張量和應力張量

關于張量和應力張量第1頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四1張量的基本概念1.1角標符號1.2求和約定1.3張量的基本概念1.4張量的某些基本性質(zhì)第2頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四1.1角標符號帶有下角標的符號稱為角標符號，可用來表示成組的符號或數(shù)組。例：直角坐標系的三根軸x、y、z→x1、x2、x3→xi(i=1，2，3)；空間直線的方向余弦l、m、n→lx、ly、lz→li(i=x，y，z)；表示一點應力狀態(tài)的九個應力分量σxx、σxy…→σij(i，j=x，y，z)；等等。第3頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四如果一個角標符號帶有m個角標，每個角標取n個值，則該角標符號代表nm個元素。例σij(i，j=x，y，z)有32=9個元素(即九個應力分量)。第4頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四1.2求和約定求和約定：如果在算式的某一項中有某個角標重復出現(xiàn)，就表示要對該角標自1～n的所有元素求和。例空間中的平面方程為：采用角標符號A、B、C→a1、a2、a3→ai(i=1，2，3)x，y，z→xi(i=1，2，3)上式可寫成：采用求和約定則可簡記為：第5頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四求和約定-合并例例1例2重復出現(xiàn)的角標稱為啞標，不重復出現(xiàn)的角標稱為自由標。自由標不包含求和的意思，但它可表示該表達式的個數(shù)。第6頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四求和約定-展開例例1例2例3第7頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四例4例5第8頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四例6第9頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四1.3張量的基本概念只需一個實數(shù)就可以表示出來簡單的物理量稱為標量。例如距離、時間、溫度等。需用空間坐標系中的三個分量來表示的物理量稱為矢量。例如位移、速度、力等。對于復雜的物理量，例如應力狀態(tài)、應變狀態(tài)等，需要用空間坐標系中的三個矢量(也即九個分量)才能完整地表示出來，這就是張量。張量是矢量的推廣，與矢量相類似，可以定義為：由若干個當坐標系改變時滿足轉(zhuǎn)換關系的分量所組成的集合稱為張量。第10頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四物理量P在空間坐標系xi(i=1，2，3)中存在九個分量Pij(i，j=1，2，3)；在新空間坐標系xk(k=1’，2’，3’)中存在九個新分量Pkr(k，r=1’，2’，3’)。坐標系間關系九個方向余弦可記為lki或lrj(i，j=1，2，3；k，r=1’，2’，3’)。由于cos(xk,xi)=cos(xi,xk)，所以lki=lik，

lrj=ljr。l3’3l3’2l3’1x3’l2’3l2’2l2’1x2’l1’3l1’2l1’1x1’x3x2x1第11頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四張量概念及其判別式若物理量P在坐標系xi中的九個分量Pij與在坐標系xk中的九個分量Pkr之間存在下列線性變換關系：則這個物理量則為張量。用矩陣表示：張量所帶的下角標的數(shù)目稱為張量的階數(shù)。Pij是二階張量，矢量是一階張量，而標量則是零階張量。第12頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四二階張量的判別式的矩陣形式第13頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四1.4張量的某些基本性質(zhì)存在張量不變量張量的分量一定可以組成某些函數(shù)f=f(Pij)，其值與坐標軸的選取無關，即不隨坐標而變，這樣的函數(shù)就叫做張量的不變量。對于二階張量，存在三個獨立的不變量。張量可以疊加和分解幾個同階張量各對應分量之和或差定義為另一同階張量。兩個相同的張量之差定義為零張量。第14頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四張量可分對稱張量、非對稱張量、反對稱張量若Pij=Pji，則為對稱張量；若Pij≠Pji，則為非對稱張量；若Pij=-Pji，則為反對稱張量。二階對稱張量存在三個主軸和三個主值如取主軸為坐標軸，則兩個下角標不同的分量都將為零，只留下兩個下角標相同的三個分量，稱為主值。第15頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四1.5應力張量外力確定后，受力物體內(nèi)任意點的應力狀態(tài)即已確定。但表示該點應力狀態(tài)的各個分量在不同坐標系中將有不同的數(shù)值，因此在不同坐標系中該點的應力分量之間應該存在一定的關系。設受力物體內(nèi)一點的應力狀態(tài)為：在xi(i=x，y，z)坐標系中為σij(i，j=x，y，z)；在xk(k=x’，y’，z’)坐標系中為σkr