版2019年中考數(shù)學沖刺方案設計與決策型問題-知識講解(基礎)

中考沖刺：方案設計與決議型問題—知識解說（基礎）責編：常春芳【中考展望】方案設計與決議型問題對于考察學生的數(shù)學創(chuàng)新應用能力特別重要．如讓學生設計圖形、設計測量方案、設計最正確方案等都是最近幾年考察的熱門，題目多以解答題為主．方案設計與決議型問題是近幾年的熱門試題，主要利用圖案設計或經(jīng)濟決議來解決實質(zhì)問題．題型主要包含：1．依據(jù)實質(zhì)問題拼接或切割圖形；2．利用方程(組)、不等式(組)、函數(shù)等知識對實質(zhì)問題中的方案進行比較等．方案設計與決議問題就是給解題者供給一個問題情境，要求解題者利用所學的數(shù)學知識解決問題，這種問題既考察著手操作的實踐能力，又培育創(chuàng)新質(zhì)量，應當惹起高度重視．【方法點撥】解答決議型問題的一般思路，是經(jīng)過對題設信息進行全面剖析、綜合比較、判斷好壞，從中找尋到合適題意的最正確方案．解題策略：成立數(shù)學模型，如方程模型、不等式模型、函數(shù)模型、幾何模型、統(tǒng)計模型等，依照所建的數(shù)學模型求解，從而設計方案，科學決議.【典型例題】種類一、利用方程（組）進行方案設計1．（2016?涼山州）為了更好的保護漂亮圖畫的邛海濕地，西昌市污水辦理廠決定先購置A、B兩型污水辦理設施共20臺，對邛海濕地周邊污水進行辦理，每臺A型污水辦理設施12萬元，每臺B型污水辦理設施10萬元．已知1臺A型污水辦理設施和2臺B型污水辦理設施每周能夠辦理污水640噸，2臺A型污水辦理設施和3臺B型污水辦理設施每周能夠辦理污水1080噸．（1）求A、B兩型污水辦理設施每周分別能夠辦理污水多少噸？（2）經(jīng)估算，市污水辦理廠購置設施的資本不超出230萬元，每周辦理污水的量不低于4500噸，請你列舉出全部購置方案，并指出哪一種方案所需資本最少？最少是多少？【思路點撥】（1）依據(jù)1臺A型污水辦理設施和2臺B型污水辦理設施每周能夠辦理污水640噸，2臺A型污水處理設施和3臺B型污水辦理設施每周能夠辦理污水1080噸，能夠列出相應的二元一次方程組，從而解答本題；2）依據(jù)題意能夠列出相應的不等式組，從而能夠獲得購置方案，從而能夠算出每種方案購置資本，從而能夠解答本題．1【答案與分析】解：（1）設A型污水辦理設施每周每臺能夠辦理污水x噸，B型污水辦理設施每周每臺能夠辦理污水y噸，解得，即A型污水辦理設施每周每臺能夠辦理污水240噸，B型污水辦理設施每周每臺能夠辦理污水200噸；2）設購置A型污水辦理設施x臺，則購置B型污水辦理設施（20﹣x）臺，則解得，12.5≤x≤15，第一種方案：當x=13時，20﹣x=7，花銷的花費為：13×12+7×10=226萬元；第二種方案：當x=14時，20﹣x=6，花銷的花費為：14×12+6×10=228萬元；第三種方案；當x=15時，20﹣x=5，花銷的花費為：15×12+5×10=230萬元；即購置A型污水辦理設施13臺，則購置B型污水辦理設施7臺時，所需購置資本最少，最少是萬元．【總結(jié)升華】本題考察一元一次不等式組的應用、二元一次方程組的應用，解題的重點是明確題意，找出所求問題需要的條件．貫通融會：【變式】某班有學生55人，此中男生與女生的人數(shù)之比為6∶5.求出該班男生與女生的人數(shù)；(2)學校要從該班選出20人參加學校的合唱團，要求：①男生人數(shù)許多于7人；②女生人數(shù)超出男生人數(shù)2人以上．請問男、女生人數(shù)有幾種選擇方案？【答案】解：(1)設男生有6人，則女生有5x人．x依題意得：6x＋5x＝55，x＝5，6x＝30,5x＝25.答：該班男生有30人，女生有25人．設選出男生y人，則選出的女生為(20－y)人．20yy＞2由題意得：，y≥7解得：7≤y<9，∴y的整數(shù)解為：7、8.當y＝7時，20－y＝13，2當y＝8時，20－y＝12.答：有兩種方案，即方案一：男生7人，女生13人；方案二：男生8人，女生12人．種類二、利用不等式（組）進行方案設計2．溫州享有“中國筆都”之稱，其產(chǎn)品熱銷全世界．某制筆公司欲將n件產(chǎn)品運往A，B，C三地銷售，要求運往C地的件數(shù)是運往A地件數(shù)的2倍，各地的運費以下圖．設安排x件產(chǎn)品運往A地．(1)當n＝200時，①依據(jù)信息填表：A地B地C地共計產(chǎn)品件數(shù)(件)x2x200運費(元)30x②若運往B地的件數(shù)不多于運往C地的件數(shù)，總運費不超出4000元，則有哪幾種運輸方案？若總運費為5800元，求n的最小值．【思路點撥】①運往B地的產(chǎn)品件數(shù)＝總件數(shù)n－運往A地的產(chǎn)品件數(shù)－運往C地的產(chǎn)品件數(shù)：運費＝相應件數(shù)×一件產(chǎn)品的運費；②依據(jù)運往B地的件數(shù)不多于運往C地的件數(shù)，總運費不超出4000元列出不等式組，求得整數(shù)解的個數(shù)即可；(2)總運費＝A產(chǎn)品的運費＋B產(chǎn)品的運費＋C產(chǎn)品的運費，從而依據(jù)函數(shù)的增減性及(1)中②獲得的x的取值求得n的最小值即可．【答案與分析】①依據(jù)信息填表：A地B地C地共計產(chǎn)品件數(shù)(件)200－3x運費(元)1600－24x50x56x＋16002003x2x②由題意得160056x40003解得40≤x≤426.7∵x為正整數(shù)，∴x＝40或41或42，∴有3種方案，分別為：(ⅰ)A地40件，B地80件，C地80件；(ⅱ)A地41件，B地77件，C地82件；(ⅲ)A地42件，B地74件，C地84件．由題意得30x＋8(n－3x)＋50x＝5800，整理得n＝725－7x.∵n－3x≥0，∴x≤72.5.又∵x≥0，∴0≤x≤72.5且x為正整數(shù)．∵n隨x的增大而減小，∴當x＝72時，n有最小值為221.【總結(jié)升華】考察一次函數(shù)的應用，獲得總運費的關系式是解決本題的重點，注意聯(lián)合自變量的取值n的最小值.貫通融會：【高清講堂：方案設計與決議型問題例2】【變式】為了保護環(huán)境，某化工廠一期工程達成后購置了3臺甲型和2臺乙型污水辦理設施，共花銷資本54萬元，且每臺乙型設施的價錢是每臺甲型設施價錢的75%，實質(zhì)運轉(zhuǎn)中發(fā)現(xiàn)，每臺甲型設施每月能辦理污水200噸，每臺乙型設施每個月能辦理污水160噸，且每年用于每臺甲型設施的各樣保護費和電費為1萬元，每年用于每臺乙型設施的各樣保護費和電費為1.5萬元.今年該廠二期工程馬上達成，產(chǎn)生的污水將大大增添，于是該廠決定再購置甲、乙兩型設施共8臺用于二期工程的污水辦理，要求本次購置資本不超出84萬元，估計二期工程達成后每個月將產(chǎn)生許多于1300噸污水.．．．．．．1）請你計算每臺甲型設施和每臺乙型設施的價錢各是多少元？2）請你求出用于二期工程的污水辦理設施的全部購置方案；3）若兩種設施的使用年限都為10年，請你說明在（2）的全部方案中，哪一種購置方案的總花費最少？（總花費＝設施購置費＋各樣保護費和電費）【答案】解：（1）設一臺甲型設施的價錢為x萬元，由題意3x+2×0.75x=54，解得x＝12，∵12×75%＝9，∴一臺甲型設施的價錢為12萬元，一臺乙型設施的價錢是9萬元設二期工程中,購置甲型設施a臺,由題意有12a+9(8-a)≤84①；200a+160(8-a)≥1300②，解得：1≤a≤4，2由題意a為正整數(shù),∴a＝1,2,3,4∴全部購置方案有四種,分別為4方案一:甲型1臺,乙型7臺；方案二:甲型2臺,乙型6臺方案三:甲型3臺,乙型5臺；方案四:甲型4臺,乙型4臺(3)設二期工程10年用于治理污水的總花費為W萬元，W=12a+9（8-a）+1×10a+1.5×10（8-a），化簡得:W=－2a＋192,∵W隨a的增大而減少∴當a＝4時,W最?。ㄖ饌€驗算也可）∴按方案四甲型購置4臺,乙型購置4臺的總花費最少.種類三、利用方程（組）、不等式（組）綜合知識進行方案設計3．在實行“中小學校舍安全工程”之際，某縣計劃對A、B兩類學校的校舍進行改造．依據(jù)展望，改造一所A類學校和三所B類學校的校舍共需資本480萬元，改造三所A類學校和一所B類學校的校舍共需資本400萬元．改造一所A類學校和一所B類學校的校舍所需資本分別是多少萬元？該縣A、B兩類學校共有8所需要改造．改造資本由國家財政和地方財政共同擔當，若國家財政撥付資本不超出770萬元，地方財政投入的資本許多于210萬元，此中地方財政投入到A、B兩類學校的改造資本分別為每所20萬元和30萬元，請你經(jīng)過計算求出有幾種改造方案，每個方案中A、B兩類學校各有幾所．【思路點撥】（1）等量關系為：改造一所A類學校和三所B類學校的校舍共需資本480萬元；改造三所A類學校和一所B類學校的校舍共需資本400萬元；2）關系式為：地方財政投資A類學校的總錢數(shù)+地方財政投資B類學校的總錢數(shù)≥210；國家財政投資A類學校的總錢數(shù)+國家財政投資B類學校的總錢數(shù)≤770．【答案與分析】解：(1)設改造一所A類學校的校舍需資本x萬元，改造一所B類學校的校舍需資本y萬元，x3y480x90則y，解得y.3x400130答：改造一所A類學校的校舍需資本90萬元，改造一所B類學校的校舍需資本130萬元．設A類學校應當有a所，則B類學校有(8－a)所．20a30(8≥210≤3，解得則≤770，(90-20)a≥1(13030)(8a)a1≤a≤3，即a＝1,2,3.答：有3種改造方案：方案一：A類學校有1所，B類學校有7所；5方案二：A類學校有2所，B類學校有6所；方案三：A類學校有3所，B類學校有5所．【總結(jié)升華】解決問題的重點是讀懂題意，找到重點描繪語，從而找到所求的量的等量關系．理解“國家財政撥付的改造資本不超出770萬元，地方財政投入的資本許多于210萬元”這句話中包含的不等關系是解決本題的重點．貫通融會：【變式】為表彰在“創(chuàng)造完滿教室”活動中表現(xiàn)踴躍的同學，老師決定購置文具盒與鋼筆作為獎品．已知5個文具盒、2支鋼筆共需100元；4個文具盒、7支鋼筆共需161元．(1)每個文具盒、每支鋼筆各多少元？(2)時逢“五一”，商鋪舉行“優(yōu)惠促銷”活動，詳細方法以下：文具盒“九折”優(yōu)惠；鋼筆10支以上高出部分“八折”優(yōu)惠．若買x個文具盒需要y1元，買x支鋼筆需要y2元，求y1、y2對于x的函數(shù)關系式；若購置同一種獎品，而且該獎品的數(shù)目超出10件，請你剖析買哪一種獎品省錢．【答案】解：(1)設每個文具盒x元，每支鋼筆y元，由題意得5x2y100x144x7y，解得y.16115答：每個文具盒14元，每支鋼筆15元．由題意知，y1對于x的函數(shù)關系式為y1＝14×90%x，即y1＝12.6x.由題意知，買鋼筆10支以下(含10支)沒有優(yōu)惠，故此時的函數(shù)關系式為y2＝15x.當買10支以上時，高出部分有優(yōu)惠，故此時的函數(shù)關系式為y2＝15×10＋15×80%(x－10)，即y2＝12x＋30.當y1<y2，即12.6x<12x＋30時，解得x<50；當y1＝y(tǒng)2，即12.6x＝12x＋30時，解得x＝50；當y1>y2，即12.6x>12x＋30時，解得x>50.綜上所述，當購置獎品等于10件但少于50件時，買文具盒省錢；當購置獎品等于50件時，買文具盒和買鋼筆錢數(shù)相等；當購置獎品超出50件時，買鋼筆省錢．種類四、利用函數(shù)知識進行方案設計64．（2015?深圳模擬）將220噸物質(zhì)從A地運往甲、乙兩地，用大、小兩種貨車共18輛，恰巧一次性運完這批物質(zhì)，已知這兩種貨車的載重量分別為15（噸/輛）和10（噸/輛），運往甲、乙兩地的運費如表1：（1）求這兩種貨車各需多少輛？（2）假如安排8輛貨車前去甲地，其他貨車前去乙地，設前去甲地的大貨車為a輛，填寫表2，寫出運費w（元）與a的函數(shù)關系式．若運往甲地的物質(zhì)許多于110噸，請設計出貨車分配方案，并求出最少運費．表1甲地（元/輛）乙地（元/輛）貨車700800小貨車400600表2．甲地乙地大貨車a輛輛小貨車輛輛【思路點撥】（1）設需要大貨車x輛，則需要小貨車（18﹣x）輛，依據(jù)兩種貨車的運貨總量為220噸成立方程求出其解即可（2）由安排8輛貨車前去甲地，其他貨車前去乙地，設前去甲地的大貨車為a輛，則甲地的小貨車為（8﹣a）輛，乙地的大貨車為（8﹣a）輛，小貨車（2+a）輛，由總運費=兩地花費之和就能夠表示會出W與a的關系式，由運往甲地的物質(zhì)許多于110噸成立不等式求出a的取值范圍，由一次函數(shù)的性質(zhì)就能夠求出結(jié)論．【答案與分析】解：（1）設需要大貨車x輛，則需要小貨車（18﹣x）輛，由題意，得15x+10（18﹣x）=220，解得：x=8，需要小貨車18﹣8=10輛．答：需要大貨車8輛，則需要小貨車10輛；（2）設前去甲地的大貨車為a輛，則甲地的小貨車為（8﹣a）輛，乙地的大貨車為（8﹣a）輛，小貨車（2+a）輛，表格2答案為：大貨車去乙地（8﹣a）輛，小貨車去甲、乙兩地各（8﹣a）輛，（2+a）輛．由題意，得7W=700a+800（8﹣a）+400（8﹣a）+600（2+a），W=100a+10800．15a+10（8﹣a）≥110，a≥6．∵k=100＞0，∴W隨a的增大而增大，∴a=6時，W最小=11400，∴運往甲地的大貨車6輛，小火車2輛，運往乙地的大貨車2輛，小火車8輛．最小運費為11400輛．【總結(jié)升華】本題主要考察了一次函數(shù)的應用以及不等式的解法和一次函數(shù)的最值問題，依據(jù)題意用x表示出運往各地的臺數(shù)是解決問題的重點．種類五、利用幾何知識進行方案設計【高清講堂：方案設計與決議型問題例1】5．某區(qū)規(guī)劃修筑一個文化廣場(平面圖形以下圖),此中四邊形ABCD是矩形，分別以AB、BC、CD、DA邊為直徑向外作半圓,若整個廣場的周長為628米，矩形的邊長AB=y米,BC=x米.(注：取π=3.14)試用含x的代數(shù)式表示y；(2)現(xiàn)計劃在矩形ABCD地區(qū)上栽種花草和鋪設鵝卵石等,均勻每平方米造價為428元,在四個半圓的區(qū)域上栽種草坪及鋪設花崗巖,均勻每平方米造價為400元；①設該工程的總造價為W元，求W對于x的函數(shù)關系式；②若該工程政府投入1千萬元，問可否達成該工程的建設任務？若能，請列出設計方案，若不可以，請說明原因.③若該工程在政府投入1千萬元的基礎上，又增添公司募捐資本64.82萬元，但要求矩形的邊BC的長不超出AB長的三分之二，且建設廣場恰巧用完全部資本，問：可否