2023版中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第六章圖形的變化提分小專題十二-類型二 圖形折疊的證明

提分小專題十二

圖形折疊的計(jì)算與證明類型二圖形折疊的證明

針對(duì)中考22題精講1典例精講2提分訓(xùn)練1.（2019山西第22題·11分）綜合與實(shí)踐動(dòng)手操作：第一步，如圖1，正方形紙片ABCD沿對(duì)角線AC所在的直線折疊，展開(kāi)鋪平.再沿過(guò)點(diǎn)C的直線折疊，使點(diǎn)B，點(diǎn)D都落在對(duì)角線AC上.此時(shí)，點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，記為點(diǎn)N，且點(diǎn)E，點(diǎn)N，點(diǎn)F在同一條直線上，折痕分別為CE，CF.如圖2.第二步：再沿AC所在的直線折疊，△ACE與△ACF重合，得到圖3.第三步：在圖3的基礎(chǔ)上繼續(xù)折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)F重合，如圖4，展開(kāi)鋪平，連接EF，F(xiàn)G，GM，ME，如圖5.圖中的虛線為折痕.典例精講

掌握通性通法

2019/第22題問(wèn)題解決:（1）在圖5中，∠BEC的度數(shù)是

，

的值是

.解：67.5°

（2）在圖5中，請(qǐng)判斷四邊形EMGF的形狀，并說(shuō)明理由.分析

要證明四邊形EMGF是矩形，要聯(lián)想矩形的三種判定方法，根據(jù)正方形ABCD在圖1—圖3中是沿著角分線折疊，并且圖中所有角都可計(jì)算出其大小.下面呈現(xiàn)兩種較為簡(jiǎn)潔的思路.思路一：三個(gè)角是90°的四邊形是矩形.如圖析1.（2）在圖5中，請(qǐng)判斷四邊形EMGF的形狀，并說(shuō)明理由.分析思路二：有一個(gè)角是90°的平行四邊形是矩形.如圖析2，連接PQ.（2）在圖5中，請(qǐng)判斷四邊形EMGF的形狀，并說(shuō)明理由.解：（2）四邊形EMGF是矩形.理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B

=∠BCD=∠D

=90°.由折疊可知：∠1=∠2=∠3=∠4，CM=CG，∠BEC

=∠NEC=∠NFC

=∠DFC，∴∠1=∠2=∠3=∠4==22.5°.∴∠BEC=∠NEC=∠NFC=∠DFC=67.5°.由折疊可知：MH，GH分別垂直平分EC，F(xiàn)C，∴MC=ME，GC=

GF.∴∠5=∠1=22.5°，∠6=∠4=22.5°.∴∠MEF=∠GFE=90°.

∵∠MCG=90°，CM=CG，∴∠CMG=45°.又∵∠BME=∠1+∠5=45°，∴∠EMG=180°-∠CMG-∠BME=90°.∴四邊形EMGF是矩形.（3）在不增加字母的條件下，請(qǐng)你以圖5中的字母表示的點(diǎn)為頂點(diǎn)，動(dòng)手畫(huà)出一個(gè)菱形（正方形除外），并寫(xiě)出這個(gè)菱形:

.（3）答案不唯一，畫(huà)出正確圖形（一個(gè)即可）.如答圖2，菱形FGCH（如答圖3，菱形EMCH）.證明四邊形EMCH（HCGF）是菱形有多種方法，請(qǐng)?jiān)囋嚳?

提分筆記課題學(xué)習(xí)：正方形折紙中的數(shù)學(xué).動(dòng)手操作:如圖1，四邊形ABCD是一張正方形紙片，先將正方形ABCD對(duì)折，使BC與AD重合，折痕為EF，把這個(gè)正方形展平，然后沿直線CG折疊，使B點(diǎn)落在EF上，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B'.提分訓(xùn)練

方法觸類旁通數(shù)學(xué)思考:（1）求∠CB'F的度數(shù).（2）如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，連接AB'，試判斷∠B'AE與∠GCB'的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由.由折痕EF你能得到什么結(jié)論？由折痕CG你能得到什么結(jié)論？聯(lián)想之前所學(xué)的知識(shí)（2）如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，連接AB'，試判斷∠B'AE與∠GCB'的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由.解：（2）∠B'AE=∠GCB'.理由如下：如答圖1，連接DB'，BB'，其中BB'交CG于點(diǎn)K，由對(duì)折可知，EF垂直平分AB.∴B'A=B'B.∴∠B'AE=∠B'BE.∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°.∴∠B'BE+∠KBC=90°.由折疊知，∠BKC=90°，∴∠KBC+∠GCB=90°.∴∠B'BE=∠GCB.又由折疊知，∠GCB=∠GCB'，∴∠B'AE=∠GCB'.解決問(wèn)題：（3）如圖3，按以下步驟進(jìn)行操作：第一步：先將正方形ABCD對(duì)折，使BC與AD重合，折痕為EF，把這個(gè)正方形展平，然后繼續(xù)對(duì)折，使AB與DC重合，折痕為MN，再把這個(gè)正方形展平，設(shè)EF和MN相交于點(diǎn)O.第二步：沿直線CG折疊，使B點(diǎn)落在EF上，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B'，再沿直線AH折疊，使D點(diǎn)落在EF上，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D'.第三步：設(shè)CG，AH分別與MN相交于點(diǎn)P，Q，連接B'P，PD'，D'Q，QB'，試判斷四邊形B'PD'Q的形狀，并證明你的結(jié)論.變式探究：（4）如圖4，若將題干中的