實!

同樣，一條好的學習理念，能使一個學習屢屢愛挫的同學從此走向學習的成功，走上人生的康莊

大道，這里向讀者推薦的就是這樣一條科學的數學學習理念，要講清這個問題，首先需要弄清下

面的問題：什么是真正的意義上的數學學習？它的本質與核心是什么？

從所周知，數學中的知識點不是孤立的，而是緊密聯系的，人們把相互聯系在一起的若干個

數學知識點稱為數學知識結構。數學學習就是學習者在自己的頭腦中不斷建構(建立和造構)和

完善數學知識結構的過程，心理學家把這個過程叫做數學知識的“內化”，內化的結果，若通逐

步形成一個條理清晰的、內涵豐富的、聯系緊密的、體驗深刻的知識結構，學習就是成功的，反

之，學習就不成功，甚至是失敗的，反思這個內化的過程可以得出以下兩點結論：

學習數學的過程從本質上講就是理解數學知識及其聯系的過程，理解得透徹、深刻、全面，

內化的質量就高，可見，理解是數學學習的核心，當代美籍數學大師陳省身說過，“數學就是理

解！”他之所以這樣講是基于數學具有三大特點——“高度的抽象性”，“嚴密的邏輯性"，''應

用的極端廣泛性和靈活性”。如果離開了深入的理解，要想學懂數學、學好數學是根本不可能的,

因此理解對數學學習具有極端的重要性，真正意義上的數學學習一定要把理解放在第一位，千方

百計地去提高理解層次，科學的數學學習方式必然是建立在深化理解基礎上的學習方式，舍此就

背離了真正意義上的數學學習，是斷然不可能學數學的。

第一，理解是學習者自身建構，這種理解是不可能靠別人給予的，而只可能是學習者通過參

與數學活動親身感悟出來的心得體會，美國《新數學叢書》的序言中寫道：“學數學最好的方法

是做數學”，講的就是這個道理，為了講清原理，使感悟能達到操作水平，分四個環(huán)節(jié)：

(1)參與問題

參與數學活動，這是獲得數學理解的前提，參與又可分為主動參與利被動參與兩種形態(tài)，有

些同學課堂上是“以聽為主，力爭跟上老師的思路”，他雖然也有參與，但這種參與所涉及的內

容和力度都是很有限的，另有一些同學，課堂上不滿足于聽懂，而是像數學家那樣，力爭自己解

決問題，這種強烈的自主意識調動了他全部的身心投入到數學創(chuàng)造中去，這種參與內容到力度上

與上一種參與相比有質的區(qū)別，他所獲得的體驗自然要豐富得多，深刻得多

(2)反思問題

荷蘭籍國際數學教育大師弗賴登特爾認為，”反思是數學活動的核心和動力”，“沒有反思,

學生的理解就不可能從一個水平升華到更高的水平”，可見他把反思看得很重，很重！那么，什

么是反思呢？通俗地講就是“回頭看腳印”就是對數學活動的全過程以及新舊知識間的聯系進行

“反復深入的思考”，從中去發(fā)現數學的真締，因此，要想學好數學就一定要學會反思，一定要

養(yǎng)成反思的習慣，這是學好數學的根本。

(3)概括問題

把參與與反思過程中所獲得的感性認識悟化到理性認識的過程，從中發(fā)現規(guī)律，洞察本質，

提高理解數學的水平。

研究表明，這個過程對學習數學、理解數學具有特殊的重要性，而這又恰恰是同學們十分困

難的地方，因此，學會概括就顯得更加必要。

(4)遷移問題

所謂遷移就是學習者把所獲得的體驗、方法、思想、觀念運用到新的情境中去，這本身就是

一種創(chuàng)造。

綜上所述，要想獲得高水平的理解，一定要緊緊地抓好“參與-反思-概括-遷移”這四個步驟,

要主動參與，加強反思，學會概括，力求遷移，這可看作是學習數學的微觀過程，很明顯，在這

個過程中，缺少任何一個環(huán)節(jié)的學習都是不完全的學習，不完全的學習是不可能獲得高水平的理

解的。

總結：要想學好高中數學,主要注意以下8點：

1.先看筆記后做作業(yè).

2.做題之后加強反思.

3.主動復習總結提高.

4.重視改錯錯不重犯.

5.積累資料隨時整理.

6.精挑慎選課外讀物.

7.配合老師主動學習.

8.合理規(guī)劃步步為營.

我們反復強調過：

初中學生學數學,靠的是一個字:練！

高中學生學數學靠的也是一個字:悟！

學好數學的核心就是悟，悟就是理解，為了理解就要看做想…….看筆記，做作業(yè)后的反思,章

節(jié)的總結，改錯誤時的找原因，整理復習資料,在課外讀物中開闊眼界……，這一系列的活動都是

“悟”。要自覺去“悟”，就要提高主動性，做好學習計戈I,合理安排時間，制定好自己的長期

的短期的目標。這一切措施，就是我門上面所說的8條學習方法。

同學們。只要大家與老師積極配合，同時，對上面所說的8個方面堅持不懈地作出努力，你

們的數學成績就能突飛猛進，取得巨大的成功！

十分章節(jié)突破

目錄

1.1數與式的運算

1.1.1絕對值

1.1.2.乘法公式

1.1.3.二次根式

1.1.4.分式

1.2分解因式

2.1一元二次方程

2.1.1根的判別式

2.1.2根與系數的關系（韋達定理）

2.2二次函數

2.2.1二次函數尸af+6x+c的圖像和性質

2.2.2二次函數的三種表示方式

2.2.3二次函數的簡單應用

2.3方程與不等式

2.3.1二元二次方程組解法

2.3.2一元二次不等式解法

3.1相似形

3.1.1.平行線分線段成比例定理

3.1.2相似形

3.2三角形

3.2.1三角形的“四心”

3.2.2幾種特殊的三角形

3.3圓

3.3.1直線與圓，圓與圓的位置關系

3.3.2點的軌跡

1.1數與式的運算

1.1.1.絕對值

絕對值的代數意義：正數的絕對值是它的本身，負數的絕對值是它的相反數，零的絕對值仍

是零.即

a,a>0,

|a|=?0,a=0,

-a,a<0.

絕對值的幾何意義：一個數的絕對值，是數軸上表示它的點到原點的距離.

兩個數的差的絕對值的幾何意義：h-4表示在數軸上，數。和數b之間的距離.

例1解方追2x-4|-6=0

例2化簡k-l|+|x-3|

例3化簡下列函數，并畫出它們的圖象

⑴y=\x\

(2)y=|^2~1|

練習

1.填空：

(1)若忖=5,則產；若忖=卜4|,則產.

(2)如果向+網=5,且a=—1,貝|J6=；若|1—c|=2,貝ijc=.

2.選擇題：

下列敘述正確的是()

(A)若同=例，則a=b(B)若同〉網，則

(C)若a<b,則同<網(D)若=則a=±b

3.化簡:|x—5|—\2x—131(x>5).

1.1.2.乘法公式

我們在初中已經學習過了卜列一些乘法公式:

(1)平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2；

(2)完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2.

我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式:

(1)立方和公式(Q+Z?)(Q2-〃0+/)=/+/；

(2)立方差公式(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3；

三數和平方公式(a+b+c)2-a2+b2+c2+2{ab+bc+ac)；

(4)兩數和立方公式(a+b)3^a3+3a2b+3ab2+b\

(5)兩數差立方公式(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3.

對上面列出的五個公式,有興趣的同學可以自己去證明.

例1計算：(X+l)(x-l)(x2-X4-l)(x2+X+1).

解法一：原式=(/-1)[,+1)2一/]

(%2—l)(x4+%2+1)

=x6-1.

解法二：原式=(X+1)(/-X+l)(x-l)(x2+X+1)

=(x3+l)(x3-l)

=x6-1.

例2已知Q+/?+C=4,ab+be+ac=4,求。2+62+/的值.

解：Q~+h~+c~=(Q+/?+c)~—2(ab+be+ac)—8.

練習

1.填空：

(1)-a2-—b2=(—/?+—?)()；

9423

(2)(4m+)2=16m2+4m+()；

(3)(a+2b-c)2=a2+4b2+c2+().

2.選擇題:

,1

（1）若無2+—mx+Z是一個完全平方式，則人等于（）

2

1,

(A)m2(B)-m2(C)-m1(D)—m2

4316

（2）不論。，匕為何實數,一4匕+8的值)

(A)總是正數（B）總是負數

(C)可以是零（D）可以是正數也可以是負數

1.1.3.二次根式

一般地，形如20）的代數式叫做二次根式.根號下含有字母、且不能夠開得盡方的式

子稱為無理式.例如3a+da?+b+2b,G等是無理式,ffiV2x2+—x+1,

2

x2+4^xy+y2,4a^等是有理式.

1.分母（子）有理化

把分母（子）中的根號化去，叫做分母（子）有理化.為了進行分母（子）有理化，需要引

入有理化因式的概念.兩個含有二次根式的代數式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就

說這兩個代數式互為有理化因式，例如后與8,36與&,6+迎與6-娓,

2G-3正與2G+3近，等等.一般地，ay/x與五，aG+b?與aG-t>6，a6yb

與“4-b互為有理化因式.

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號的過程；而分

子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號的過程

在二次根式的化簡與運算過程中，二次根式的乘法可參照多項式乘法進行，運算中要運用公

式五〃=而（420/20）；而對于二次根式的除法，通常先寫成分式的形式，然后通過分母

有理化進行運算；二次根式的加減法與多項式的加減法類似，應在化簡的基礎上去括號與合并同

類二次根式.

2.二次根式的意義

必=同=卜”2°'

[-a,a<0.

例1將下列式子化為最簡二次根式：

(1)Jl2b；(2)y]a2b(a>0)；(3)J41y(x〈0).

解：⑴4l2b=2y/3b；

(2)yja2b=|tz|>/F=a\[b(a>0)；

(3)y[4x^~y=2|%3|>/7=-2x3y/y(x<0),

例2計算：V3-(3-V