機械故障診斷學(xué)-鐘秉林-第4章動態(tài)系統(tǒng)特性的頻譜分析

第4章動態(tài)系統(tǒng)特性的頻域分析

傅里葉變換

隨機信號的功率譜

極大熵譜、倒譜2023/3/21機械故障診斷理論與方法特征分析的目的：去偽存真（探討特征量的變更規(guī)律）去粗取精（選擇對工況最敏感的特征量）特征分析的手段：時域頻域及其各種變換域時頻域

概述2023/3/22在數(shù)學(xué)中，為了把較困難的運算轉(zhuǎn)化為較簡潔的運算，常常實行一種變換手段。積分變換（傅氏變換、拉氏變換）也是如此。2023/3/23數(shù)量的乘積或商對數(shù)的和或差對數(shù)變換原數(shù)量的乘積或商反對數(shù)一、傅里葉級數(shù)及頻譜

周期信號的傅里葉級數(shù)及幅值譜傅里葉變換：2023/3/24一個周期為T0且滿足狄利克雷（Dirichlet）條件的周期函數(shù)x(t)可以綻開成如下的傅里葉級數(shù)（Fourierseries）其中，狄利克雷（Dirichlet）條件：①連續(xù)或只有有限個第一類間斷點；②只有有限個極值點。常值分量：余弦重量幅值：正弦重量幅值：2023/3/25重復(fù)頻率：（例題）方波信號……T0T0T02T020tx(t)2023/3/264A4A34A50A()03050003050()/2幅值譜相位譜2023/3/27x(t)0tT02023/3/28方波信號可以看成一系列頻率不等的正弦波疊加而成。周期方波信號的時域、頻域（幅值、相位）描述2023/3/29n=0,1,2,…其中，傅里葉級數(shù)系數(shù)：傅立葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)形式：幅頻譜圖：|Fn|——實頻譜圖：FnR——虛頻譜圖：FnI

——相頻譜圖：n——2023/3/210

非周期信號的傅里葉變換非周期信號

準(zhǔn)周期信號信號中各簡諧成分的頻率比為無理數(shù)具有離散頻譜

瞬變信號在一定時間區(qū)間內(nèi)存在或隨時間的增長衰減至零x(t)0t準(zhǔn)周期信號x(t)=Asin9t+Asin[sqrt(31)t]x(t)0t瞬變信號

Ix(t)=exp(-t)*sint0tx(t)瞬變信號

II2023/3/2112023/3/212時域矩形周期信號傅里葉級數(shù)系數(shù)Fn時域矩形周期信號（周期增大）傅里葉級數(shù)系數(shù)Fn時域矩形周期信號（周期增大）Fn/0波形時域矩形周期信號（周期∞）周期∞時的頻譜2023/3/213從上圖可知，當(dāng)矩形脈沖的重復(fù)周期愈大，譜線愈靠近，即譜線間的間隔0=2π/T0變小，當(dāng)T0—>∞時，0—>0，則離散譜就變成連續(xù)譜了。這是我們就不能再利用傅里葉級數(shù)的方法來說明非周期信號頻譜，而必需接受頻譜密度的概念傅里葉變換公式：或：X(f)=2X()2023/3/2140為重復(fù)頻率=2πf（例題）求矩形窗函數(shù)w(t)的頻譜。1-T/2T/2tw(t)0fW(f)T01T1T3T3T2T2T(f)01T2T3T1T2T3Tf2023/3/215二、隨機信號的功率譜為自相關(guān)函數(shù)

自功率譜(自譜)密度函數(shù)

定義Sx(f)為x(t)的自功率譜密度函數(shù)（自譜或自功率譜）。2023/3/216留意到：即Sx(f)曲線與頻率軸所包圍的面積等于信號的平均功率（均方值），因此，Sx(f)反映了信號平均功率對頻率的變更率，表達了信號在單位頻帶寬度內(nèi)的功率。故稱為自功率譜密度函數(shù)。2023/3/217可以證明：即可以通過時域信號的傅氏變換獲得Sx

(f)。實際依據(jù)上式計算自譜時，只能在有限時間長度上獲得Sx(f)的估計值，這種方法稱為周期圖法。由于FFT的出現(xiàn)，使得該方法特殊便利、快捷，甚至在計算信號的自相關(guān)函數(shù)時通常也首先通過該方法獲得自譜，然后再經(jīng)由傅氏反變換獲得rx()，以提高rx()的計算速度。2023/3/218自譜的應(yīng)用：

線性系統(tǒng)幅頻特性辨識

檢測信號中的周期成分周期信號的頻譜是脈沖函數(shù)，但實際處理時，用矩形窗函數(shù)對信號進行了加窗截斷，在頻域成為陡峭的sinc函數(shù)，從而可以依據(jù)自譜中的陡峭譜峰確定相應(yīng)的周期信號。2023/3/2192023/3/220

互功率譜(互譜)密度函數(shù)

為相互關(guān)函數(shù)由于相互關(guān)函數(shù)非偶函數(shù)，因而Sxy(f)為復(fù)數(shù)。對線性系統(tǒng)，Sxy(f)=H(f)Sx(f)。

2023/3/221相干函數(shù)（凝合函數(shù)）相干函數(shù)是在頻域內(nèi)鑒別兩信號相關(guān)程度的指標(biāo)。例如對于測試系統(tǒng)，可以通過相干函數(shù)評價其輸入信號與輸出信號間的因果性，即輸出信號的功率譜中有多少是由所測試輸入信號所引起的響應(yīng)。

2023/3/222船用柴油機潤滑油泵壓油管振動和壓力脈動間的相干分析潤滑油泵轉(zhuǎn)速為n=781rpm，油泵齒輪的齒數(shù)為z=14，測得油壓脈動信號x(t)和壓油管振動信號y(t)，壓油管壓力脈動的基頻為f0=nz/60=182.24(Hz).

由圖c可以看到，當(dāng)f=f0=182.24Hz時，γ2xy(f)=0.3；當(dāng)f=2f0=361.12Hz時，γ2xy(f)=0.37；當(dāng)f=3f0=546.54Hz時，γ2xy

(f)=0.4；當(dāng)f=4f0=722.24Hz時；γ2xy(f)=0.75...，齒輪引起的各次諧頻對應(yīng)的相干函數(shù)值都比較大，而其它頻率對應(yīng)的相干函數(shù)值很小，由此可見，油管的振動主要是由油壓脈動引起的。從x(t)和y(t)的自譜圖也明顯可見油壓脈動的影響(圖a,b所示）。2023/3/223潤滑油泵轉(zhuǎn)速n=781rpm，油泵齒輪齒數(shù)z=14。油壓脈動的基頻為f0=nz/60=182.24Hz。

結(jié)論：油管振動由油壓脈動引起。船用柴油機潤滑油泵壓油管振動和壓力脈動間的相干分析:

三、極大熵譜傳統(tǒng)的功率譜估計是從已知的等n+1個自協(xié)方差函數(shù)的估計值作傅里葉變換求得，此法的優(yōu)點是簡潔便于實現(xiàn)，缺點是估計的方差較大，譜的辨別率與數(shù)據(jù)長度的倒數(shù)有關(guān)，不適宜于短數(shù)據(jù)段。這些缺點都來自于窗函數(shù)之外的數(shù)據(jù)為零，在窗函數(shù)之外的自協(xié)方差函數(shù)也假定為零。2023/3/2251967年Burg提出了這個問題，他的解決思路是用外推法計算，因為是未知的，我們并沒有任何先驗信息，因此它們的取值是最隨機的，即對的熵或熵率，應(yīng)取最大值，若從數(shù)學(xué)上描述，其必要條件為：

2023/3/226極大熵譜：ARMA模型的自譜函數(shù)2023/3/227因為j<0時，Gj=0，故有：2023/3/228留意到：因此有：即ARMA(n,m)模型的自譜函數(shù)為：2023/3/229AR譜：極大熵譜：若AR模型適用，則AR譜與極大熵譜等價。2023/3/230倒譜分析也稱為二次頻譜分析，是檢測困難譜圖中周期重量的有力工具工程上實測的振動、噪聲信號往往不是振源信號本身，而是振源/音源信號經(jīng)傳遞系統(tǒng)到測點輸出信號。

四、倒譜2023/3/231上式表明，時域中信號的卷積關(guān)系在倒譜上表現(xiàn)為信號迭加。2023/3/232鋼帶速度的檢測2023/3/233地下管道泄漏的檢測漏損處K視為向兩側(cè)傳播聲響的聲源,漏油的音響傳至兩傳感器就有時差,在相互關(guān)圖上時差處有最大值.2023/3/234發(fā)動機與司機座的振動相關(guān)性較差，而后橋與司機座振動相互關(guān)較大，即：司機座的振動主要由汽車后輪的振動引起的。司機坐振動源分析2023/3/235主管路上測點A的壓力正常，分支管路的輸出點B的壓