2021年廣西貴港市中考數學試卷 含詳解

2021年廣西貴港市中考數學試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）每小題都給出標號為A.B.C.D.的四個選項，其中只有一個是正確的，請考生用2B鉛筆在答題卡上將選定的答案標號涂黑1．﹣3的絕對值是（）A．﹣3 B．3 C．﹣ D．2．若分式在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是（）A．x≠﹣5 B．x≠0 C．x≠5 D．x＞﹣53．下列計算正確的是（）A．a2+a2＝a4 B．2a﹣a＝1 C．2a?（﹣3a）＝﹣6a2 D．（a2）3＝a54．一組數據8，7，8，6，4，9的中位數和平均數分別是（）A．7和8 B．7.5和7 C．7和7 D．7和7.55．在平面直角坐標系中，若點P（a﹣3，1）與點Q（2，b+1）關于x軸對稱，則a+b的值是（）A．1 B．2 C．3 D．46．不等式1＜2x﹣3＜x+1的解集是（）A．1＜x＜2 B．2＜x＜3 C．2＜x＜4 D．4＜x＜57．已知關于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的兩個實數根分別為x1，x2，且x12+x22＝5，則k的值是（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．18．下列命題是真命題的是（）A．同旁內角相等，兩直線平行 B．對角線相等的四邊形是矩形 C．對角線互相垂直的四邊形是菱形 D．兩角分別相等的兩個三角形相似9．某蔬菜種植基地2018年的蔬菜產量為800噸，2020年的蔬菜產量為968噸，設每年蔬菜產量的年平均增長率都為x，則年平均增長率x應滿足的方程為（）A．800（1﹣x）2＝968 B．800（1+x）2＝968 C．968（1﹣x）2＝800 D．968（1+x）2＝80010．如圖，點A，B，C，D均在⊙O上，直徑AB＝4，點C是的中點，點D關于AB對稱的點為E，若∠DCE＝100°，則弦CE的長是（）A．2 B．2 C． D．111．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)是對角線AC上的兩點，且EF＝2AE＝2CF，連接DE并延長交AB于點M，連接DF并延長交BC于點N，連接MN，則＝（）A． B． C．1 D．12．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝12，D為AC邊上的一個動點，連接BD，E為BD上的一個動點，連接AE，CE，當∠ABD＝∠BCE時，線段AE的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）13．甲、乙兩人在相同條件下進行射擊練習，每人10次射擊成績的平均數都是8環(huán)，方差分別為S甲2＝1.4，S乙2＝0.6，則兩人射擊成績比較穩(wěn)定的是（填“甲”或“乙”）．14．第七次全國人口普查公布的我國總人口數約為1411780000人，將數據1411780000用科學記數法表示為．15．如圖，AB∥CD，CB平分∠ECD，若∠B＝26°，則∠1的度數是．16．如圖，圓錐的高是4，它的側面展開圖是圓心角為120°的扇形，則圓錐的側面積是（結果保留π）．17．如圖，在矩形ABCD中，BD是對角線，AE⊥BD，垂足為E，連接CE，若tan∠ADB＝，則tan∠DEC的值是．18．我們規(guī)定：若＝（x1，y1），＝（x2，y2），則?＝x1x2+y1y2．例如＝（1，3），＝（2，4），則?＝1×2+3×4＝2+12＝14．已知＝（x+1，x﹣1），＝（x﹣3，4），且﹣2≤x≤3，則?的最大值是．三、解答題（本大題共8小題，滿分66分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（10分）（1）計算：﹣2cos45°；（2）解分式方程：．20．（5分）尺規(guī)作圖（只保留作圖痕跡，不要求寫出作法）．如圖，已知△ABC，且AB＞AC．（1）在AB邊上求作點D，使DB＝DC；（2）在AC邊上求作點E，使△ADE∽△ACB．21．（6分）如圖，一次函數y＝x+2的圖象與反比例函數y＝的圖象相交，其中一個交點的橫坐標是1．（1）求k的值；（2）若將一次函數y＝x+2的圖象向下平移4個單位長度，平移后所得到的圖象與反比例函數y＝的圖象相交于A，B兩點，求此時線段AB的長．22．（8分）某校為了了解本校學生每天課后進行體育鍛煉的時間情況，在5月份某天隨機抽取了若干名學生進行調查，調查發(fā)現(xiàn)學生每天課后進行體育鍛煉的時間都不超過100分鐘，現(xiàn)將調查結果繪制成兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖表．請根據統(tǒng)計圖表提供的信息，解答下列問題：組別鍛煉時間（分）頻數（人）百分比A0≤x≤201220%B20＜x≤40a35%C40＜x≤6018bD60＜x≤80610%E80＜x≤10035%（1）本次調查的樣本容量是；表中a＝，b＝；（2）將頻數分布直方圖補充完整；（3）已知E組有2名男生和1名女生，從中隨機抽取兩名學生，恰好抽到1名男生和1名女生的概率是；（4）若該校學生共有2200人，請根據以上調查結果估計：該校每天課后進行體育鍛煉的時間超過60分鐘的學生共有多少人？23．（8分）某公司需將一批材料運往工廠，計劃租用甲、乙兩種型號的貨車，在每輛貨車都滿載的情況下，若租用30輛甲型貨車和50輛乙型貨車可裝載1500箱材料；若租用20輛甲型貨車和60輛乙型貨車可裝載1400箱材料．（1）甲、乙兩種型號的貨車每輛分別可裝載多少箱材料？（2）經初步估算，公司要運往工廠的這批材料不超過1245箱．計劃租用甲、乙兩種型號的貨車共70輛，且乙型貨車的數量不超過甲型貨車數量的3倍，該公司一次性將這批材料運往工廠共有哪幾種租車方案？24．（8分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，F(xiàn)是AD延長線上一點，連接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．（1）求證：CF是⊙O的切線；（2）若cosB＝，AD＝2，求FD的長．25．（11分）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于A（﹣3，0），B兩點，與y軸相交于點C（0，2），對稱軸是直線x＝﹣1，連接AC．（1）求該拋物線的表達式；（2）若過點B的直線l與拋物線相交于另一點D，當∠ABD＝∠BAC時，求直線l的表達式；（3）在（2）的條件下，當點D在x軸下方時，連接AD，此時在y軸左側的拋物線上存在點P，使S△BDP＝S△ABD．請直接出所有符合條件的點P的坐標．26．（10分）已知在△ABC中，O為BC邊的中點，連接AO，將△AOC繞點O順時針方向旋轉（旋轉角為鈍角），得到△EOF，連接AE，CF．（1）如圖1，當∠BAC＝90°且AB＝AC時，則AE與CF滿足的數量關系是；（2）如圖2，當∠BAC＝90°且AB≠AC時，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．（3）如圖3，延長AO到點D，使OD＝OA，連接DE，當AO＝CF＝5，BC＝6時，求DE的長．

2021年廣西貴港市中考數學試卷參考答案與試題詳解一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）每小題都給出標號為A.B.C.D.的四個選項，其中只有一個是正確的，請考生用2B鉛筆在答題卡上將選定的答案標號涂黑1．﹣3的絕對值是（）A．﹣3 B．3 C．﹣ D．【分析】計算絕對值要根據絕對值的定義求解．第一步列出絕對值的表達式；第二步根據絕對值定義去掉這個絕對值的符號．【解答】解：|﹣3|＝3．故﹣3的絕對值是3．故選：B．2．若分式在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是（）A．x≠﹣5 B．x≠0 C．x≠5 D．x＞﹣5【分析】根據分式成立的條件列不等式求解．【解答】解：根據分式成立的條件，可得：x+5≠0，∴x≠﹣5，故選：A．3．下列計算正確的是（）A．a2+a2＝a4 B．2a﹣a＝1 C．2a?（﹣3a）＝﹣6a2 D．（a2）3＝a5【分析】根據合并同類項的運算法則、單項式乘單項式和冪的乘方的運算法則解答即可．【解答】解：A、a2+a2＝2a2，原計算錯誤，故此選項不符合題意；B、2a﹣a＝a，原計算錯誤，故此選項不符合題意；C、2a?（﹣3a）＝﹣6a2，原計算正確，故此選項符合題意；D、（a2）3＝a6，原計算錯誤，故此選項不符合題意．故選：C．4．一組數據8，7，8，6，4，9的中位數和平均數分別是（）A．7和8 B．7.5和7 C．7和7 D．7和7.5【分析】根據中位數、平均數的定義分別列出算式，再進行計算即可．【解答】解：把這些數從小大排列為4，6，7，8，8，9，則中位數是＝7.5；平均數是：（8+7+8+6+4+9）÷6＝7．故選：B．5．在平面直角坐標系中，若點P（a﹣3，1）與點Q（2，b+1）關于x軸對稱，則a+b的值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】直接利用關于x軸對稱點的性質：橫坐標不變，縱坐標互為相反數，即可得出a，b的值，進而得出答案．【解答】解：∵點P（a﹣3，1）與點Q（2，b+1）關于x軸對稱，∴a﹣3＝2，b+1＝﹣1，∴a＝5，b＝﹣2，則a+b＝5﹣2＝3．故選：C．6．不等式1＜2x﹣3＜x+1的解集是（）A．1＜x＜2 B．2＜x＜3 C．2＜x＜4 D．4＜x＜5【分析】分別求出各不等式的解集，再求出其公共部分即可．【解答】解：不等式組化為，由不等式①，得x＞2，由不等式②，得x＜4，故原不等式組的解集是2＜x＜4，故選：C．7．已知關于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的兩個實數根分別為x1，x2，且x12+x22＝5，則k的值是（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1【分析】利用根與系數的關系得出x1+x2＝k，x1x2＝k﹣3，進而得出關于k的一元二次方程求出即可．【解答】解：∵關于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的兩個實數根分別為x1，x2，∴x1+x2＝k，x1x2＝k﹣3，∵x12+x22＝5，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，∴k2﹣2（k﹣3）＝5，整理得出：k2﹣2k+1＝0，解得：k1＝k2＝1，故選：D．8．下列命題是真命題的是（）A．同旁內角相等，兩直線平行 B．對角線相等的四邊形是矩形 C．對角線互相垂直的四邊形是菱形 D．兩角分別相等的兩個三角形相似【分析】利用平行線的判定方法、矩形及菱形的判定方法、相似三角形的判定方法分別判斷后即可確定正確的選項．【解答】解：A、同旁內角互補，兩直線平行，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；B、對角線相等的平行四邊形是矩形，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；C、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；D、兩角分別相等的兩個三角形相似，正確，是真命題，符合題意，故選：D．9．某蔬菜種植基地2018年的蔬菜產量為800噸，2020年的蔬菜產量為968噸，設每年蔬菜產量的年平均增長率都為x，則年平均增長率x應滿足的方程為（）A．800（1﹣x）2＝968 B．800（1+x）2＝968 C．968（1﹣x）2＝800 D．968（1+x）2＝800【分析】根據該種植基地2018年及2020年的蔬菜產量，即可得出關于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：依題意得：800（1+x）2＝968．故選：B．10．如圖，點A，B，C，D均在⊙O上，直徑AB＝4，點C是的中點，點D關于AB對稱的點為E，若∠DCE＝100°，則弦CE的長是（）A．2 B．2 C． D．1【分析】連接AD、AE、OD、OC、OE，過點O作OH⊥CE于點H，根據圓內接四邊形的性質得∠DAE＝80°，根據對稱以及圓周角定理可得∠BOD＝∠BOE＝80°，由點C是的中點可得∠BOC＝∠COD＝40°，∠COE＝∠BOC+∠BOE＝120°，根據等腰三角形以及直角三角形的性質即可求解．【解答】解：連接AD、AE、OD、OC、OE，過點O作OH⊥CE于點H，∵∠DCE＝100°，∴∠DAE＝180°﹣∠DCE＝80°，∵點D關于AB對稱的點為E，∴∠BAD＝∠BAE＝40°，∴∠BOD＝∠BOE＝80°，∵點C是的中點，∴∠BOC＝∠COD＝40°，∴∠COE＝∠BOC+∠BOE＝120°，∵OE＝OC，OH⊥CE，∴EH＝CH，∠OEC＝∠OCE＝30°，∵直徑AB＝4，∴OE＝OC＝2，∴EH＝CH＝，∴CE＝2．故選：A．11．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)是對角線AC上的兩點，且EF＝2AE＝2CF，連接DE并延長交AB于點M，連接DF并延長交BC于點N，連接MN，則＝（）A． B． C．1 D．【分析】設AB＝AD＝BC＝CD＝3a，首先證明AM＝CN，再利用平行線分線段成比例定理求出CN＝a，推出AM＝a，BM＝BN＝2a，可得結論．【解答】解：設AB＝AD＝BC＝CD＝3a，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAE＝∠DCF＝45°，∠DAM＝∠DCN＝90°，在△DAE和△DCF中，，∴△DAE≌△DCF（SAS），∴∠DAE＝∠CDF，在△DAM和△DCN中，，∴△DAM≌△DCN（ASA），∴AM＝CN，∵AB＝BC，∴BM＝BN，∵CN∥AD，∴＝＝，∴CN＝AM＝a，BM＝BN＝2a，∴＝＝＝，故選：A．12．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝12，D為AC邊上的一個動點，連接BD，E為BD上的一個動點，連接AE，CE，當∠ABD＝∠BCE時，線段AE的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】如圖，取BC的中點T，連接AT，ET．首先證明∠CEB＝90°，求出AT，ET，根據AE≥AT﹣ET，可得結論．【解答】解：如圖，取BC的中點T，連接AT，ET．∵∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠CBD＝90°，∵∠ABD＝∠BCE，∴∠CBD+∠BCE＝90°，∴∠CEB＝90°，∵CT＝TB＝6，∴ET＝BC＝6，AT＝＝＝10，∵AE≥AT﹣ET，∴AE≥4，∴AE的最小值為4，故選：B．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）13．甲、乙兩人在相同條件下進行射擊練習，每人10次射擊成績的平均數都是8環(huán)，方差分別為S甲2＝1.4，S乙2＝0.6，則兩人射擊成績比較穩(wěn)定的是乙（填“甲”或“乙”）．【分析】根據方差的意義即方差越小，表明這組數據分布比較集中，各數據偏離平均數越小，數據越穩(wěn)定，即可得出答案．【解答】解：∵S甲2＝1.4，S乙2＝0.6，∴S甲2＞S乙2，∴兩人射擊成績比較穩(wěn)定的是乙．故答案為：乙．14．第七次全國人口普查公布的我國總人口數約為1411780000人，將數據1411780000用科學記數法表示為1.41178×109．【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值≥10時，n是正整數．【解答】解：1411780000＝1.41178×109，故答案是：1.41178×109．15．如圖，AB∥CD，CB平分∠ECD，若∠B＝26°，則∠1的度數是52°．【分析】根據平行線的性質得出∠B＝∠BCD＝26°，根據角平分線定義求出∠∠ECD＝2∠BCD＝52°，再根據平行線的性質即可得解．【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝26°，∴∠BCD＝∠B＝26°，∵CB平分∠ECD，∴∠ECD＝2∠BCD＝52°，∵AB∥CD，∴∠1＝∠ECD＝52°，故答案為：52°．16．如圖，圓錐的高是4，它的側面展開圖是圓心角為120°的扇形，則圓錐的側面積是6（結果保留π）．【分析】設圓錐的底面半徑為r，母線長為l，根據題意得：2πr＝，解得：l＝3r，然后根據高為4，利用勾股定理得r2+42＝（3r）2，從而求得底面半徑和母線長，利用側面積公式求得答案即可．【解答】解：設圓錐的底面半徑為r，母線長為l，根據題意得：2πr＝，解得：l＝3r，∵高為4，∴r2+42＝（3r）2，解得：r＝，∴母線長為3，∴圓錐的側面積為πrl＝π××3＝6π，故答案為：6π．17．如圖，在矩形ABCD中，BD是對角線，AE⊥BD，垂足為E，連接CE，若tan∠ADB＝，則tan∠DEC的值是．【分析】過點C作CF⊥BD于點F，設CD＝2a，易證△ABE≌△CDF（AAS），從而可求出AE＝CF＝a，BE＝FD＝1，然后根據銳角三角函數的定義即可求出答案．【解答】解：如圖，過點C作CF⊥BD于點F，設CD＝2a，在△ABE與△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF，BE＝FD，∵AE⊥BD，∴∠ADB＝∠BAE＝30°，∴AE＝CF＝a，BE＝FD＝a，∵∠BAD＝90°，∠ADB＝30°，AE⊥BD，∴∠BAE＝∠ADB＝30°，∴BD＝2AB＝4a，∴EF＝4a﹣2a＝2a，∴tan∠DEC＝＝，故答案為：．18．我們規(guī)定：若＝（x1，y1），＝（x2，y2），則?＝x1x2+y1y2．例如＝（1，3），＝（2，4），則?＝1×2+3×4＝2+12＝14．已知＝（x+1，x﹣1），＝（x﹣3，4），且﹣2≤x≤3，則?的最大值是8．【分析】根據平面向量的新定義運算法則，列出關于x的二次函數，根據二次函數最值的求法解答即可．【解答】解：根據題意知：?＝（x+1）（x﹣3）+4（x﹣1）＝（x+1）2﹣8．因為﹣2≤x≤3，所以當x＝3時，?＝（3+1）2﹣8＝8．即?的最大值是8．故答案是：8．三、解答題（本大題共8小題，滿分66分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（10分）（1）計算：﹣2cos45°；（2）解分式方程：．【分析】（1）先分別化簡二次根式，零指數冪，有理數的乘方，特殊角三角函數值，然后再計算；（2）將分式方程轉化為整式方程，然后解方程，注意分式方程的結果要進行檢驗．【解答】解：（1）原式＝2+1﹣1﹣2×＝2+1﹣1﹣＝；（2）整理，得：，方程兩邊同時乘以（x﹣2），得：x﹣3+x﹣2＝﹣3，解得：x＝1，檢驗：當x＝1時，x﹣2≠0，∴x＝1是原分式方程的解．20．（5分）尺規(guī)作圖（只保留作圖痕跡，不要求寫出作法）．如圖，已知△ABC，且AB＞AC．（1）在AB邊上求作點D，使DB＝DC；（2）在AC邊上求作點E，使△ADE∽△ACB．【分析】（1）作線段BC的垂直平分線交AB于點D，連接CD即可．（2）作∠ADT＝∠ACB，射線DT交AC于點E，點E即為所求．【解答】解：（1）如圖，點D即為所求．（2）如圖，點E即為所求．21．（6分）如圖，一次函數y＝x+2的圖象與反比例函數y＝的圖象相交，其中一個交點的橫坐標是1．（1）求k的值；（2）若將一次函數y＝x+2的圖象向下平移4個單位長度，平移后所得到的圖象與反比例函數y＝的圖象相交于A，B兩點，求此時線段AB的長．【分析】（1）將x＝1代入y＝x+1＝3，故其中交點的坐標為（1，3），將（1，3）代入反比例函數表達式，即可求解；（2）一次函數y＝x+2的圖象向下平移4個單位得到y(tǒng)＝x﹣2，一次函數和反比例函數詳解式聯(lián)立，解方程組求得A、B的坐標，然后根據勾股定理即可求解．【解答】解：（1）將x＝1代入y＝x+2＝3，∴交點的坐標為（1，3），將（1，3）代入y＝，解得：k＝1×3＝3；（2）將一次函數y＝x+2的圖象向下平移4個單位長度得到y(tǒng)＝x﹣2，由，解得：或，∴A（﹣1，﹣3），B（3，1），∴AB＝＝4．22．（8分）某校為了了解本校學生每天課后進行體育鍛煉的時間情況，在5月份某天隨機抽取了若干名學生進行調查，調查發(fā)現(xiàn)學生每天課后進行體育鍛煉的時間都不超過100分鐘，現(xiàn)將調查結果繪制成兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖表．請根據統(tǒng)計圖表提供的信息，解答下列問題：組別鍛煉時間（分）頻數（人）百分比A0≤x≤201220%B20＜x≤40a35%C40＜x≤6018bD60＜x≤80610%E80＜x≤10035%（1）本次調查的樣本容量是60；表中a＝21，b＝30%；（2）將頻數分布直方圖補充完整；（3）已知E組有2名男生和1名女生，從中隨機抽取兩名學生，恰好抽到1名男生和1名女生的概率是；（4）若該校學生共有2200人，請根據以上調查結果估計：該校每天課后進行體育鍛煉的時間超過60分鐘的學生共有多少人？【分析】（1）由A的人數除以所占百分比求出樣本容量，即可解決問題；（2）將頻數分布直方圖補充完整即可；（3）畫樹狀圖，共有6種等可能的結果，恰好抽到1名男生和1名女生的結果有4種，再由概率公式求解即可；（4）由該校學生總人數乘以每天課后進行體育鍛煉的時間超過60分鐘的學生所占的百分比即可．【解答】解：（1）本次調查的樣本容量是：12÷20%＝60，則a＝60﹣12﹣18﹣6﹣3＝21，b＝18÷60×100%＝30%，故答案為：60，21，30%；（2）將頻數分布直方圖補充完整如下：（3）畫樹狀圖如圖：共有6種等可能的結果，恰好抽到1名男生和1名女生的結果有4種，∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率為＝，故答案為：；（4）2200×（10%+5%）＝330（人），即該校每天課后進行體育鍛煉的時間超過60分鐘的學生共有330人．23．（8分）某公司需將一批材料運往工廠，計劃租用甲、乙兩種型號的貨車，在每輛貨車都滿載的情況下，若租用30輛甲型貨車和50輛乙型貨車可裝載1500箱材料；若租用20輛甲型貨車和60輛乙型貨車可裝載1400箱材料．（1）甲、乙兩種型號的貨車每輛分別可裝載多少箱材料？（2）經初步估算，公司要運往工廠的這批材料不超過1245箱．計劃租用甲、乙兩種型號的貨車共70輛，且乙型貨車的數量不超過甲型貨車數量的3倍，該公司一次性將這批材料運往工廠共有哪幾種租車方案？【分析】（1）設甲型貨車每輛可裝載x箱材料，乙型貨車每輛可裝載y箱材料，根據“若租用30輛甲型貨車和50輛乙型貨車可裝載1500箱材料；若租用20輛甲型貨車和60輛乙型貨車可裝載1400箱材料”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；（2）設租用m輛甲型貨車，則租用（70﹣m）輛乙型貨車，根據“租用的乙型貨車的數量不超過甲型貨車數量的3倍，且要運往工廠的這批材料不超過1245箱”，即可得出關于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，結合m為整數，即可得出各租車方案．【解答】解：（1）設甲型貨車每輛可裝載x箱材料，乙型貨車每輛可裝載y箱材料，依題意得：，解得：．答：甲型貨車每輛可裝載25箱材料，乙型貨車每輛可裝載15箱材料．（2）設租用m輛甲型貨車，則租用（70﹣m）輛乙型貨車，依題意得：，解得：≤m≤．又∵m為整數，∴m可以取18，19，∴該公司共有2種租車方案，方案1：租用18輛甲型貨車，52輛乙型貨車；方案2：租用19輛甲型貨車，51輛乙型貨車．24．（8分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，F(xiàn)是AD延長線上一點，連接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．（1）求證：CF是⊙O的切線；（2）若cosB＝，AD＝2，求FD的長．【分析】（1）根據切線的判定，連接OC，證明出OC⊥FC即可，利用直徑所得的圓周角為直角，三角形的內角和以及等腰三角形的性質可得答案；（2）由cosB＝，根據銳角三角函數的意義和勾股定理可得CD：AC：AD＝3：4：5，再根據相似三角形的性質可求出答案．【解答】解：（1）連接OC，∵AD是⊙O的直徑，∴∠ACD＝90°，∴∠ADC+∠CAD＝90°，又∵OC＝OD，∴∠ADC＝∠OCD，又∵∠DCF＝∠CAD．∴∠DCF+∠OCD＝90°，即OC⊥FC，∴FC是⊙O的切線；（2）∵∠B＝∠ADC，cosB＝，∴cos∠ADC＝，在Rt△ACD中，∵cos∠ADC＝＝，AD＝2，∴CD＝AD?cos∠ADC＝2×＝，∴AC＝＝＝，∴＝，∵∠FCD＝∠FAC，∠F＝∠F，∴△FCD∽△FAC，∴＝＝＝，設FD＝3x，則FC＝4x，AF＝3x+2，又∵FC2＝FD?FA，即（4x）2＝3x（3x+2），解得x＝（取正值），∴FD＝3x＝．25．（11分）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于A（﹣3，0），B兩點，與y軸相交于點C（0，2），對稱軸是直線x＝﹣1，連接AC．（1）求該拋物線的表達式；（2）若過點B的直線l與拋物線相交于另一點D，當∠ABD＝∠BAC時，求直線l的表達式；（3）在（2）的條件下，當點D在x軸下方時，連接AD，此時在y軸左側的拋物線上存在點P，使S△BDP＝S△ABD．請直接出所有符合條件的點P的坐標．【分析】（1）先根據對稱軸得出b＝2a，再由點C的坐標求出c＝2，最后將點A的坐標代入拋物線詳解式求解，即可得出結論；（2）分兩種情況，Ⅰ、當點D在x軸上方時，先判斷出AE＝BE，進而得出點E在直線x＝﹣1上，再求出點E的坐標，最后用待定系數法求出直線l的詳解式；Ⅱ、當點D在x軸下方時，判斷出BD∥AC，即可得出結論；（3）先求出點D的坐標，進而求出△ABD的面積，得出△PBD的面積，設P（m，﹣m2﹣m+2）（m＜0），過P作y軸的平行線交直線BD于F，得出F（m，m﹣），進而表示出PF，最后用面積建立方程求解，即可得出結論．【解答】解：（1）∵拋物線的對稱軸為x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴b＝2a，∵點C的坐標為（0，2），∴c＝2，∴拋物線的詳解式為y＝ax2+2ax+2，∵點A（﹣3，0）在拋物線上，∴9a﹣6a+2＝0，∴a＝﹣，∴b＝2a＝﹣，∴拋物線的詳解式為y＝﹣x2﹣x+2；（2）Ⅰ、當點D在x軸上方時，如圖