獻(xiàn)給可愛(ài)的學(xué)生-暑假學(xué)習(xí)資料(數(shù)學(xué))

獻(xiàn)給可愛(ài)的學(xué)生

暑假學(xué)習(xí)資料

一、高中數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)特點(diǎn)的變化

1數(shù)學(xué)語(yǔ)言在抽象程度上突變。不少學(xué)生反映，集合、映射等概念難以理解，覺(jué)得離生活很

遠(yuǎn)，似乎很“玄”。確實(shí)，初、高中的數(shù)學(xué)語(yǔ)言有著顯著的區(qū)別。初中的數(shù)學(xué)主要是以形象、通

俗的語(yǔ)言方式進(jìn)行表達(dá)。而高-數(shù)學(xué)一下子就觸及抽象的集合語(yǔ)言、邏輯運(yùn)算語(yǔ)言以及以后要學(xué)

習(xí)到的函數(shù)語(yǔ)言、空間立體幾何等。

2思維方法向理性層次躍遷。高中數(shù)學(xué)思維方法與初中階段大不相同。初中階段，很多老師

為學(xué)生將各種題建立了統(tǒng)一的思維模式，如解分式方程分幾步；因式分解先看什么，再看什么。

即使是思維非常靈活的平面幾何問(wèn)題，也對(duì)線段相等、角相等,分別確定了各自的思維套路。因此,

初中學(xué)習(xí)中習(xí)慣于這種機(jī)械的、便于操作的定勢(shì)方式。高中數(shù)學(xué)在思維形式上產(chǎn)生了很大的變化,

數(shù)學(xué)語(yǔ)言的抽象化對(duì)思維能力提出了高要求。當(dāng)然，能力的發(fā)展是漸進(jìn)的，不是一朝一夕的。這

種能力要求的突變使很多高一新生感到不適應(yīng)，故而導(dǎo)致成績(jī)下降。高一新生一定要能從經(jīng)驗(yàn)型

抽象思維向理論型抽象思維過(guò)渡，最后還需初步形成辯證型思維。

3知識(shí)內(nèi)容的整體數(shù)量劇增。高中數(shù)學(xué)在知識(shí)內(nèi)容的“量”上急劇增加了。例如：高一《代

數(shù)》第一章就有基本概念52個(gè)，數(shù)學(xué)符號(hào)28個(gè)；《立體幾何》第章有基本概念37個(gè)，基本公理、

定理和推論21個(gè)；兩者合在一起僅基本概念就達(dá)89個(gè)之多，并集中在高一第一學(xué)期學(xué)習(xí)，形成了

概念密集的學(xué)習(xí)階段。加之高中一年級(jí)第一學(xué)期只有七十多課時(shí)，輔助練習(xí)、消化的課時(shí)相應(yīng)地

減少了。使得數(shù)學(xué)課時(shí)吃緊，因而教學(xué)進(jìn)度一般較快，從而增加了教與學(xué)的難度。這樣，不可避

免地造成學(xué)生不適應(yīng)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，而影響成績(jī)的提高。這就要求：第一，要做好課后的復(fù)習(xí)工

作，記牢大量的知識(shí)。第二，要理解掌握好新舊知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，使新知識(shí)順利地同化于原有知

識(shí)結(jié)構(gòu)之中。第三，因知識(shí)教學(xué)多以零星積累的方式進(jìn)行的，當(dāng)知識(shí)信息量過(guò)大時(shí)，其記憶效果

不會(huì)很好，因此要學(xué)會(huì)對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行梳理，形成板塊結(jié)構(gòu)，實(shí)行“整體集裝”。如表格化，使

知識(shí)結(jié)構(gòu)一目了然；類化，由一例到一類，由一類到多類，由多類到統(tǒng)一；使兒類問(wèn)題同構(gòu)于同

一知識(shí)方法。第四，要多做總結(jié)、歸類，建立主體的知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)。

二、現(xiàn)有初高中數(shù)學(xué)知識(shí)存在以下“脫節(jié)”

1.立方和與差的公式初中已刪去不講，而高中的運(yùn)算還在用。

2.因式分解初中?般只限于二次項(xiàng)且系數(shù)為“1”的分解，對(duì)系數(shù)不為“1”的涉及不多，而

且對(duì)三次或高次多項(xiàng)式因式分解幾乎不作要求，但高中教材許多化簡(jiǎn)求值都要用到，如解方程、不

等式等。

3.二次根式中對(duì)分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函數(shù)、不等式

常用的解題技巧。

4.初中教材對(duì)二次函數(shù)要求較低，學(xué)生處于了解水平，但二次函數(shù)卻是高中貫穿始終的重要

內(nèi)容。配方、作簡(jiǎn)圖、求值域、解二次不等式、判斷單調(diào)區(qū)間、求最大、最小值，研究閉區(qū)間上

函數(shù)最值等等是高中數(shù)學(xué)必須掌握的基本題型與常用方法。

5.二次函數(shù)、二次不等式與二次方程的聯(lián)系，根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理)在初中不作要求,

此類題目?jī)H限于簡(jiǎn)單常規(guī)運(yùn)算和難度不大的應(yīng)用題型，而在高中二次函數(shù)、二次不等式與二次方

程相互轉(zhuǎn)化被視為重要內(nèi)容，高中教材卻未安排專門(mén)的講授。

6.圖像的對(duì)稱、平移變換，初中只作簡(jiǎn)單介紹，而在高中講授函數(shù)后，對(duì)其圖像的上、下;

左、右平移，兩個(gè)函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)，軸、直線的對(duì)稱問(wèn)題必須掌握.

7.含有參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究，而高中這部分內(nèi)容視為

重難點(diǎn)。方程、不等式、函數(shù)的綜合考查常成為高考綜合題。

8.幾何部分很多概念(如重心、垂心等)和定理(如平行線分線段比例定理，射影定理，相

交弦定理等)初中生大都沒(méi)有學(xué)習(xí)，而高中都要涉及。

另外，像配方法、換元法、待定系數(shù)法初中教學(xué)大大弱化，不利于高中知識(shí)的講授。

三、初中數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)銜接緊密的知識(shí)點(diǎn)

1絕對(duì)值：

⑴在數(shù)軸上，一個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做該數(shù)的絕對(duì)值。

a(a>0)

⑵正數(shù)的絕對(duì)值是他本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是他的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0,即時(shí)=<0(a=0)

-a{a<0)

⑶兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而小

⑷兩個(gè)絕對(duì)值不等式:|x|<a(a>0)<=>-a<x<(2；|x|>a(a>0)=%〈一4或％〉〃

2乘法公式：

⑴平方差公式：/一/=(〃+。)(。一力)

⑵立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b?)

⑶立方和公式：a3={a+b\a2-ab+b2)

⑷完全平方公式：(a±A):=a2±2ab+b2,

(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+lac+2bc

(5)完全立方公式:(a+by=+3a2b+3ab2+b3

3分解因式：

⑴把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變化叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。

⑵方法：①提公因式法，②運(yùn)用公式法，③分組分解法，④十字相乘法。

4一元一次方程：

⑴在一個(gè)方程中，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)是1,這樣的方程叫一元一次方程。

⑵解一元一次方程的步驟：去分母，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，未知數(shù)系數(shù)化為1。

⑶關(guān)于方程ax=b解的討論

①當(dāng)a*0時(shí)，方程有唯一解x=2；

a

②當(dāng)a=0,6工0時(shí)，方程無(wú)解

③當(dāng)a=0,6=0時(shí)，方程有無(wú)數(shù)解；此時(shí)任一實(shí)數(shù)都是方程的解。

5二元一次方程組：

(1)兩個(gè)二元一次方程組成的方程組叫做二元一次方程組。

(2)適合一個(gè)二元一次方程的一組未知數(shù)的值，叫做這個(gè)二元一次方程的一個(gè)解。

(3)二元一次方程組中各個(gè)方程的公共解，叫做這個(gè)二元一次方程組的解。

(4)解二元一次方程組的方法：①代入消元法，②加減消元法。

6不等式與不等式組

(1)不等式：

①用符不等號(hào)(＞、#、＜)連接的式子叫不等式。

②不等式的兩邊都加上或減去同一個(gè)整式，不等號(hào)的方向不變。

③不等式的兩邊都乘以或者除以一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變。

④不等式的兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向相反。

(2)不等式的解集：

①能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。

②一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個(gè)不等式的解集。

③求不等式解集的過(guò)程叫做解不等式。

(3)一元一次不等式：

左右兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的不等式叫一元一次不等

式。

(4)一元一次不等式組：

①關(guān)于同一個(gè)未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式合在一起，就組成了一元一次不等式組。

②一元一次不等式組中各個(gè)不等式的解集的公共部分，叫做這個(gè)一元一次不等式組的解集。

③求不等式組解集的過(guò)程，叫做解不等式組。

7一元二次方程：ax2+bx+c=0(a0)

①方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根=△=〃—4acN0

A>0

②方程有兩根同號(hào)=

中，=—>0

"a

A>0

③方程有兩根異號(hào)=\c

xx=—<0

[[2a

bc

④韋達(dá)定理及應(yīng)用：玉+乙二——,王々=一

aa

2

x；+x；=（再+x2）-2X1X2,|x]-x2|=+丁）2-4中2=?

5=2

xj+%2=（X1+x2）（x：-XtX2+%2）（玉+x2）[（玉+x2）-3X|X2]

8函數(shù)

(1)變量：因變量，自變量。

在用圖象表示變量之間的關(guān)系時(shí)，通常用水平方向的數(shù)軸上的點(diǎn)自變量，用豎直方向的數(shù)軸上

的點(diǎn)表示因變量。

(2)一次函數(shù)：①若兩個(gè)變量y,x間的關(guān)系式可以表示成了=丘+匕(6為常數(shù)，k不等于0)

的形式，則稱y是尤的一次函數(shù)。②當(dāng)b=0時(shí)，稱y是龍的正比例函數(shù)。

(3)一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)

①把一個(gè)函數(shù)的自變量x與對(duì)應(yīng)的因變量y的值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系

內(nèi)描出它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，所有這些點(diǎn)組成的圖形叫做該函數(shù)的圖象。

②正比例函數(shù)y=kx的圖象是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一條直線。

③在一次函數(shù)中，當(dāng)k<0,b<0,則經(jīng)2、3、4象限；當(dāng)k<0,b>0lit,則經(jīng)1、2、4象

限；當(dāng)&>0,6<0時(shí)，則經(jīng)1、3、4象限；當(dāng)女〉0,b>0時(shí)，則經(jīng)1、2、3象限。

④當(dāng)々>0時(shí)，y的值隨x值的增大而增大，當(dāng)女<0時(shí)，y的值隨尤值的增大而減少。

（4）二次函數(shù):

①一般式：y=ax2+bx+c-a(x+—)2——(a0),對(duì)稱軸是工=--—,

2a4a2a

頂點(diǎn)是

②頂點(diǎn)式：y-a（x+m）2+k（a0）,對(duì)稱軸是x=-"?,頂點(diǎn)是（一根，女）；

③交點(diǎn)式：y=a（x-xj（x-x2）（aH。），其中（…,0）,（x2,0）是拋物線與x軸的交點(diǎn)

（5）二次函數(shù)的性質(zhì)

b

①函數(shù)y=+"+儀。豐0）的圖象關(guān)于直線x=—上對(duì)稱。

2a

②a>0時(shí)，在對(duì)稱軸（x=—2）左側(cè)，y值隨x值的增大而減少；在對(duì)稱軸（x=—2）

2a2a

右側(cè)；y的值隨x值的增大而增大。當(dāng)工=-點(diǎn)?時(shí)，y取得最小值;〃

hh

③a<0時(shí)，在對(duì)稱軸（x=-一）左側(cè)，y值隨x值的增大而增大；在對(duì)稱軸（x=-一）

2a2a

右側(cè)；y的值隨x值的增大而減少。當(dāng)x=-3b時(shí)，y取得最大值4izc—b~

2a4a

9圖形的對(duì)稱

（1）軸對(duì)稱圖形：①如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)

圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸。②軸對(duì)稱圖形上關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩點(diǎn)確定的線段

被對(duì)稱軸垂直平分。

（2）中心對(duì)稱圖形：①在平面內(nèi)，一個(gè)圖形繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形互相重合,

那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做他的對(duì)稱中心。②中心對(duì)稱圖形上的每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)

所連成的線段都被對(duì)稱中心平分。

10平面直角坐標(biāo)系

（1）在平面內(nèi)，兩條互相垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸組成平面直角坐標(biāo)系。水平的數(shù)軸叫做x軸或

橫軸，鉛直的數(shù)軸叫做y軸或縱軸，x軸與y軸統(tǒng)稱坐標(biāo)軸，他們的公共原點(diǎn)。稱為直角坐標(biāo)系

的原點(diǎn)。

（2）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的對(duì)稱點(diǎn)：設(shè)（尤2,%）是直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩點(diǎn)，

①若M和關(guān)于），軸對(duì)稱，則有一一/。

I兄=為

②若“和關(guān)于x軸對(duì)稱，則有|。

出=f

③若M和關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則有J/——%。

71~2

④若加和M'關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則有廣一乃。

=%2

⑤若〃和〃'關(guān)于直線x=a對(duì)稱，則有（玉=2"一％或（X2=2a-。

I%=%I弘=%

11統(tǒng)計(jì)與概率：

（1）科學(xué)記數(shù)法：一個(gè)大于10的數(shù)可以表示成Ax10"的形式，其中4大于等于1小于10,N

是正整數(shù)。

（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖：①用圓表示總體，圓中的各個(gè)扇形分別代表總體中的不同部分，扇形的大小

反映部分占總體的百分比的大小，這樣的統(tǒng)計(jì)圖叫做扇形統(tǒng)計(jì)圖。②扇形統(tǒng)計(jì)圖中，每部分占總

體的百分比等于該部分所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)與360度的比。

（3）各類統(tǒng)計(jì)圖的優(yōu)劣：①條形統(tǒng)計(jì)圖：能清楚表示出每個(gè)項(xiàng)目的具體數(shù)目；②折線統(tǒng)計(jì)圖：

能清楚反映事物的變化情況；③扇形統(tǒng)計(jì)圖：能清楚地表示出各部分在總體中所占的百分比。

（5）平均數(shù)：對(duì)于N個(gè)數(shù)…，X”我們把'■（玉+々+…+4）叫做這個(gè)N個(gè)數(shù)的算術(shù)

平均數(shù)，記為X。

(6)加權(quán)平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)里各個(gè)數(shù)據(jù)的重要程度未必相同，因而，在計(jì)算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)

時(shí)往往給每個(gè)數(shù)據(jù)加一個(gè)權(quán)，這就是加權(quán)平均數(shù)。

(7)中位數(shù)與眾數(shù)：①"個(gè)數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)

據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。②一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最大的那個(gè)數(shù)據(jù)叫做這個(gè)組數(shù)據(jù)的

眾數(shù)。③優(yōu)劣比較：平均數(shù)：所有數(shù)據(jù)參加運(yùn)算，能充分利用數(shù)據(jù)所提供的信息，因此在現(xiàn)實(shí)生

活中常用，但容易受極端值影響；中位數(shù)：計(jì)算簡(jiǎn)單，受極端值影響少，但不能充分利用所有數(shù)

據(jù)的信息；眾數(shù)：各個(gè)數(shù)據(jù)如果重復(fù)次數(shù)大致相等時(shí)，眾數(shù)往往沒(méi)有特別的意義。

(8)調(diào)查：①為了?定的目的而對(duì)考察對(duì)象進(jìn)行的全面調(diào)查，稱為普查，其中所要考察對(duì)象的

全體稱為總體，而組成總體的每一個(gè)考察對(duì)象稱為個(gè)體。②從總體中抽取部分個(gè)體進(jìn)行調(diào)查，這

種調(diào)查稱為抽樣調(diào)查，其中從總體中抽取的一部分個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本。③抽樣調(diào)查只考察

總體中的一小部分個(gè)體，因此他的優(yōu)點(diǎn)是調(diào)查范圍小，節(jié)省時(shí)間，人力，物力和財(cái)力，但其調(diào)查

結(jié)果往往不如普查得到的結(jié)果準(zhǔn)確。為了獲得較為準(zhǔn)確的調(diào)查結(jié)果，抽樣時(shí)要主要樣本的代表性

和廣泛性。

(9)頻數(shù)與頻率：①每個(gè)對(duì)象出現(xiàn)的次數(shù)為頻數(shù)，而每個(gè)對(duì)象出現(xiàn)的次數(shù)與總次數(shù)的比值為頻

率。②當(dāng)收集的數(shù)據(jù)連續(xù)取值時(shí)，我們通常先將數(shù)據(jù)適當(dāng)分組，然后再繪制頻數(shù)分布直方圖。

(10)數(shù)據(jù)的波動(dòng)：①極差是指一組數(shù)據(jù)中最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差。②方差是各個(gè)數(shù)據(jù)與平均

數(shù)之差的平方和的平均數(shù)。③標(biāo)準(zhǔn)差就是方差的算術(shù)平方根。④一般來(lái)說(shuō)，一組數(shù)據(jù)的極差，方

差，或標(biāo)準(zhǔn)差越小，這組數(shù)據(jù)就越穩(wěn)定。

(11)事件的可能性：①有些事情我們能確定他一定會(huì)發(fā)生，這些事情稱為必然事件；有些事情

我們能肯定他一定不會(huì)發(fā)生，這些事情稱為不可能事件；必然事件和不可能事件都是確定的。②

有很多事情我們無(wú)法肯定他會(huì)不會(huì)發(fā)生，這些事情稱為不確定事件。③一般來(lái)說(shuō)，不確定事件發(fā)

生的可能性是有大小的。

(12)概率：①人們通常用1(或100%)來(lái)表示必然事件發(fā)生的可能性，用0來(lái)表示不可能事件

發(fā)生的可能性。②游戲?qū)﹄p方公平是指雙方獲勝的可能性相同。③必然事件發(fā)生的概率為1,記

作尸(必然事件)=1；不可能事件發(fā)生的概率為0,記作P(不可能事件)=0；如果A為不

確定事件，那么0<P(A)<l

四、科學(xué)地進(jìn)行學(xué)習(xí)

高中學(xué)生僅僅想學(xué)是不夠的，還必須“會(huì)學(xué)”，要講究科學(xué)的學(xué)習(xí)方法，提高學(xué)習(xí)效率，才

能變被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí)，才能提高學(xué)習(xí)成績(jī)。

1培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。反復(fù)使用的方法將變成人們的習(xí)慣。什么是良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣？良好

的學(xué)習(xí)習(xí)慣包括制定計(jì)劃、課前自學(xué)、專心上課、及時(shí)復(fù)習(xí)、獨(dú)立作業(yè)、解決疑難、系統(tǒng)小結(jié)和

課外學(xué)習(xí)幾個(gè)方面。

(1)制定計(jì)劃使學(xué)習(xí)目的明確，時(shí)間安排合理，不慌不忙，穩(wěn)扎穩(wěn)打，它是推動(dòng)主動(dòng)學(xué)習(xí)和

克服困難的內(nèi)在動(dòng)力。但計(jì)劃?定要切實(shí)可行，既有長(zhǎng)遠(yuǎn)打算，又有短期安排，執(zhí)行過(guò)程中嚴(yán)格

要求自己，磨煉學(xué)習(xí)意志。

(2)課前自學(xué)是上好新課、取得較好學(xué)習(xí)效果的基礎(chǔ)。課前自學(xué)不僅能培養(yǎng)自學(xué)能力，而且

能提高學(xué)習(xí)新課的興趣，掌握學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)。自學(xué)不能走過(guò)場(chǎng)，要講究質(zhì)量，力爭(zhēng)在課前把教材

弄懂，上課著重聽(tīng)老師講思路，把握重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，盡可能把問(wèn)題解決在課堂上。

(3)上課是理解和掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法的關(guān)鍵環(huán)節(jié)?！皩W(xué)然后知不足”，課

前自學(xué)過(guò)的同學(xué)上課更能專心聽(tīng)課，他們知道什么地方該詳，什么地方可以一帶而過(guò)，該記的地

方才記下來(lái)，而不是全抄全錄，顧此失彼。

(4)及時(shí)復(fù)習(xí)是高效率學(xué)習(xí)的重要一環(huán)。通過(guò)反復(fù)閱讀教材，多方面查閱有關(guān)資料，強(qiáng)化對(duì)

基本概念知識(shí)體系的理解與記憶，將所學(xué)的新知識(shí)與有關(guān)I日知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，進(jìn)行分析比效，一邊

復(fù)習(xí)一邊將復(fù)習(xí)成果整理在筆記本上，使對(duì)所學(xué)的新知識(shí)由“懂”到“會(huì)”。

(5)獨(dú)立作業(yè)是通過(guò)自己的獨(dú)立思考，靈活地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，進(jìn)一步加深對(duì)所學(xué)新知

識(shí)的理解和對(duì)新技能的掌握過(guò)程。這一過(guò)程也是對(duì)意志毅力的考驗(yàn)，通過(guò)運(yùn)用使對(duì)所學(xué)知識(shí)由

“會(huì)”到“熟”。

(6)解決疑難是指對(duì)獨(dú)立完成作業(yè)過(guò)程中暴露出來(lái)對(duì)知識(shí)理解的錯(cuò)誤，或由于思維受阻遺漏

解答，通過(guò)點(diǎn)撥使思路暢通，補(bǔ)遺解答的過(guò)程。解決疑難一定要有鍥而不舍的精神。做錯(cuò)的作業(yè)

再做?遍。對(duì)錯(cuò)誤的地方要反復(fù)思考。實(shí)在解決不了的要請(qǐng)教老師和同學(xué)，并要經(jīng)常把易錯(cuò)的知

識(shí)拿來(lái)復(fù)習(xí)強(qiáng)化，作適當(dāng)?shù)闹貜?fù)性練習(xí)，把求老師問(wèn)同學(xué)獲得的東西消化變成自己的知識(shí)，使所

學(xué)到的知識(shí)由“熟”到“活”.

(7)系統(tǒng)小結(jié)是通過(guò)積極思考，達(dá)到全面系統(tǒng)深刻地掌握知識(shí)和發(fā)展認(rèn)識(shí)能力的重要環(huán)節(jié)。

小結(jié)要在系統(tǒng)復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上以教材為依據(jù)，參照筆記與資料，通過(guò)分析、綜合、類比、概括，揭

示知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，以達(dá)到對(duì)所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通的目的。經(jīng)常進(jìn)行多層次小結(jié)，能對(duì)所學(xué)知識(shí)

由“活”到“悟”。

(8)課外學(xué)習(xí)包括閱讀課外書(shū)籍與報(bào)刊，參加學(xué)科競(jìng)賽與講座，走訪高年級(jí)同學(xué)或老師交流

學(xué)習(xí)心得等。課外學(xué)習(xí)是課內(nèi)學(xué)習(xí)的補(bǔ)充和繼續(xù)，它不僅能豐富同學(xué)們的文化科學(xué)知識(shí)，加深和

鞏固課內(nèi)所學(xué)的知識(shí)，而且能夠滿足和發(fā)展興趣愛(ài)好，培養(yǎng)獨(dú)立學(xué)習(xí)和工作的能力，激發(fā)求知欲

與學(xué)習(xí)熱情。

2循序漸進(jìn)，防止急躁。由于同學(xué)們年齡較小，閱歷有限，為數(shù)不少的同學(xué)容易急躁。有的

同學(xué)貪多求快，囹冏吞棗；有的同學(xué)想靠幾天“沖刺”一蹴而就；有的取得一點(diǎn)成績(jī)便洋洋自得,

遇到挫折又一蹶不振。同學(xué)們要知道，學(xué)習(xí)是一個(gè)長(zhǎng)期地鞏固舊知、發(fā)現(xiàn)新知的積累過(guò)程，決非

一朝一夕可以完成的。為什么高中要學(xué)三年而不是三天！許多優(yōu)秀的同學(xué)能取得好成績(jī)，其中一

個(gè)重要原因是他們的基本功扎實(shí)，他們的閱讀、書(shū)寫(xiě)、運(yùn)算技能達(dá)到了自動(dòng)化或半自動(dòng)化的熟練

程度。

3注意研究學(xué)科特點(diǎn)，尋找最佳學(xué)習(xí)方法。數(shù)學(xué)學(xué)科擔(dān)負(fù)著培養(yǎng)運(yùn)算能力、邏輯思維能力、

空間想象能力以及運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力的重任。它的特點(diǎn)是具有高度的抽象

性、邏輯性和廣泛的適用性，對(duì)能力要求較高。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)一定要講究“活”，只看書(shū)不做題不行,

只埋頭做題不總結(jié)積累也不行?對(duì)課本知識(shí)既要能鉆進(jìn)去，又要能跳出來(lái)，結(jié)合自身特點(diǎn)，尋找

最佳學(xué)習(xí)方法。華羅庚先生倡導(dǎo)的“由薄到厚”和“由厚到薄”的學(xué)習(xí)過(guò)程就是這個(gè)道理。方法

因人而異，但學(xué)習(xí)的四個(gè)環(huán)節(jié)（預(yù)習(xí)、上課、作業(yè)、復(fù)習(xí)）和一個(gè)步驟（歸納總結(jié)）是少不了的。

五、新生預(yù)習(xí)高中數(shù)學(xué)三大策略

由于高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的加深，思維要求的提高，課堂容量的增加，老師講解課時(shí)的減少，學(xué)生課

后自由安排時(shí)間的增加，許多同學(xué)不能適應(yīng)這種變化，致使成績(jī)下降，甚至影響部分同學(xué)的信心。

在這里，我給出三大策略，指導(dǎo)高一新生如何預(yù)習(xí)數(shù)學(xué)，供大家參考。

策略一、明確預(yù)習(xí)的動(dòng)力源泉

預(yù)習(xí)意義基本有三點(diǎn)：1.學(xué)會(huì)自主學(xué)習(xí)，培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣；2.有助了解下一節(jié)要學(xué)習(xí)的

知識(shí)點(diǎn)，為上課掃除部分知識(shí)障礙，建立新舊知識(shí)間聯(lián)系，有利于知識(shí)系統(tǒng)化：3.有助于提高聽(tīng)

課效果。預(yù)習(xí)中不懂的問(wèn)題，上課老師講解這部分知識(shí)時(shí)，目標(biāo)明確，態(tài)度積極，注意集中，容

易將不懂問(wèn)題搞懂。

策略二、預(yù)習(xí)的基本步驟：“讀、戈U、寫(xiě)、查”

1.“讀”——先粗讀一遍，以領(lǐng)會(huì)教材的大意

根據(jù)學(xué)科特點(diǎn)，然后細(xì)讀。數(shù)學(xué)課本可分為概念，規(guī)律（包括法則、定理、推論、性質(zhì)、公

式等）、圖形、例題、習(xí)題等逐條閱讀。例如，看例題時(shí)要求學(xué)生做到①分清解題步驟，指出關(guān)鍵

所在；②弄清各步的依據(jù)，養(yǎng)成每步必問(wèn)為什么，步步有依據(jù)的習(xí)慣；③比較同一節(jié)例題的特點(diǎn),

盡量去體會(huì)選例意圖；④分析例題的解題規(guī)范格式，并按例題格式做練習(xí)題。

2.“劃”——即劃層次、劃重點(diǎn)

將一節(jié)內(nèi)容劃分成幾個(gè)層次，分別標(biāo)出序號(hào)。對(duì)每層中重點(diǎn)用“★”，對(duì)重點(diǎn)字、詞下面加

，對(duì)疑難問(wèn)題旁邊加“？”，對(duì)各層次間關(guān)系用“="表示等等，劃時(shí)要有重點(diǎn)，切勿面

面俱到，符號(hào)太多。

3.“寫(xiě)”——即將自己的看法、體會(huì)寫(xiě)在書(shū)眉或書(shū)邊

（1）寫(xiě)段意：每一段在書(shū)邊上寫(xiě)出段意；（2）寫(xiě)小結(jié)：一要概括本書(shū)內(nèi)容，二要反映本節(jié)各

內(nèi)容之間的并列與從屬關(guān)系；（3）例題：在書(shū)邊說(shuō)明各主要步驟的依據(jù)，在題后空白處用符號(hào)或

幾個(gè)字，寫(xiě)出本例特點(diǎn)，體現(xiàn)編者選例意圖；（4）變式：對(duì)優(yōu)秀生要求對(duì)例題條件、結(jié)論變化，

山特殊向一般轉(zhuǎn)傾，將有關(guān)知識(shí)進(jìn)行橫向聯(lián)系，縱向發(fā)展。

4.“查”——即自我檢查預(yù)習(xí)的效果

①合上書(shū)本思考下節(jié)課老師要講的內(nèi)容大意，哪些內(nèi)容已看懂，哪些內(nèi)容模糊，哪些內(nèi)容不

懂，需要在什么地方再提高；②對(duì)照自學(xué)輔導(dǎo)或老師課前擬訂的自學(xué)提綱，揭露知識(shí)的內(nèi)涵，挖

掘知識(shí)的本質(zhì)，溝通知識(shí)的聯(lián)系。簡(jiǎn)要地用語(yǔ)言能加以表達(dá)；③根據(jù)課本的練習(xí)，做兒道具有代

表性的習(xí)題，檢查預(yù)習(xí)的效果。

策略三、預(yù)習(xí)的關(guān)鍵是處理幾個(gè)關(guān)系

1.數(shù)學(xué)學(xué)科與其它學(xué)科的關(guān)系：預(yù)習(xí)時(shí)要花費(fèi)較多的時(shí)間，高中階段有八九門(mén)課，門(mén)門(mén)都預(yù)

習(xí)不可能，可選擇一2門(mén)薄弱學(xué)科進(jìn)行試點(diǎn)，有?定經(jīng)驗(yàn)后再全面展開(kāi)。

2.預(yù)習(xí)與聽(tīng)課的關(guān)系：預(yù)習(xí)是聽(tīng)課高效的準(zhǔn)備，聽(tīng)課能解決預(yù)習(xí)中不懂的問(wèn)題，可以鞏固需

學(xué)知識(shí)，千萬(wàn)不可認(rèn)為預(yù)習(xí)已懂，上課不認(rèn)真聽(tīng)講做其他事，浪費(fèi)課堂寶貴時(shí)間，影響學(xué)習(xí)效果,

總之要使預(yù)習(xí)在聽(tīng)課中發(fā)揮最大效益，否則失去預(yù)習(xí)的作用。

六、高一學(xué)生消除數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)障礙的四大對(duì)策

對(duì)策一、搞好初高中教學(xué)銜接

教師在教學(xué)初始應(yīng)控制進(jìn)度，不能求快而增大學(xué)習(xí)難度，要注意數(shù)學(xué)知識(shí)相經(jīng)聯(lián)系的，高中

數(shù)學(xué)知識(shí)要涉及初中的內(nèi)容，很多地方是初中知識(shí)的延拓和提高，但不是簡(jiǎn)單的重復(fù).因此在教

學(xué)中正確處理好二者的銜接，深入研究?jī)烧弑舜藵撛诘穆?lián)系和區(qū)別；做好新I日知識(shí)的串聯(lián)和溝通,

為此，在高一教學(xué)中必須采用“低起點(diǎn)，小步于”的指導(dǎo)思想，幫助學(xué)生溫習(xí)舊知識(shí)，恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)

行鋪墊，以減緩坡度，分解教學(xué)過(guò)程，分散教學(xué)難點(diǎn)，讓學(xué)生在己有的水平上，通過(guò)努力能夠理

解和掌握知識(shí)，并引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)加以區(qū)別和聯(lián)系，得涉及到新的概念。

定理等都要結(jié)合初中己學(xué)過(guò)的知識(shí)，以激發(fā)學(xué)生的興趣和求知欲。為了使高一學(xué)生很快從初

中的方法中走出來(lái)，作為聯(lián)結(jié)，“直觀化”是高一數(shù)學(xué)起始教學(xué)必須遵循的原則，通過(guò)實(shí)物直觀、

模型直觀和語(yǔ)言直觀等直觀化的方法，使學(xué)生對(duì)抽象的概念形成鮮明的表象，減少學(xué)生理解過(guò)程

中的障礙。對(duì)于知識(shí)含量較大，學(xué)生記憶效果不佳的部分內(nèi)容，教師必要進(jìn)行梳理，作表格化、

類化、鏈?zhǔn)竭f進(jìn)的處理等，使內(nèi)容易懂易記。這樣，不僅可以激發(fā)學(xué)生的求知欲，而且可以培養(yǎng)

他們的創(chuàng)造能力。

教師在處理教學(xué)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生思維時(shí)，可以將思維的目標(biāo)問(wèn)題分解為若干個(gè)循序漸進(jìn)的環(huán)

節(jié)，讓學(xué)生的思維水平從形象思維沿著小坡度的臺(tái)階向抽象思維步步升華，在處理問(wèn)題時(shí)，一個(gè)

問(wèn)題各環(huán)節(jié)之間、問(wèn)題與問(wèn)題之間要注意避免脫節(jié)、跳躍，注意鋪平道路，減少學(xué)生思維發(fā)展障

礙。這樣學(xué)生從己有的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，用特殊對(duì)象描述一般對(duì)象就可以在己有的思維水平基礎(chǔ)上有所

進(jìn)步和發(fā)展。

總之，教師在教學(xué)時(shí)做到抽象概念形象化，抽象結(jié)論具體化，抽象方法通俗化，給學(xué)生有一

段適應(yīng)的過(guò)渡緩沖期，學(xué)生就可以很快形成良好的抽象思維能力，消除學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的障礙。

對(duì)策二、加強(qiáng)學(xué)法指導(dǎo)，培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣

良好學(xué)習(xí)習(xí)慣是學(xué)好高中數(shù)學(xué)的重要因素，它包括制定計(jì)劃、課前復(fù)習(xí)、專心上課、及時(shí)復(fù)

習(xí)、獨(dú)立作業(yè)、解決疑難、系統(tǒng)小結(jié)和課外學(xué)習(xí)這幾個(gè)方面，改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方法，可以這樣進(jìn)

行：引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成認(rèn)真制定計(jì)劃的習(xí)慣，合理安排時(shí)間，從盲目的學(xué)習(xí)中解放出來(lái)，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)

成課前預(yù)習(xí)的習(xí)慣，可布置一些思考題和預(yù)習(xí)作業(yè)，保證聽(tīng)課時(shí)有針對(duì)性，還要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)聽(tīng)

課，要“心到”即注意力高度集中，對(duì)知識(shí)能觸類旁通，多方聯(lián)想，當(dāng)學(xué)生聽(tīng)到“增函數(shù)”，就

應(yīng)該聯(lián)想起增函數(shù)性質(zhì)圖像，函數(shù)在單調(diào)區(qū)間內(nèi)，函數(shù)值隨著自變量的增大而增大，圖象在單調(diào)

區(qū)間從左到右單調(diào)上升趨勢(shì)。“眼到”即仔細(xì)看清老師每一步板演、“手到”即適當(dāng)做好筆記、

“口到”即隨時(shí)回答老師的提問(wèn)，以提高聽(tīng)課效率，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成及忖復(fù)習(xí)的習(xí)慣，下課后要反

復(fù)閱讀書(shū)本，回顧每堂課上老師所講內(nèi)容，查閱有關(guān)資料，或向教師同學(xué)請(qǐng)教，以強(qiáng)化對(duì)基本概

念、知識(shí)體系的理解和記憶；引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立作業(yè)的習(xí)慣，要獨(dú)立地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，切

記有點(diǎn)小問(wèn)題或習(xí)題不會(huì)做，就不假思索地請(qǐng)教老師同學(xué)；引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成系統(tǒng)復(fù)習(xí)小結(jié)的習(xí)慣，

將所學(xué)新知識(shí)融入有關(guān)的體系和網(wǎng)絡(luò)中，以保持知識(shí)的完整性。引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成閱讀有關(guān)報(bào)刊和資

料問(wèn)題，以進(jìn)一步充實(shí)大腦，拓展眼界，保持可持續(xù)發(fā)展的后勁，加強(qiáng)學(xué)法指導(dǎo)應(yīng)富于知識(shí)講解、

作業(yè)評(píng)講、試卷分析等教學(xué)活動(dòng)中。

另外，還可以通過(guò)舉辦講座介紹學(xué)習(xí)方法和進(jìn)行學(xué)習(xí)目的及學(xué)法交流，學(xué)生掌握科學(xué)的學(xué)習(xí)

方法，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，提高學(xué)習(xí)效率，變被動(dòng)為主動(dòng)，從而不斷地消除學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的障礙。

對(duì)策三、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣

心理學(xué)研究成果表明，推動(dòng)學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)的內(nèi)部動(dòng)力是學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，而興趣即是構(gòu)建學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)

中最現(xiàn)實(shí)、最活躍成分，濃厚的學(xué)習(xí)興趣無(wú)疑會(huì)使人的各種感受尤其是大腦處于最活躍的狀態(tài)，

使感知更清晰、觀察更細(xì)致、思維更深刻，想象更豐富、記憶更牢固，能夠最佳地接受教學(xué)信息,

不少學(xué)生之所以視數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)為苦役，為畏途，主要原因還在于缺乏對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，因此教師要著

力于培養(yǎng)和調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

課堂教學(xué)的導(dǎo)言，需要教師精心構(gòu)思，一開(kāi)頭，就能把學(xué)生的思維活躍起來(lái)使他們對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)

習(xí)產(chǎn)生了濃厚的興趣。還可通過(guò)介紹古今中外數(shù)學(xué)史，數(shù)學(xué)方面的偉大成就，闡明數(shù)學(xué)在自然科

學(xué)和社會(huì)科學(xué)研究中，尤其在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、軍事、生活等方面的巨大作用，來(lái)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的

興趣。在課堂教學(xué)中，要針對(duì)不同層次的學(xué)生進(jìn)行分層教學(xué)，從學(xué)生的實(shí)際情況出發(fā)，兼顧學(xué)習(xí)

有困難的和學(xué)有余力的學(xué)生，通過(guò)多種途徑和方法，滿足他們的學(xué)習(xí)需求，發(fā)展他們的數(shù)學(xué)才能。

讓他們有所得，發(fā)現(xiàn)自己的學(xué)習(xí)成效，體會(huì)探索知識(shí)的樂(lè)趣，才能使學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣得到持

續(xù)。

對(duì)策四、學(xué)生能力的培養(yǎng)

培養(yǎng)學(xué)生能力，消除高一學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)障礙的重要環(huán)節(jié)，主要有：（1）培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立學(xué)習(xí)的能力;

（2）培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；（3）培養(yǎng)學(xué)生的準(zhǔn)確計(jì)算能力；（4）培養(yǎng)學(xué)生推理和

轉(zhuǎn)換能力；（5）培養(yǎng)良好的心理素質(zhì)，發(fā)揮非智力因素的作用。

總之，高一數(shù)學(xué)的起步教學(xué)階段，分析清楚學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的障礙，只要教師采取正確的措施,

適當(dāng)?shù)靥幚斫虒W(xué)內(nèi)容，便能使學(xué)生盡快適應(yīng)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，從而更高效、更順利地接受新知和

發(fā)展能力，高中數(shù)學(xué)教學(xué)就能取得成功，為全面推進(jìn)素質(zhì)教育作出應(yīng)有的貢獻(xiàn)。

七、怎樣做數(shù)學(xué)作業(yè)才能發(fā)揮最大效益

做作業(yè)是學(xué)生鞏固知識(shí)，訓(xùn)練方法，發(fā)展思維的重要的不可缺少的學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，它是在老師指

導(dǎo)下進(jìn)行的有目的學(xué)習(xí)活動(dòng)。雖然作業(yè)天天做，但效果卻大不同。有的同學(xué)有章有法，效果顯著,

成績(jī)上升；有的同學(xué)疲于應(yīng)付，心中厭煩，影響情緒，挫傷熱情，導(dǎo)致成績(jī)下降。其實(shí)，做作業(yè)

有個(gè)方法或策略的問(wèn)題，只有把握方法，遵循規(guī)律，保質(zhì)保量，才能事半功倍，提高效益。下面

以數(shù)學(xué)學(xué)科為例談?wù)勛鲎鳂I(yè)的方法。

一，溫故知新，把握要領(lǐng)

先把書(shū)看透，再動(dòng)手做作業(yè)。做作業(yè)前，首先溫故有關(guān)的知識(shí)，回顧概念，掌握要求，了解

有關(guān)的注意事項(xiàng)，明確學(xué)習(xí)的目的，把握解題的規(guī)范化要求，然后再動(dòng)手做作業(yè)，就心中有數(shù)，

練中學(xué)，學(xué)中練，達(dá)到鞏固目的，強(qiáng)化了知識(shí)，提高了能力。

但事實(shí)上，我們?cè)S多同學(xué)沒(méi)有這個(gè)好習(xí)慣，拿到題目就做。這樣，首先是速度慢，效率低。

另外，由于概念不清，有的概念理解錯(cuò)誤，做了題目起不到應(yīng)有的作用，甚至還有反作用，鞏固

了錯(cuò)誤，在相應(yīng)方面形成了一個(gè)頑疾，為以后學(xué)習(xí)埋下后患。

二，明確題意，構(gòu)建思路

題海戰(zhàn)術(shù)的最大特點(diǎn)是以做題的數(shù)量作為標(biāo)準(zhǔn)，并期望以多取勝。由于高考升學(xué)的壓力，不

少同學(xué)不知不覺(jué)的掉進(jìn)題海，拿到題目不假思索，跟著感覺(jué)走，時(shí)常出現(xiàn)張冠李戴，答非所問(wèn)等

現(xiàn)象，也會(huì)出現(xiàn)漏解或者畫(huà)蛇添足，勞而無(wú)功。長(zhǎng)期下去，最大的壞處是形成不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣,

不利于將來(lái)的發(fā)展。

審題是我們解題的前奏工作，不可忽視，在解題前必須審清題意，分析條件和結(jié)論，并且根

據(jù)條件和結(jié)論進(jìn)行聯(lián)想：以前遇到過(guò)類似或者部分類似的問(wèn)題嗎？當(dāng)時(shí)是用什么方法解決的？在

這里還有效嗎？等等?通過(guò)聯(lián)想構(gòu)建解題思路，設(shè)計(jì)解題程序，把握解題要點(diǎn)，為正確快速解題

掃清障礙，奠定基礎(chǔ)。

三，限定時(shí)間，一氣呵成

常聽(tīng)同學(xué)抱怨，作業(yè)太多，做不完了，有的同學(xué)為應(yīng)付還不惜抄襲作業(yè)，影響優(yōu)秀品質(zhì)的形

成。了解下來(lái)，問(wèn)題大多是在時(shí)間安排上。覺(jué)得辛苦的同學(xué)，他們的作業(yè)都是在彈性的時(shí)間內(nèi)完

成，想做就做些，不想做就玩會(huì)兒；或者慢條斯理，認(rèn)為時(shí)間還有的是，等會(huì)再完成。有一-次，

作業(yè)量并不大，可是有位同學(xué)居然沒(méi)完成，他坦誠(chéng)的說(shuō)，晚上應(yīng)該花上半小時(shí)就完成，可是當(dāng)走

到電視前時(shí)，就自我安慰，看會(huì)吧，睡前再做，而到睡前又想起語(yǔ)文老師布置的“周記”明天早

自習(xí)要交，只有先寫(xiě)周記，早自習(xí)再做吧，早自習(xí)外語(yǔ)老師來(lái)檢查背誦，所以就誤了事。

但是，大部分同學(xué)還是對(duì)數(shù)學(xué)作業(yè)高度重視，應(yīng)對(duì)自如，甚至還學(xué)有余力，額外做了些提高

題，所以他們經(jīng)常要求老師多布置些作業(yè)。調(diào)查下來(lái)，有兩個(gè)是他們的共同特點(diǎn)：一是他們做作

業(yè)限時(shí)完成，不拖拉，干凈利落，遇到困難，待各項(xiàng)任務(wù)基本完成后，再進(jìn)行鉆研。另一方面，

他們做到了心動(dòng)不如行動(dòng)。他們拿到問(wèn)題，常常是立即投入戰(zhàn)斗，而不是去想今天有多少作業(yè)，

需多少時(shí)間，難度是否太大，能不能完成得了等等。他們遇到難題是先能做多少就做多少，能解

決到什么程度就解決到什么程度，當(dāng)解決了問(wèn)題的部分時(shí)，常常會(huì)閃出好念頭，悟出問(wèn)題的解決

方案。實(shí)際上每解決一點(diǎn)就是向目標(biāo)靠近一步，這就是“吹盡黃沙始得金”的道理。

四，做后反思，提高效益

有人說(shuō)題海戰(zhàn)術(shù)是臭豆腐，聞的臭，吃的香。題海戰(zhàn)術(shù)既然被人普遍使用，肯定有它存在的

道理，不能全盤(pán)否定。但是它的效益不高的弊端也是很明顯的。對(duì)它進(jìn)行改進(jìn)也是情理之中，實(shí)

踐證明解題后反思是提高效益的有效途徑。

首先要反思題意。前面已經(jīng)介紹了審題的重要性，這里不再詳述。

其次要反思錯(cuò)誤。要用批評(píng)的眼光去看待自己的解題過(guò)程，看看思路是否有問(wèn)題，概念使用

是否正確，計(jì)算是否有失誤，思考是否周密等等。有時(shí)需要從不同的角度去思考，不同的方法去

演算更能發(fā)現(xiàn)問(wèn)題。千萬(wàn)別把檢查答案當(dāng)成“自我欣賞”，那么肯定發(fā)現(xiàn)不了錯(cuò)誤，發(fā)現(xiàn)不了錯(cuò)

誤當(dāng)然就談不上克服錯(cuò)誤了。

第三要反思方法，解完題后再思考，由于對(duì)這個(gè)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)有了一定的高度，所以思考出的

新方法常常更為簡(jiǎn)捷，巧妙，在很大程度上能激勵(lì)我們的信心，即使我們發(fā)現(xiàn)不了巧思妙解，在

思考過(guò)程中我們回顧了相關(guān)知識(shí)，嘗試了許多方法，收獲仍不可小視。

最后還要反思變化。研究性學(xué)習(xí)已經(jīng)進(jìn)入高考，提高探究創(chuàng)新能力己經(jīng)刻不容緩。許多經(jīng)典

的數(shù)學(xué)問(wèn)題可以進(jìn)行變化，創(chuàng)設(shè)探究的契機(jī)。這些，大家只要利用原來(lái)問(wèn)題的解題思路進(jìn)行探索,

知道他們都是周期函數(shù)。這樣，我們解一題會(huì)一類，并訓(xùn)練了探究，創(chuàng)新能力，較大限度提高了

解題的效益。

針對(duì)性的做題充分發(fā)揮讓你的期中復(fù)習(xí)事半功倍

期中考試的目的是幫助我們發(fā)現(xiàn)半個(gè)學(xué)期以來(lái)自己在學(xué)習(xí)目的、態(tài)度、知識(shí)、能力、方法等

方面存在的問(wèn)題，為自己下一階段有針對(duì)性地改進(jìn)學(xué)習(xí)提供重要的依據(jù)。對(duì)于高一來(lái)說(shuō)，期中考

試是進(jìn)入高一之后的第一次大洗牌，能不能在高中獲得一個(gè)“先發(fā)”的位置，就看這次期中考試;

對(duì)于高二的學(xué)生來(lái)說(shuō)，每一次學(xué)校的統(tǒng)一考試，都決定著自己未來(lái)的努力方向，而且，會(huì)影響到

高校自主招生對(duì)他的評(píng)定。所以，大家不僅要全力備戰(zhàn)，并且在考后及時(shí)反省自己的學(xué)習(xí)狀況，

努力探求適合自己的學(xué)習(xí)方法，為自己更長(zhǎng)遠(yuǎn)的發(fā)展提供幫助。

1、跟著老師走，切忌盲目復(fù)習(xí)

很多同學(xué)在復(fù)習(xí)時(shí)都比較盲目，花了大量的時(shí)間，累的夠嗆，可出來(lái)的成績(jī)總是不盡人意；

因此在復(fù)習(xí)時(shí)，大家一定要善于思考，跟著老師走，合理利用時(shí)間，提高考試復(fù)習(xí)效率，建立知

識(shí)網(wǎng)絡(luò)與體系，抓住每個(gè)章節(jié)的核心知識(shí)，從而進(jìn)行突破。

2、有針對(duì)性的做題

大家都知道做題是很重要，但是要不要成海就要商榷一下，如果題海的話就有很多是大量重

復(fù)的，是一種浪費(fèi)，而且你做的不是經(jīng)典題的話有可能有誤導(dǎo)，所以要選取其精華。一般老師推

薦的經(jīng)典卷子，同學(xué)們要認(rèn)真的對(duì)待，可以多做幾遍。

3、充分發(fā)揮

怎樣才能在考試中充分發(fā)揮呢？我們要戰(zhàn)略上藐視考卷，戰(zhàn)術(shù)上重視考卷。戰(zhàn)略上藐視考卷

是指自己已經(jīng)準(zhǔn)備相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間了，對(duì)考試有了平常的經(jīng)驗(yàn)，相信自己一定能考好。在戰(zhàn)術(shù)上要

重視考卷是指對(duì)考卷中的每一道題都認(rèn)真對(duì)待，一分一分地拿分。謹(jǐn)慎、小心、認(rèn)真、負(fù)責(zé)地做

好每一道題。此外，考試開(kāi)始后，也要及時(shí)總結(jié)前一門(mén)考試的經(jīng)驗(yàn)，以使后面的科目考得更好。

八、女生學(xué)好高一數(shù)學(xué)的六個(gè)法寶

大量事實(shí)和調(diào)查數(shù)據(jù)表明，隨著數(shù)學(xué)內(nèi)容的逐步深化，高中女生數(shù)學(xué)能力逐漸下降，他們?cè)?/p>

學(xué)越用功，卻越學(xué)越吃力，出現(xiàn)了部分女生嚴(yán)重偏科的現(xiàn)象.因而，對(duì)高中女生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)

應(yīng)引起重視。

一、“棄重求輕”，培養(yǎng)興趣

女生數(shù)學(xué)能力的下降，環(huán)境因素及心理因素不容忽視.目前社會(huì)、家庭、學(xué)校對(duì)學(xué)生的期望

值普遍過(guò)高.而女生性格較為文靜、內(nèi)向，心理承受能力較差，加上數(shù)學(xué)學(xué)科難度大，因此導(dǎo)致

她們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣淡化，能力下降.因此，教師要多關(guān)心女生的思想和學(xué)習(xí)，經(jīng)常同她們平等

交談，了解其思想上、學(xué)習(xí)上存在的問(wèn)題，幫助其分析原因，制定學(xué)習(xí)計(jì)劃，清除緊張心理，鼓

勵(lì)她們“敢問(wèn)”、“會(huì)問(wèn)”，激發(fā)其學(xué)習(xí)興趣.同時(shí)，要求家長(zhǎng)能以積極態(tài)度對(duì)待女生的數(shù)學(xué)學(xué)

習(xí)，要多鼓勵(lì)少指責(zé)，幫助她們棄掉沉重的思想包袱，輕松愉快地投入到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中；還可以結(jié)

合女性成才的事例和現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)例，幫助她們樹(shù)立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.事實(shí)上，女生的情感平

穩(wěn)度比較高，只要她們感興趣，就會(huì)克服困難，努力達(dá)到提高數(shù)學(xué)能力的目的.

二、“開(kāi)門(mén)造車”，注重方法

在學(xué)習(xí)方法方面，女生比較注重基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)較扎實(shí)，喜歡做基礎(chǔ)題，但解綜合題的能力較差,

更不愿解難題；女生上課記筆記，復(fù)習(xí)時(shí)喜歡看課本和筆記，但忽視上課聽(tīng)講和能力訓(xùn)練；女生

注重條理化和規(guī)范化，按部就班，但適應(yīng)性和創(chuàng)新意識(shí)較差.因此，教師要指導(dǎo)女生“開(kāi)門(mén)造車”，

讓她們暴露學(xué)習(xí)中的問(wèn)題，有針對(duì)地指導(dǎo)聽(tīng)課，強(qiáng)化雙基訓(xùn)練，對(duì)綜合能力要求較高的問(wèn)題，指

導(dǎo)她們學(xué)會(huì)利用等價(jià)轉(zhuǎn)換、類比、化歸等數(shù)學(xué)思想，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為若干基礎(chǔ)問(wèn)題，還可以組織她

們學(xué)習(xí)他人成功的經(jīng)驗(yàn)，改進(jìn)學(xué)習(xí)方法，逐步提高能力.

三、“笨鳥(niǎo)先飛”，強(qiáng)化預(yù)習(xí)

女生受生理、心理等因素影響，對(duì)知識(shí)的理解、應(yīng)用能力相對(duì)要差一些，對(duì)問(wèn)題的反應(yīng)速度

也慢一些.因此，要提高課堂學(xué)習(xí)過(guò)程中的數(shù)學(xué)能力，課前的預(yù)習(xí)至關(guān)重要.教學(xué)中，要有針對(duì)

性地指導(dǎo)女生課前的預(yù)習(xí)，可以編制預(yù)習(xí)提綱，對(duì)抽象的概念、邏輯性較強(qiáng)的推理、空間想象能

力及數(shù)形結(jié)合能力要求較高的內(nèi)容，要求通過(guò)預(yù)習(xí)有一定的了解，便于聽(tīng)課時(shí)有的放矢，易于突

破難點(diǎn).認(rèn)真預(yù)習(xí)，還可以改變心理狀態(tài)，變被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)參與.因此，要求女生強(qiáng)化課前預(yù)

習(xí)，“笨鳥(niǎo)先飛”.

四、“固本扶元”，落實(shí)“雙基”

女生數(shù)學(xué)能力差，主要表現(xiàn)在對(duì)基本技能的理解、掌握和應(yīng)用上.只有在鞏固基礎(chǔ)知識(shí)和掌

握基本技能的前提下，才能提高女生的綜合能力.因此，教師要加強(qiáng)對(duì)舊知識(shí)的復(fù)習(xí)和基本技能

的訓(xùn)練，結(jié)合講授新課組織復(fù)習(xí)；也可以通過(guò)基礎(chǔ)知識(shí)的訓(xùn)練，使學(xué)生對(duì)一學(xué)的知識(shí)進(jìn)行鞏固和

提高，使他們具備學(xué)習(xí)新知識(shí)所必需的基本能力，從而對(duì)新知識(shí)的學(xué)習(xí)和掌握起到促進(jìn)作用.

五、“揚(yáng)長(zhǎng)補(bǔ)短”，增加自信

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，女生在運(yùn)算能力方面，規(guī)范性強(qiáng)，準(zhǔn)確率高，但運(yùn)算速度偏慢、技巧性

不強(qiáng)；在邏輯思維能力方面，善于直接推理、條理性強(qiáng)，但間接推理欠缺、思維方式單一；在空

間想象能力方面，直覺(jué)思維敏捷、表達(dá)準(zhǔn)確，但線面關(guān)系含混、作圖能力差；在應(yīng)用能力方面，

“解?！蹦芰^強(qiáng)，但“建?！蹦芰ζ?因此，教學(xué)中要注意發(fā)揮女生的長(zhǎng)處，增加其自信心,

使其有正視挫折的勇氣和戰(zhàn)勝困難的決心.特別要針對(duì)女生的弱點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)，多講通解通法和常

用技巧，注意速度訓(xùn)練，分析問(wèn)題既要“由因?qū)Ч?，也要“?zhí)果索因”，暴露過(guò)程，激活思維;

注重?cái)?shù)形結(jié)合，適當(dāng)增加直觀教學(xué)，訓(xùn)練作圖能力，培養(yǎng)想象力；揭示實(shí)際問(wèn)題的空間形式和數(shù)

量關(guān)系，培養(yǎng)“建?！蹦芰?

六、“舉一反三”，提高能力

“上課能聽(tīng)懂，作業(yè)能完成，就是成績(jī)提不高.”這是高中階段女生.共同的“心聲”.由于

課堂信息容量小，知識(shí)單一，在老師的指導(dǎo)下，女生一般能聽(tīng)懂；課后的練習(xí)多是直接應(yīng)用概念

套用算法，過(guò)程簡(jiǎn)單且技能技巧要求較低，她們能完成.但因速度和時(shí)間等方面的影響，她們不

大注重課后的理解掌握和能力提高.因此教學(xué)中要編制“套題”（知識(shí)性，技能性）、“類題”

（基礎(chǔ)類，綜合類，方法類）、“變式題”（變條件，變結(jié)論，變思想，變方法），并對(duì)其中具有

代表性的問(wèn)題進(jìn)行詳盡的剖析，起到“舉一反三”、“觸類旁通”的作用，這有利于提高女生的

數(shù)學(xué)。

九、如何科學(xué)合理的學(xué)習(xí)高一數(shù)學(xué)

高中學(xué)生僅僅想學(xué)是不夠的，還必須“會(huì)學(xué)”，要講究科學(xué)的學(xué)習(xí)方法，提高學(xué)習(xí)效率，才

能變被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí)，才能提高學(xué)習(xí)成績(jī)。

一、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的科學(xué)理念

一條好的創(chuàng)業(yè)理念能挽救一個(gè)工廠，發(fā)展一個(gè)企業(yè)，振興一個(gè)民族，這已是屢見(jiàn)不鮮的事實(shí)!

同樣，一條好的學(xué)習(xí)理念，能使一個(gè)學(xué)習(xí)屢屢愛(ài)挫的同學(xué)從此走向?qū)W習(xí)的成功，走上人生的康莊

大道，這里向讀者推薦的就是這樣一條科學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理念，要講清這個(gè)問(wèn)題，首先需要弄清下

面的問(wèn)題：什么是真正的意義上的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)？它的本質(zhì)與核心是什么？

從所周知，數(shù)學(xué)中的知識(shí)點(diǎn)不是孤立的，而是緊密聯(lián)系的，人們把相互聯(lián)系在一起的若干個(gè)

數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)稱為數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是學(xué)習(xí)者在自己的頭腦中不斷建構(gòu)(建立和造構(gòu))和

完善數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的過(guò)程，心理學(xué)家把這個(gè)過(guò)程叫做數(shù)學(xué)知識(shí)的“內(nèi)化”，內(nèi)化的結(jié)果，若通逐

步形成一個(gè)條理清晰的、內(nèi)涵豐富的、聯(lián)系緊密的、體驗(yàn)深刻的知識(shí)結(jié)構(gòu)，學(xué)習(xí)就是成功的，反

之，學(xué)習(xí)就不成功，甚至是失敗的，反思這個(gè)內(nèi)化的過(guò)程可以得出以下兩點(diǎn)結(jié)論：

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程從本質(zhì)上講就是理解數(shù)學(xué)知識(shí)及其聯(lián)系的過(guò)程，理解得透徹、深刻、全面，

內(nèi)化的質(zhì)量就高，可見(jiàn)，理解是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心，當(dāng)代美籍?dāng)?shù)學(xué)大師陳省身說(shuō)過(guò)，“數(shù)學(xué)就是理

解！”他之所以這樣講是基于數(shù)學(xué)具有三大特點(diǎn)——“高度的抽象性”，“嚴(yán)密的邏輯性"，''應(yīng)

用的極端廣泛性和靈活性”。如果離開(kāi)了深入的理解，要想學(xué)懂?dāng)?shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)是根本不可能的,

因此理解對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有極端的重要性，真正意義上的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一定要把理解放在第一位，千方

百計(jì)地去提高理解層次，科學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式必然是建立在深化理解基礎(chǔ)上的學(xué)習(xí)方式，舍此就

背離了真正意義上的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，是斷然不可能學(xué)數(shù)學(xué)的。

第一，理解是學(xué)習(xí)者自身建構(gòu)，這種理解是不可能靠別人給予的，而只可能是學(xué)習(xí)者通過(guò)參

與數(shù)學(xué)活動(dòng)親身感悟出來(lái)的心得體會(huì)，美國(guó)《新數(shù)學(xué)叢書(shū)》的序言中寫(xiě)道：“學(xué)數(shù)學(xué)最好的方法

是做數(shù)學(xué)”，講的就是這個(gè)道理，為了講清原理，使感悟能達(dá)到操作水平，分四個(gè)環(huán)節(jié)：

(1)參與問(wèn)題

參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，這是獲得數(shù)學(xué)理解的前提，參與又可分為主動(dòng)參與利被動(dòng)參與兩種形態(tài)，有

些同學(xué)課堂上是“以聽(tīng)為主，力爭(zhēng)跟上老師的思路”，他雖然也有參與，但這種參與所涉及的內(nèi)

容和力度都是很有限的，另有一些同學(xué)，課堂上不滿足于聽(tīng)懂，而是像數(shù)學(xué)家那樣，力爭(zhēng)自己解

決問(wèn)題，這種強(qiáng)烈的自主意識(shí)調(diào)動(dòng)了他全部的身心投入到數(shù)學(xué)創(chuàng)造中去，這種參與內(nèi)容到力度上

與上一種參與相比有質(zhì)的區(qū)別，他所獲得的體驗(yàn)自然要豐富得多，深刻得多

(2)反思問(wèn)題

荷蘭籍國(guó)際數(shù)學(xué)教育大師弗賴登特爾認(rèn)為，”反思是數(shù)學(xué)活動(dòng)的核心和動(dòng)力”，“沒(méi)有反思,

學(xué)生的理解就不可能從一個(gè)水平升華到更高的水平”，可見(jiàn)他把反思看得很重，很重！那么，什

么是反思呢？通俗地講就是“回頭看腳印”就是對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)的全過(guò)程以及新舊知識(shí)間的聯(lián)系進(jìn)行

“反復(fù)深入的思考”，從中去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的真締，因此，要想學(xué)好數(shù)學(xué)就一定要學(xué)會(huì)反思，一定要

養(yǎng)成反思的習(xí)慣，這是學(xué)好數(shù)學(xué)的根本。

(3)概括問(wèn)題

把參與與反思過(guò)程中所獲得的感性認(rèn)識(shí)悟化到理性認(rèn)識(shí)的過(guò)程，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，洞察本質(zhì)，

提高理解數(shù)學(xué)的水平。

研究表明，這個(gè)過(guò)程對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)具有特殊的重要性，而這又恰恰是同學(xué)們十分困

難的地方，因此，學(xué)會(huì)概括就顯得更加必要。

(4)遷移問(wèn)題

所謂遷移就是學(xué)習(xí)者把所獲得的體驗(yàn)、方法、思想、觀念運(yùn)用到新的情境中去，這本身就是

一種創(chuàng)造。

綜上所述，要想獲得高水平的理解，一定要緊緊地抓好“參與-反思-概括-遷移”這四個(gè)步驟,

要主動(dòng)參與，加強(qiáng)反思，學(xué)會(huì)概括，力求遷移，這可看作是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的微觀過(guò)程，很明顯，在這

個(gè)過(guò)程中，缺少任何一個(gè)環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)都是不完全的學(xué)習(xí)，不完全的學(xué)習(xí)是不可能獲得高水平的理

解的。

總結(jié)：要想學(xué)好高中數(shù)學(xué),主要注意以下8點(diǎn)：

1.先看筆記后做作業(yè).

2.做題之后加強(qiáng)反思.

3.主動(dòng)復(fù)習(xí)總結(jié)提高.

4.重視改錯(cuò)錯(cuò)不重犯.

5.積累資料隨時(shí)整理.

6.精挑慎選課外讀物.

7.配合老師主動(dòng)學(xué)習(xí).

8.合理規(guī)劃步步為營(yíng).

我們反復(fù)強(qiáng)調(diào)過(guò)：

初中學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué),靠的是一個(gè)字:練！

高中學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)靠的也是一個(gè)字:悟！

學(xué)好數(shù)學(xué)的核心就是悟，悟就是理解，為了理解就要看做想…….看筆記，做作業(yè)后的反思,章

節(jié)的總結(jié)，改錯(cuò)誤時(shí)的找原因，整理復(fù)習(xí)資料,在課外讀物中開(kāi)闊眼界……，這一系列的活動(dòng)都是

“悟”。要自覺(jué)去“悟”，就要提高主動(dòng)性，做好學(xué)習(xí)計(jì)戈I,合理安排時(shí)間，制定好自己的長(zhǎng)期

的短期的目標(biāo)。這一切措施，就是我門(mén)上面所說(shuō)的8條學(xué)習(xí)方法。

同學(xué)們。只要大家與老師積極配合，同時(shí)，對(duì)上面所說(shuō)的8個(gè)方面堅(jiān)持不懈地作出努力，你

們的數(shù)學(xué)成績(jī)就能突飛猛進(jìn)，取得巨大的成功！

十分章節(jié)突破

目錄

1.1數(shù)與式的運(yùn)算

1.1.1絕對(duì)值

1.1.2.乘法公式

1.1.3.二次根式

1.1.4.分式

1.2分解因式

2.1一元二次方程

2.1.1根的判別式

2.1.2根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）

2.2二次函數(shù)

2.2.1二次函數(shù)尸af+6x+c的圖像和性質(zhì)

2.2.2二次函數(shù)的三種表示方式

2.2.3二次函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用

2.3方程與不等式

2.3.1二元二次方程組解法

2.3.2一元二次不等式解法

3.1相似形

3.1.1.平行線分線段成比例定理

3.1.2相似形

3.2三角形

3.2.1三角形的“四心”

3.2.2幾種特殊的三角形

3.3圓

3.3.1直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系

3.3.2點(diǎn)的軌跡

1.1數(shù)與式的運(yùn)算

1.1.1.絕對(duì)值

絕對(duì)值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，零的絕對(duì)值仍

是零.即

a,a>0,

|a|=?0,a=0,

-a,a<0.

絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，是數(shù)軸上表示它的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.

兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值的幾何意義：h-4表示在數(shù)軸上，數(shù)。和數(shù)b之間的距離.

例1解方追2x-4|-6=0

例2化簡(jiǎn)k-l|+|x-3|

例3化簡(jiǎn)下列函數(shù)，并畫(huà)出它們的圖象

⑴y=\x\

(2)y=|^2~1|

練習(xí)

1.填空：

(1)若忖=5,則產(chǎn)；若忖=卜4|,則產(chǎn).

(2)如果向+網(wǎng)=5,且a=—1,貝|J6=；若|1—c|=2,貝ijc=.

2.選擇題：

下列敘述正確的是()

(A)若同=例，則a=b(B)若同〉網(wǎng)，則

(C)若a<b,則同<網(wǎng)(D)若=則a=±b

3.化簡(jiǎn):|x—5|—\2x—131(x>5).

1.1.2.乘法公式

我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了卜列一些乘法公式:

(1)平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2；

(2)完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2.

我們還可以通過(guò)證明得到下列一些乘法公式:

(1)立方和公式(Q+Z?)(Q2-〃0+/)=/+/；

(2)立方差公式(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3；

三數(shù)和平方公式(a+b+c)2-a2+b2+c2+2{ab+bc+ac)；

(4)兩數(shù)和立方公式(a+b)3^a3+3a2b+3ab2+b\

(5)兩數(shù)差立方公式(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3.

對(duì)上面列出的五個(gè)公式,有興趣的同學(xué)可以自己去證明.

例1計(jì)算：(X+l)(x-l)(x2-X4-l)(x2+X+1).

解法一：原式=(/-1)[,+1)2一/]

(%2—l)(x4+%2+1)

=x6-1.

解法二：原式=(X+1)(/-X+l)(x-l)(x2+X+1)

=(x3+l)(x3-l)

=x6-1.

例2已知Q+/?+C=4,ab+be+ac=4,求。2+62+/的值.

解：Q~+h~+c~=(Q+/?+c)~—2(ab+be+ac)—8.

練習(xí)

1.填空：

(1)-a2-—b2=(—/?+—?)()；

9423

(2)(4m+)2=16m2+4m+()；

(3)(a+2b-c)2=a2+4b2+c2+().

2.選擇題:

,1

（1）若無(wú)2+—mx+Z是一個(gè)完全平方式，則人等于（）

2

1,

(A)m2(B)-m2(C)-m1(D)—m2

4316

（2）不論。，匕為何實(shí)數(shù),一4匕+8的值)

(A)總是正數(shù)（B）總是負(fù)數(shù)

(C)可以是零（D）可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)

1.1.3.二次根式

一般地，形如20）的代數(shù)式叫做二次根式.根號(hào)下含有字母、且不能夠開(kāi)得盡方的式

子稱為無(wú)理式.例如3a+da?+b+2b,G等是無(wú)理式,ffiV2x2+—x+1,

2

x2+4^xy+y2,4a^等是有理式.

1.分母（子）有理化

把分母（子）中的根號(hào)化去，叫做分母（子）有理化.為了進(jìn)行分母（子）有理化，需要引

入有理化因式的概念.兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就

說(shuō)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式，例如后與8,36與&,6+迎與6-娓,

2G-3正與2G+3近，等等.一般地，ay/x與五，aG+b?與aG-t>6，a6yb

與“4-b互為有理化因式.

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號(hào)的過(guò)程；而分

子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號(hào)的過(guò)程

在二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算過(guò)程中，二次根式的乘法可參照多項(xiàng)式乘法進(jìn)行，運(yùn)算中要運(yùn)用公

式五〃=而（420/20）；而對(duì)于二次根式的除法，通常先寫(xiě)成分式的形式，然后通過(guò)分母

有理化進(jìn)行運(yùn)算；二次根式的加減法與多項(xiàng)式的加減法類似，應(yīng)在化簡(jiǎn)的基礎(chǔ)上去括號(hào)與合并同

類二次根式.

2.二次根式的意義

必=同=卜”2°'

[-a,a<0.

例1將下列式子化為最簡(jiǎn)二次根式：

(1)Jl2b；(2)y]a2b(a>0)；(3)J41y(x〈0).

解：⑴4l2b=2y/3b；

(2)yja2b=|tz|>/F=a\[b(a>0)；

(3)y[4x^~y=2|%3|>/7=-2x3y/y(x<0),

例2計(jì)算：V3-(3-V