高中數(shù)學(xué)選擇性必修二 4.1.1數(shù)列的概念與簡單表示教學(xué)設(shè)計

4.1.1數(shù)列的概念與簡單表示教學(xué)設(shè)計

課題4.1.1數(shù)列的概念與簡單單元第一單元學(xué)科數(shù)學(xué)年級高二

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教材本節(jié)課是2019版高中數(shù)學(xué)（人教版）選擇性必修第二冊，第四章《數(shù)列》里的內(nèi)容，這一

分析節(jié)課主要學(xué)習(xí)數(shù)列的概念與簡單表示。主要涉及數(shù)列的概念、表示方法、分類、通項公式、

數(shù)列和函數(shù)之間的關(guān)系等。

數(shù)列是刻畫“離散”過程的重要數(shù)學(xué)模型，在日常生活中有著重要的應(yīng)用。學(xué)習(xí)數(shù)列對

深化函數(shù)的學(xué)習(xí)有著積極地意義，數(shù)列是以后學(xué)習(xí)極限的基礎(chǔ)，因此，數(shù)列在高中數(shù)學(xué)中占

有重要位置。數(shù)列的概念是學(xué)習(xí)數(shù)列的起點與基礎(chǔ)，因而建立數(shù)列的概念是本章教學(xué)的重點，

更是本節(jié)課教學(xué)的重點。

數(shù)列的概念、通項公式在學(xué)習(xí)過程中起著承上啟下的作用。一方面，在數(shù)列的概念的歸

納提煉及具體問題的解析過程中常會用到函數(shù)思想。通過學(xué)習(xí)本章能進一步加深對函數(shù)的認(rèn)

識、深化對函數(shù)思想方法的運用；另一方面，它們是本章的后續(xù)內(nèi)容一一等差數(shù)列，等比數(shù)

列的基礎(chǔ)；同時，通過這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，可以使學(xué)生強化運算能力、提升分析歸納能力。

1數(shù)學(xué)抽象：數(shù)列的概念與簡單表示、數(shù)列的分類

邏輯推理：求數(shù)列的通項公式

教學(xué)2

目標(biāo)3數(shù)學(xué)運算：運用數(shù)列通項公式求特定項

與4數(shù)學(xué)建模：數(shù)列的概念

核心

5直觀想象：數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系

素養(yǎng)

6數(shù)據(jù)分析：學(xué)習(xí)數(shù)列的概念與簡單表示、數(shù)列的分類及數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，同時類比已學(xué)

過的函數(shù)模型及其特征，提高學(xué)生數(shù)學(xué)判斷的能力，以及參與數(shù)學(xué)活動的能力

重點數(shù)列的概念及通項公式

難點數(shù)列的函數(shù)特征

教學(xué)過程

教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動學(xué)生活動設(shè)計意圖

導(dǎo)入新課

東晉詩人陶淵明勸學(xué)的故事，廣為人知。他曾通過古詩等具體

有名言如下：“勤學(xué)如春起之苗，不見其增，日有所長；情景引入的情景，激發(fā)學(xué)

輟學(xué)如磨刀之石，不見其損,日有所虧?！鄙d趣，引導(dǎo)學(xué)

如果每天用精密儀器對“春起之苗”進行測量，生運用數(shù)學(xué)思

則每天的苗的高都按日期排列，可以組成一個數(shù)維，發(fā)現(xiàn)問題、分

列。析問題，發(fā)展學(xué)

問題：什么是數(shù)列？生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)

學(xué)運算、數(shù)學(xué)建

模等核心素養(yǎng)。

講授新課

在現(xiàn)實生活和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)常需要根據(jù)

問題的意義，通過對一些數(shù)據(jù)按特定順序排列的方

法來刻畫研究對象。例如：

1,王芳從1歲到17歲，每年生日那天測量身通過具體例子的

高.將這些身高數(shù)據(jù)（單位：cm）依次排成一列數(shù)：分析，幫助學(xué)生

75,87,96,103,110,116,120,128,138,觀察、分析、歸

145,153,158,160,162,163,165,168.①納、總結(jié)出數(shù)列

記王芳第i歲時的身高為九，那么期=75,的概念。

h2=87,,,,,h17=168.

19尸?。?/p>

我們發(fā)現(xiàn)，中的i反映162發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽

151

153—

了身高按歲數(shù)從1到17的順象、數(shù)學(xué)建模的

145h—

序排列時的確定位置，即b=ISS核心素養(yǎng)

128

120

75是排在第1位的數(shù)，h2=116—

110-

87是排在第2位的數(shù)……103

96

87

h17=168是排在第17位的

75

數(shù)，它們之間不能交換位置.

所以，①是具有確定順序

的一列數(shù).由特殊到一般

地研究

2.在兩河流域發(fā)掘的一塊泥版（編號K90,%勺

產(chǎn)生于公元前7世紀(jì)）上，有一列依次表示一個下注：把滿月分

中從第1天到第15天每天月亮可見部分的數(shù)：成240份，則

5,10,20,40,80,96,112,128,144,160f從初一到十五

176,192,208,224,240.②每天月亮的可

2X.4S?1t見部分可用一

(((((<4

個代表份數(shù)的

1

■1??、??4

數(shù)來表示。

記第，天月亮可見部分的數(shù)為其，那么Si=5

s2=10,???,s15=240.這里，Si中的i反映了月

亮可見部分的數(shù)按日期從1到15的順序排列時的

確定位置，即Si=5是排在第1位的數(shù)，S2=10是

排在第2位的數(shù)……s*=240是排在第15位的數(shù)，

它們之間不能交換位置.

所以，②也是具有確定順序的一列數(shù).

3.-|的n次基按1次嘉、2次賽3次累、4

次鼎……依次排成一列數(shù)：

2，4，8，16,…⑦

思考

你能仿照上面的敘述，說明③也是具有確定順

序的一列數(shù)嗎？

歸納

上述例子的共同特征是什么？

數(shù)列的概念

一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)

通過數(shù)列概念的

稱為數(shù)列，數(shù)列中的每?個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.

解讀，并與集合、

數(shù)列的第一個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第1

函數(shù)概念作比

項，常用符號由表示，第二個位置上的數(shù)叫做這個

較，深化對數(shù)列

數(shù)列的第2項，用表示……第”個位置上的數(shù)叫

概念的理解。發(fā)

做這個數(shù)列的第n項，用與表示.其中第1項也叫

展學(xué)生數(shù)學(xué)抽

做首項.

象、邏輯推理和

①是按照年齡從小到大的順序排列的，

數(shù)學(xué)建模的核心

②是按每月的日期從小到大的順序排列的，

素養(yǎng)

③是按幕指數(shù)從小到大的順序排列的，它們都

是從第1項開始的.

數(shù)列的一般形式是

a2,…，an,-,簡記為｛an｝.

思考：

數(shù)列與集合｛%,。2,…，/i｝有什么區(qū)別?

提示：

數(shù)列集合

各項必須是數(shù)集合中的元素可以是數(shù)字，

也可以是其他形式

數(shù)列中的數(shù)是有順序的。集合中的元素具有無序性，

如1,2,3與2,3,1表如｛1,2,3)=｛2,3,1)

示不同的數(shù)列

同一個數(shù)在一個數(shù)列中可集合中的元素具有互異性，

以重復(fù)出現(xiàn)，如1,1,1,-如1,1,1,…組成的集合

只能寫為

數(shù)列與函數(shù)

由于數(shù)列｛aj中的每一項an和它的序號”有

下面的對應(yīng)關(guān)系：

序號123n

111I以前我們學(xué)過

項由a?…?n…的函數(shù)的自變

量是連續(xù)變化

所以數(shù)歹Maj是從正整數(shù)集NY或它的有限子的，而數(shù)列是

集｛1,2,…，〃｝)到實數(shù)集R的函數(shù)，其自變量自變量為離散

是序號n,對應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)列的第〃項即，記的數(shù)的函數(shù)

為冊=f(n).也就是說，當(dāng)自變量從1開始，按

照從小到大的順序依次取值時，對應(yīng)的一列函數(shù)值

f(l),f(2),f(n),...就是數(shù)列｛an｝.

另一方面，對于函數(shù)y=J[x),如果(n

N*)有意義，那么

/(I),/(2),...,f(n),...

構(gòu)成r一個數(shù)列｛人〃)｝.

與其他函數(shù)一樣，數(shù)列也可以用表格和⑷象來

表示.例如，數(shù)列①可以表示為表4.1-1

*4.1-1

它的圖象如圖4.1?1所示.

0123456789101112131415161718?

從表4.1-1和

數(shù)列的表示:圖4.1-1中，你

通過前面的學(xué)習(xí)，你能用幾種方法表示數(shù)列？能發(fā)現(xiàn)數(shù)列①

答案：①一般表示法的，a2,…，an,???中的項隨序號

例如：2,4,6,8,-簡記為{2〃}的變化呈現(xiàn)出

②通項公式法（或稱為解析表示法）的特點嗎？

例如：數(shù)列3,6,9,12,-

用通項公式法表示為：an=3n（ne

N,）

③列表法（略）

④圖象法（是一群孤立的點）

例如：數(shù)列T,1,-1,1,-1,1,—

⑤遞推公式法（下一節(jié)學(xué)習(xí)）

與函數(shù)類似，我們可以定義數(shù)列的單調(diào)性.從

第2項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列叫做遞

增數(shù)列；從第2項起，每一項都小了它的前一項的

數(shù)列叫做遞減數(shù)列.特別地，各項都相等的數(shù)列叫

做常數(shù)列.

數(shù)列的分類:

分類

名稱含義

標(biāo)準(zhǔn)

按項有窮數(shù)列項數(shù)有限的數(shù)列

的個

無窮數(shù)列項數(shù)無限的數(shù)列

數(shù)

從第圭項起，每一項都

遞增數(shù)列

大于它的前一項的數(shù)列

按項從第2項起，每一項都

遞減數(shù)列

的變小于它的前一項的數(shù)列

化趨常數(shù)列各項相等的數(shù)列

勢從第Z項起，有些項玨

擺動數(shù)列它的前一項，有些項小于

它的前一項的數(shù)列

數(shù)列的通項公式：

如果數(shù)列｛aj的第n項an與它的序號n之

間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子來去小，那么這個式

子叫做這個數(shù)列的通項公式.

注：

(1)數(shù)列的通項公式實際上是一個以正整數(shù)集

N*或它的有限子集｛1,2,3,…，n｝為定義域的函數(shù)

解析式.

(2)同所有的函數(shù)關(guān)系不一定都有解析式一

樣，并不是所有的數(shù)列都有通項公式.

(3)數(shù)列的通項公式不唯一

例如：-1,1,-1,1,…可以寫成例題鞏固

n

an=sin(rur+今和an=(-l)

例如數(shù)列③的通項公式為即=(一獷.顯然，

通項公式就是數(shù)列的函數(shù)解析式，根據(jù)通項公式可

以寫出數(shù)列的各項.

例題鞏固：

例1根據(jù)下列數(shù)列｛為J的通項公式，寫出數(shù)列

的前5項，并畫出它們的圖象.

,1、n2+n/與、(n-l)7r

a

(1)n—2(2)an—cos2，

解:(1)當(dāng)通項公式中的n=l,2,3,4,5時,數(shù)列

｛斯｝的前5項依次為1，3,6,10,15.

圖象如圖4.1-2(1)所示.

115F|;二ZTZ

■,一.tt■

■Jz

I61nX_-ttr

?I-rt■

1012345n1

圖4.1-2

(2)當(dāng)通項公式中的n=l,2,3,4,5時，數(shù)列｛斯｝

的前5項依次為1,0,-1,0,1

圖象如圖4.1-2(2)所示.

例2根據(jù)下列數(shù)列的前4項，寫出數(shù)列的一個

通項公式：

(1)1>-->->-…；

234

(2)2,0,2,0,….

解：(1)這個數(shù)列的前4項的絕對值都是序號

的倒數(shù)，并且奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負(fù)，所以它的

一個通項公式為

(一1嚴(yán)】

…n

(2)這個數(shù)列的前4項的奇數(shù)項是2,偶數(shù)項

是0,所以它的一個通項公式為

冊=(-1嚴(yán)1+1,

注：(-1尸或常常用來表示正負(fù)相間

的變化規(guī)律.

課堂練習(xí)：

1概念辨析

(1)數(shù)列｛an｝與an相同嗎？

(2)數(shù)列斯=/(n)與函數(shù)y=f(x)有什么關(guān)系？

提示：

(1)數(shù)列｛斯｝與冊是不相同的.

｛.｝表示數(shù)列:a1,a2,a3,…，an,…

而即表示數(shù)列｛即｝中的第n項.

(2)當(dāng)neN*或N*的有限子集時，y=f(x)就是

數(shù)列的通項公式，否則，y=/(x)與an=f(n)

完全不同.

y=/(x)的圖象是線，而即=/(九)的圖象是

y=/(N*)上的點("(D),(2,/(2)),-

2以數(shù)列2,4,6,8,10,…為例，你能用幾種方

法表示這個數(shù)列？

答案：

①通項公式法：an=2n(neN*)

②列表法

n123???k???

冊246…2k…

③圖象法

3根據(jù)以下數(shù)列的前4項寫出數(shù)列的一個通項公式

]111

①2義4'3義5'4X6'5義7'…；

②-3,7,-15,31,…；

③2,6,2,6,…

2468

④一，一二，-，,

3579

⑤或，V5,2V2,VT1,-

解：

①均是分式且分子均為1,分母均是兩因數(shù)的

積，第一個因數(shù)是項數(shù)加上1,第二個因數(shù)比第一

個因數(shù)大2,Aa=—

"n(n+l)(n+3)

②正負(fù)相間，且負(fù)號在奇數(shù)項，故可用(-1)"來

表示符號，各項的絕對值恰是2的整數(shù)次累減1,

...%=(-1尸(2計1-1)?

③為擺動數(shù)列，一般求兩數(shù)的平均數(shù)管=4,

而2=4—2,6=4+2,中間符號用(-1)”來表示.

2,n是奇數(shù)

n

an=4+(-l)?2或%=

6,n是偶數(shù)

④由題意得數(shù)列的通項公式為

斯=(一1嚴(yán)】懸(n€N"

⑤數(shù)列即V2,Vs,Vs,VT1,-

據(jù)此可得數(shù)列的通項公式為即=廝=1.

4已知數(shù)列｛an｝的每一項是它的序號的算術(shù)平方根

加上序號的2倍.

(1)求這個數(shù)列的第4項與第25項；

(2)253和153是不是這個數(shù)列中的項？如果

是，是第幾項？

解：

⑴由題設(shè)條件，知an=gi+2?i.

a4—V4+2x4=10

a2s=