第十五章傅立葉級(jí)數(shù)

PAGEPAGE1第十五章傅立葉級(jí)數(shù)選擇題設(shè)函數(shù)是以為周期的周期函數(shù),且在上有則的傅立葉級(jí)數(shù)在處收斂于()2.下列等式中()是錯(cuò)誤的3.已知函數(shù)在[-1,1]上的傅立葉級(jí)數(shù)是該級(jí)數(shù)的和函數(shù)是,則4.函數(shù)展開為傅立葉級(jí)數(shù),則應(yīng)()A.在外作周期延拓,級(jí)數(shù)在(-3,0),(0,3)上收斂于.B.作奇延拓,級(jí)數(shù)在(-3,0),(0,3)上收斂于C.作偶延拓,級(jí)數(shù)在[-3,3]上收斂于D.在作周期延拓,級(jí)數(shù)在[-3,3]收斂于5.設(shè)函數(shù),其中,則()6.若是以為周期的連續(xù)的奇函數(shù)，則的傅立葉系數(shù)的計(jì)算公式是7．設(shè)是以為周期的周期函數(shù)，且在區(qū)間上現(xiàn)已知的傅立葉級(jí)數(shù)是則該級(jí)數(shù)的和函數(shù)為（），；8．設(shè)其中則（）答案:ACDABCDC填空題1.若周期為的函數(shù)滿足__________條件,則在上能展開成傅立葉級(jí)數(shù).2.對(duì)僅定義在上的函數(shù),在求其傅立葉級(jí)數(shù)展開之前,需首先對(duì)進(jìn)行__________延拓.3.若周期函數(shù)滿足收斂定理的條件,則它對(duì)應(yīng)的傅立葉級(jí)數(shù)4.設(shè)則5.設(shè),則其以為周期的傅立葉級(jí)數(shù)在點(diǎn)處收斂于____________6.設(shè)函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)展開式為則其中系數(shù)7.設(shè)若是以的以為周期的Fourier級(jí)數(shù)展開式之和函數(shù)，則__________。8.設(shè)，已知是的以為周期的正弦級(jí)數(shù)展開式的和函數(shù)，則在內(nèi)，=______。9.設(shè)是以5為周期的周期函數(shù)，已知在(－2,3]內(nèi)， 。又設(shè)的傅立葉級(jí)數(shù)展開式的和函數(shù)為，則=______。10.設(shè)是以2為周期的周期函數(shù)，已知 又設(shè)的傅立葉級(jí)數(shù)展開式的和函數(shù)為，則=______。答案:1.狄立克雷.2.周期.3..41.5..6.7..8..9.10.證明題：1.設(shè)是以為周期的分段連續(xù)函數(shù),又滿足。求證的Fourier系數(shù)滿足。2.設(shè)是以為周期的分段連續(xù)函數(shù),又設(shè)是偶函數(shù)，且滿足。求證：的Fourier系數(shù)3．求證函數(shù)系是上的正交函數(shù)系4．設(shè)是以為周期的連續(xù)的偶函數(shù)。又設(shè)關(guān)于對(duì)稱，試證：的傅立葉系數(shù)：。5.設(shè)是以為周期的可微周期函數(shù)，又設(shè)連續(xù)，是的Fourier系數(shù)。求證：。答案:1.由Fourier系數(shù)計(jì)算公式，作變量替換，則于是類似可證。2.由Fourier系數(shù)計(jì)算公式及滿足的條件，有作變換，則因此,。3．證記則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，。所以是上的正交函數(shù)系。4．由關(guān)于對(duì)稱，故也就是 令，由是偶函數(shù)，故所以， 5.由分步積分法，對(duì)有又由連續(xù)，故存在，使當(dāng)時(shí)，。從而計(jì)算題：1.設(shè)是以為周期的分段連續(xù)函數(shù),又設(shè)是奇函數(shù)且滿足。試求的Fourier系數(shù)的值，。2.設(shè)以為周期，在區(qū)間內(nèi),試求的Fourier級(jí)數(shù)展開式。3.設(shè),求在內(nèi)的以為周期的Fourier級(jí)數(shù)展開式。4.設(shè)是以為周期的連續(xù)函數(shù),其Fourier系數(shù)為。試用表示函數(shù)的Fourier系數(shù)。答案:1.由是奇函數(shù)，故是偶函數(shù)，再由，故有作變換，則所以,。2.由Fourier系數(shù)的計(jì)算公式，。 又滿足Fourier級(jí)數(shù)收斂的Dirichlet條件， 故3.注意到是奇函數(shù)，故的Fourier系數(shù)因此由在內(nèi)分段單調(diào)，連續(xù)，且故