自動(dòng)控制原理自控4根軌跡

2023/3/11繪制根軌跡的規(guī)則根軌跡的分支數(shù)根軌跡的連續(xù)性與對(duì)稱性根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)根軌跡的漸近線實(shí)軸上的根軌跡根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)根軌跡與虛軸的交點(diǎn)根軌跡的出射角與入射角2023/3/12根軌跡作圖步驟一、標(biāo)注開(kāi)環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)，縱橫坐標(biāo)用相同的比例尺；二、確定實(shí)軸上的根軌跡；三、畫出n-m條漸近線；四、計(jì)算根軌跡的出射角、入射角；五、計(jì)算根軌跡與虛軸的交點(diǎn)；六、計(jì)算根軌跡的分離點(diǎn)、會(huì)合點(diǎn)；七、繪制根軌跡。

注意：在判斷大致形狀時(shí)，需知道根軌跡的支數(shù)、連續(xù)性和對(duì)稱性。2023/3/13[例]設(shè)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)：試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。[解]：開(kāi)環(huán)零，極點(diǎn)分別為：-4-3-2-101-4-3-2-101234⑴根軌跡有四條⑵漸近線2023/3/14⑶實(shí)軸上根軌跡區(qū)間-4-3-2-101-4-3-2-101234⑷實(shí)軸上無(wú)分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)。⑸出射角：2023/3/15（6）與虛軸的交點(diǎn)勞思表：當(dāng)勞斯陣某一行全為零時(shí)，有共軛虛根。這時(shí)有：即為根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。特征方程：輔助方程為：解得共軛虛根：2023/3/16⑺繪制根軌跡圖-4-3-2-1012-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.5RealAxisImagAxis2023/3/174.3控制系統(tǒng)的根軌跡分析2023/3/18由給定參數(shù)確定閉環(huán)系統(tǒng)的零極點(diǎn)的位置；分析參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響；分析系統(tǒng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能；根據(jù)性能要求確定系統(tǒng)的參數(shù)；對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行校正。利用根軌跡，可對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)的性能進(jìn)行分析和校正2023/3/19[例]已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為應(yīng)用根軌跡法分析開(kāi)環(huán)放大系數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的影響，并計(jì)算時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)指標(biāo)。[解]k=2K2023/3/110k=0.64時(shí)，s1=-0.4,s2=-1.6①時(shí)，負(fù)實(shí)軸上。為負(fù)實(shí)數(shù)，在（-2,0）一段時(shí)，s1=-1,s2=-1②具有兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)根。時(shí),③具有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)。按根軌跡圖分析，K為任意值時(shí)，系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。2023/3/111時(shí)，由圖知閉環(huán)極點(diǎn)為：系統(tǒng)的性能指標(biāo)：最大超調(diào)上升時(shí)間峰值時(shí)間s1過(guò)渡過(guò)程時(shí)間:2023/3/1124.3.1系統(tǒng)閉環(huán)零、極點(diǎn)分布

與階躍響應(yīng)的關(guān)系由開(kāi)環(huán)→閉環(huán)極點(diǎn)的根軌跡求閉環(huán)極點(diǎn)確定閉環(huán)傳函閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能主要任務(wù)：2023/3/113一、用閉環(huán)零、極點(diǎn)表示的階躍響應(yīng)表達(dá)式

Ｎ階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可寫為：2023/3/114設(shè)輸入為單位階躍：r(t)=1(t),有：假設(shè)(s)中無(wú)重極點(diǎn)，上式分解為部分分式2023/3/1152023/3/116將C(s)表達(dá)式進(jìn)行拉式反變換得：從上式看出，系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)將由閉環(huán)極點(diǎn)及系數(shù)決定，而系數(shù)也與閉環(huán)零、極點(diǎn)分布有關(guān)。2023/3/117二、閉環(huán)零、極點(diǎn)分布與階躍響應(yīng)的定性關(guān)系穩(wěn)定性所有閉環(huán)極點(diǎn)位于s平面的左半部；復(fù)數(shù)極點(diǎn)設(shè)置在s平面中與負(fù)實(shí)軸成夾角線附近；平穩(wěn)性2023/3/118快速性閉環(huán)極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸；動(dòng)態(tài)過(guò)程盡快消失

小，閉環(huán)極點(diǎn)之間間距大,零點(diǎn)與極點(diǎn)間間距小。2023/3/119三、主導(dǎo)極點(diǎn)和偶極子主導(dǎo)極點(diǎn)：就是對(duì)動(dòng)態(tài)過(guò)程影響占主導(dǎo)地位的極點(diǎn)，一般是離虛軸最近的極點(diǎn)。2023/3/120偶極子：就是一對(duì)靠得很近的閉環(huán)零、極點(diǎn)。2023/3/121四、利用主導(dǎo)極點(diǎn)估算系統(tǒng)的性能指標(biāo)

既然主導(dǎo)極點(diǎn)在動(dòng)態(tài)過(guò)程中起主要作用，那么，計(jì)算性能指標(biāo)時(shí)，在一定條件下就可以只考慮暫態(tài)分量中主導(dǎo)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的分量，將高階系統(tǒng)近似看做一、二階系統(tǒng)，直接應(yīng)用第三章中計(jì)算性能指標(biāo)的公式和曲線。2023/3/122例試近似計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。解：這是三階系統(tǒng)，有三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)其零、極點(diǎn)分布如圖所示。某系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為2023/3/123

極點(diǎn)離虛軸最近，所以系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)為，而其他兩個(gè)極點(diǎn)可以忽略。2023/3/124例系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)試估計(jì)系統(tǒng)的性能指標(biāo)。2023/3/125解：

閉環(huán)零、極點(diǎn)分布如圖所示圖4-262023/3/126系統(tǒng)近似為二階系統(tǒng)對(duì)應(yīng)性能指標(biāo)2023/3/127例已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試應(yīng)用根軌跡法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并計(jì)算閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)具有阻尼比0.5時(shí)的性能指標(biāo)。2023/3/128解：圖4-27

根軌跡圖按步驟作出系統(tǒng)的根軌跡，如圖所示。2023/3/129分析系統(tǒng)穩(wěn)定性

在平面上畫出時(shí)的阻尼線。阻尼線與根軌跡交點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為，從圖上測(cè)得，與之共軛的復(fù)數(shù)極點(diǎn)為。

已知系統(tǒng)閉環(huán)特征方程及兩個(gè)極點(diǎn)，用長(zhǎng)除法求出第三個(gè)極點(diǎn)。使系統(tǒng)穩(wěn)定的開(kāi)環(huán)增益范圍是2023/3/1304.3.2系統(tǒng)階躍響應(yīng)的根軌跡分析例已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示。試畫出當(dāng)由時(shí)的閉環(huán)根軌跡，并分析對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過(guò)程的影響。2023/3/131解：系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)有兩個(gè)極點(diǎn)0，－2；有一個(gè)零點(diǎn)－4。此類帶零點(diǎn)的二階系統(tǒng)的根軌跡，其復(fù)數(shù)部分為一個(gè)圓，其圓心在開(kāi)環(huán)零點(diǎn)處，半徑為零點(diǎn)到分離點(diǎn)的距離。根軌跡如圖所示。2023/3/1322023/3/133分離會(huì)合點(diǎn)

對(duì)應(yīng)開(kāi)環(huán)增益當(dāng)開(kāi)環(huán)增益在（0～0.343）內(nèi)，閉環(huán)為兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)，系統(tǒng)在階躍信號(hào)下響應(yīng)為非周期的。當(dāng)開(kāi)環(huán)增益在（0.343～11.7）內(nèi)，閉環(huán)為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，其階躍響應(yīng)為振蕩衰減過(guò)程。2023/3/134下面求系統(tǒng)最小阻尼比對(duì)應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)。過(guò)原點(diǎn)做與根軌跡圓相切的直線，此切線與負(fù)實(shí)軸夾角的余弦即為系統(tǒng)的阻尼比。3.當(dāng)開(kāi)環(huán)增益在內(nèi)，閉環(huán)又為負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)，其階躍響應(yīng)又為非周期的。2023/3/135對(duì)應(yīng)閉環(huán)極點(diǎn)系統(tǒng)階躍響應(yīng)具有較好的平穩(wěn)性。2023/3/136例單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)試?yán)L出閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。解：此系統(tǒng)開(kāi)環(huán)有三個(gè)極點(diǎn)0，0，－10按步驟作出系統(tǒng)的根軌跡，如圖所示。由圖可知，開(kāi)環(huán)增益無(wú)論何值，系統(tǒng)均不穩(wěn)定。2023/3/137。2023/3/138附加零點(diǎn)后的根軌跡2023/3/1392023/3/140附加零點(diǎn)后的根軌跡2023/3/141因此：引入的附加零點(diǎn)要恰當(dāng)，才能使系統(tǒng)的性能有所改善。2023/3/142例正反饋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示，試?yán)L制開(kāi)環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益變化時(shí)的根軌跡。