catiaV自由曲線曲面的基本原理(上)

自由曲線面的基本原（上）浙江黃巖華日（集團）公司梁國浙江大學單巖1前言曲面造型是三維造型中的高級技術，也是逆向造型（三坐標點測繪）的基礎。作為一個高水平的三維造型工程師，有必要了解一些自由曲線和曲面的基本常識，主要是因為：（1）可以幫助了CAD/CAM件中曲面造型功能選項的意義，以便正確選擇使用；（2）可以幫助處理在曲面造型中遇到的一些問題。由于自由曲線和自由曲面涉及的較強的幾何知識背景，因此一般造型人員往往無法了解其內在的原理，在使用軟件中的曲（線）面造型功能時常常是知其然不知其所以然。從而難以有效提高技術水平。針對這一問題，本文以直觀形象的方式向讀者介紹自由曲線（面）的基本原理，并在此基礎上對CAD/CAM軟件中若干曲面造型功能的使用作一簡單說明，使讀者初步體會到背景知識對造型技術的促進作用。2曲線面）的參化表達一般情況下，我們表達曲線(面)的方式有以下三種：（1）式表達曲線的顯式表達其中x坐標為自變量y坐標x標的函數(shù)。曲面的顯式表達。在顯式表達中，各個坐標之間的關系非常直觀明了。如在曲線表達中，只要確定了自變量x，則y的值可立即得到。如圖所示的直線和正弦曲線的表達式就是顯式的。圖（2）式表達曲線的隱式表達f(x,y)=0，曲面的隱式表達f(x,y,z)=0。顯然，這里個坐標之間的關系并不十分直觀。如在曲線的隱式表達中確定其中一個坐標（如x）的值并不一定能輕易地得到另外一個（y）的值。圖2所示的圓和橢圓曲線的表達式就是隱式的。圖（3）數(shù)化表達曲線的參數(shù)表達為x=f(t);y=g(t)。曲面的參數(shù)表達為x=f(u,v);y=g(u,v);z=g(u,v)。這時各個坐標變量之間的關系更不明顯了，它們是通過一個（t

）或幾個（）中間變量來間接地確定其間的關系。這些中間變量就稱為參數(shù)，它們的取值范圍就叫數(shù)域。顯然，所有的顯式表達都可以轉化為參數(shù)表達，如在1所示的直線表達式1/6

2222中x=t則立即可有y=t。于是完成了顯式表達到參數(shù)化表達的轉換。由此，我們可以得出下個結論，參數(shù)化表達式所能表示曲線（）種類一定于顯式表，因此更靈。同時，我們也應注意到，同一曲線面）的數(shù)化表達有種。如在圖1所示的直線表達式中x=t，則代入后可y（注意與前一次轉換的不同）。這時，t與y關系由前一次的等價關系變成了現(xiàn)在的平方關系，而所表達的曲線卻沒有什么不同。當然，這并不意味著我們就可以任意改變其表達方式，而是根據(jù)應用的需要來確定適合的關系（這一點在后面還會講到）。鑒于參數(shù)化方法在表達曲線（面）上的靈活性，因此在CAD/CAM軟件自由曲（面）均采參數(shù)化達，同時這也是自一詞的含義之一。當然，采用參數(shù)化方式表達自由曲線（面）還有其它許多優(yōu)點，這里就不一一介紹了。3維數(shù)概念對自由曲線而言，不管采用何種表達方式，它都有一個共同的特征，即各種表達方式中只允許有一個變量是可以自由變動的。如顯式及隱式表達式x、y中只有一個可以自由變動，另一個則受到關系式的約束。而參數(shù)表達式中x、y、z之間存在兩個關系式，因此也只允許其中一個的取值自由變動。同樣可以得到，曲面表達式中存在兩個可以同時自由變動的變量。幾何體的表達式中可同時自由變動的變量的個數(shù)稱為該幾何體維數(shù)（自由度。因此，不能將一個三空間內生成的幾何體就簡單地歸屬于三維形體的范疇。例如，一條空間曲線只是一維的形體，因為它的表達式中只允許有一個自由變量。直觀地，在曲線上的運動只有前后方向上的選擇，而沒有其它第二類選擇。同樣地，空間的曲面為二維形體，一個點是零維形體，而實體造型得到的幾何實體則是三維形體。我們可以用下面的式子表示幾何體的維數(shù)（自由度）判定方法：維數(shù)自由度=自由變量=變量數(shù)-表達式中的方程數(shù)4Bezier曲線生成原理自由曲線的種類很多。我們以其中最簡單的一種樣條曲線為例介紹自由曲線的生成原理。圖圖示為一條由空間兩點和P2構成的直線段是線段上任意一點。如果將到起始點1距離與線段的總長的比值定義為參t與1、關系式：|P/|P2–t即(1-t)P1+

，則立即可以得到P由于1和是確定的空間點的位置將2/6

的變化而變化，因此P也可記

2222222222222為(t)。即(1-t)P1+上式就是該線段的參數(shù)化表達式。其中t

式(1)為參數(shù)，其取值范圍為。假如我們給定P1和P2的坐標值((x2,y2)，則將它們分別替換式）中的1和2即可得到(t)點的坐標x(t)和(t)如下：x(t)=+tx2y(t)=+ty2顯然，當t

取0時，有P(t)=，即P點與1重合。當

取1時，有P=，即P與2重合。當

在0到之間變化時，相應地將得到直線P的不同點位。如上述，由(1)表達的通過已知P1、P2計算一條線段上任意P(t)方法稱為值運算其中參數(shù)

的最高冪次稱為表達式（或曲線）的階數(shù)。同時，由于(中t

的最高次冪為1，因此所表示的參數(shù)表式是階的，它所代表的插值運算又稱為線性插值。由式）所表達的線P1P2為一條曲線和2點稱為該線段的控制頂類似地，我們可以得到二階ezier曲的生成過程。如圖所示：圖4圖，、、為三個控制頂點，0到1之間的任意參t

，分別在P1P2、P2P3間完成與式（1）樣的線性插值，并得到兩個插值點：P11P12接著，對在P11P12之間完成第二輪線性插值得：=(1-t)P11+tP12將11和計算式分別代入上式得(t)=(1-t)P1+2t(1-t)P2+tP3Bi

i

(t)

(0i式中(t)i=1,2,3）稱為二函數(shù)i的取值不同(t)表達式也ii不同。例如i=1時，(t)=(1-t)，i=2時，B(t)=。當t在01之間變動時，ii的相應移動軌跡就形成了一條曲線，即由控制頂點P3構成的二階樣條曲線。n個控制頂按上述同樣的方法（進行輪插值運算）即構成階的樣條曲線，其表達式為：3/6

222n()PBi

ni

t)(0

式（2）i如前所述，理論上，對同一曲線的參數(shù)表達是有無窮多種方式的，這也是參數(shù)化表達的靈活性之一。例如對圖三中的線段也可以用下面的參數(shù)表達式表示：P1+t

式（3）在這一表達式中，當無論在0到1圍內取什么值，P(t)仍是線P上的一個點（盡管同樣t

值在式1）和式3中會得到不同的點位）。因此式（）也是該線段的一個參數(shù)表達式，由于其中參數(shù)

的最高冪次因此它是二階的非線性插值。按這一思路，讀者也可以”發(fā)明”自己的自由（樣條）曲線。至于在實際應用中究竟采用何種參數(shù)表達式，則取決于其應用價值。事實上，與其它插值方式（如式（）的方式）相比，線性插值有許多明顯的優(yōu)點，如計算簡單、具有控制頂點的凸包性特點等，這里不再一一說明?；谶@些優(yōu)點，線性插值成為應用最廣泛的自由曲線生成方式，而用該插值方式生成的自由（樣條）曲線稱為Bezier曲線。通過總結Bezier曲線的生成原理，我們可以得到一個重要的結論，即自由曲線是由一組控制頂點以某種方式（如線性）插值生成的，其最終形狀也