2021-2022學(xué)年安徽省滁州市定遠(yuǎn)縣高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年安徽省滁州市定遠(yuǎn)縣高一下學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若，且與也互相垂直，則k的值為（

）A． B．6 C．3 D．【答案】B【分析】首先根據(jù)向量垂直得到其數(shù)量積等于零，之后結(jié)合題中條件，得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，且，所以，解得，故選：B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)向量的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有向量垂直的條件，向量數(shù)量積運(yùn)算公式，屬于簡(jiǎn)單題目.2．已知，，且，則與的夾角為A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：由題意，得，解得，即與的夾角為；故選B．【解析】1.平面向量的數(shù)量積；2.平面向量的夾角．3．在中，，，，則b的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)，求出，再由正弦定理，求解即可.【詳解】在中，由正弦定理可知即.故選：A.4．如圖，設(shè)，兩點(diǎn)在河的兩岸，測(cè)量者在所在的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)，測(cè)出的距離為50m，，后，就可以計(jì)算出，兩點(diǎn)間的距離為（

）A．m B．m C．m D．m【答案】A【分析】求出角后，根據(jù)正弦定理可解得結(jié)果.【詳解】，由正弦定理得，∴，故，兩點(diǎn)的距離為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，考查了三角形的內(nèi)角和定理，屬于基礎(chǔ)題.5．設(shè)的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為,，，若，，，則A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【詳解】由余弦定理可得：，即：，整理可得：，結(jié)合可得：.本題選擇A選項(xiàng).6．如圖四邊形ABCD為平行四邊形，，若，則的值為A． B． C． D．1【答案】D【分析】選取為基底將向量進(jìn)行分解，然后與條件對(duì)照后得到的值．【詳解】選取為基底，則，又，將以上兩式比較系數(shù)可得．故選D．【點(diǎn)睛】應(yīng)用平面向量基本定理應(yīng)注意的問題（1）只要兩個(gè)向量不共線，就可以作為平面的一組基底，基底可以有無窮多組，合理地選擇基底會(huì)給解題帶來方便；（2）利用已知向量表示未知向量，實(shí)質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加減運(yùn)算或數(shù)乘運(yùn)算；（3）一個(gè)向量按照同一組基底進(jìn)行分解后，所得結(jié)果具有唯一性．7．復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【詳解】,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,在第四象限，故選D.8．一個(gè)圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，則這個(gè)圓柱的表面積與側(cè)面積的比值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，得到圓柱的高和底面半徑之間的關(guān)系，然后求出圓柱的表面積和側(cè)面積即可得到結(jié)論．【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，圓柱的高為，圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，，圓柱的側(cè)面積為，圓柱的兩個(gè)底面積為，圓柱的表面積為，圓柱的表面積與側(cè)面積的比為：，故選：．9．已知，是虛數(shù)單位.若與互為共軛復(fù)數(shù)，則A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【詳解】試題分析：,所以互為共軛復(fù)數(shù)為，即，所以，故選D.【解析】1.復(fù)數(shù)相關(guān)的概念；2.復(fù)數(shù)的運(yùn)算.10．如圖，平面α與平面β相交于BC，AB?α，CD?β，點(diǎn)A?BC，點(diǎn)D?BC，則下列敘述錯(cuò)誤的是（

）A．直線AD與BC異面B．過AD只有唯一平面與BC平行C．過點(diǎn)D只能作唯一平面與BC垂直D．過AD一定能作一平面與BC垂直【答案】D【分析】根據(jù)異面直線的判定定理、定義和性質(zhì)，結(jié)合線面垂直與平行的判定定理，對(duì)選項(xiàng)中的命題逐個(gè)判斷即可【詳解】解：對(duì)于A，由異面直線的判定定理知，直線AD與BC異面，所以A正確；對(duì)于B，根據(jù)異面直線的性質(zhì)知，過AD只有唯一平面與BC平行，所以B正確；對(duì)于C，由線面平行和垂直的判定定理知，過點(diǎn)D只能作唯一平面與BC垂直，所以C正確；對(duì)于D，由異面直線的性質(zhì)知，只有當(dāng)AD和BC異面垂直時(shí)，過AD一定能作一平面與BC垂直，否則不存在過AD的平面與BC垂直，所以D錯(cuò)誤，故選：D【點(diǎn)睛】此題考查了異面直線的定義、判斷定理和性質(zhì)的應(yīng)用問題，考查了線面平行和垂直的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.11．已知，為不同的平面，a，b，c為不同的直線，則下列說法正確的是（

）A．若，，則a與b是異面直線 B．若a與b異面，b與c異面，則a與c異面C．若a，b不同在平面內(nèi)，則a與b異面 D．若a，b不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，則a與b異面【答案】D【分析】直接利用直線和平面的位置關(guān)系和異面直線的定義判斷A、B、C、D的結(jié)論．【詳解】已知，為不同的平面，，，為不同的直線，對(duì)于A：若，，則與是異面直線或平行直線或相交直線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若與是異面直線，與是異面直線，則與也可能是異面直線或平行直線，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，不同在平面內(nèi)，則與是異面直線或平行直線或相交直線，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：根據(jù)異面直線的定義，若，不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，則與是異面直線，故D正確．故選：D12．已知向量，，設(shè)函數(shù)，則下列關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)的描述正確的是A．關(guān)于直線對(duì)稱 B．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．周期為 D．在上是增函數(shù)【答案】D【詳解】當(dāng)時(shí),,∴f(x)不關(guān)于直線對(duì)稱；當(dāng)時(shí),,∴f(x)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；f(x)得周期，當(dāng)時(shí),,∴f(x)在上是增函數(shù)．本題選擇D選項(xiàng).二、填空題13．已知一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為120°的扇形，圓錐底面圓的半徑為1，則該圓錐的體積為_______.【答案】【分析】根據(jù)底面圓的半徑求出展開圖扇形的弧長(zhǎng)，再求出圓錐的母線長(zhǎng)，得出錐體的高，即可求解體積.【詳解】因?yàn)閳A錐底面圓的半徑為1，所以側(cè)面展開圖扇形的弧長(zhǎng)為，因?yàn)閳A心角為120°，所以圓錐的母線即展開圖扇形的半徑為，所以圓錐的高為，所以該圓錐的體積.故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查利用扇形弧長(zhǎng)公式求圓錐的母線長(zhǎng)再求錐體的高，進(jìn)而求出錐體體積，屬于簡(jiǎn)單題目.14．如圖，過正方體的頂點(diǎn)、與棱的中點(diǎn)的平面與底面所在平面的交線記為，則與的位置關(guān)系為_________.【答案】【解析】利用面面平行的性質(zhì)定理可得出與的位置關(guān)系.【詳解】如圖所示，連接、，在正方體中，平面平面，且平面平面，平面平面，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用面面平行的性質(zhì)定理判斷兩直線的位置關(guān)系，在判斷時(shí)應(yīng)注意面面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用條件，考查推理能力，屬于中等題.15．如圖，點(diǎn)P在平面ABC外，點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，E在線段PA上，則直線AB，BC，AC，EF，AP，BP中有______對(duì)異面直線．【答案】5【分析】根據(jù)異面直線的定義判斷即可．【詳解】根據(jù)圖形，異面直線共5對(duì)，分別是AB與EF，BC與AP，AC與BP，AC與EF，BP與EF．故答案為：516．如圖所示，為測(cè)量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn).從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角∠MAN=60°，C點(diǎn)的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°，從C點(diǎn)測(cè)得∠MCA=60°.已知山高BC=500m，則山高M(jìn)N=______m.【答案】750【分析】利用直角三角形求出，再由正弦定理求出，然后利用直角三角形求出【詳解】在中，，所以，在中，，則，由正弦定理得，，所以，在中，，所以，故答案為：750三、解答題17．已知的三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（1）若，求；（2）若，求的最大值以及取得最大值時(shí)的值.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)由已知可得，由，可得，，可得的值；（2）由、及正弦定理可得，由輔助角公式可得的最大值以及取得最大值時(shí)的值.【詳解】解：∵，∴.∵，∴.（1）∵，∴.∴.∴.（2）由得，.，其中.令銳角滿足.則，∵，∴.當(dāng)時(shí)，取得最大值1，相應(yīng)取得的最大值.此時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理、余弦定理、三角函數(shù)求值等知識(shí)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.18．一緝私艇在處發(fā)現(xiàn)在其北偏東方向，距離的海面處有一走私船正以的速度沿南偏東方向逃竄.緝私艇的速度為.若要在最短時(shí)間內(nèi)追上該走私船，緝私艇應(yīng)沿北偏東的方向去追，求追上走私船所需的時(shí)間和角的正弦值.【答案】時(shí)間為，【解析】畫圖分析,設(shè)經(jīng)過后緝私艇在處追上走私船,再將三角形的各邊長(zhǎng)用關(guān)于的式子表達(dá),再根據(jù)余弦定理求解得,再利用正弦定理求解角的正弦值即可.【詳解】設(shè)經(jīng)過后緝私艇在處追上走私船（如圖所示）.據(jù)題意,得.在中,由余弦定理,得.解得（舍去）.∴.由正弦定理,得.∴所需時(shí)間為,角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正余弦定理在實(shí)際情景中的運(yùn)用,需要根據(jù)題意設(shè)變量表示各邊,利用正余弦定理去求解.屬于基礎(chǔ)題.19．如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，點(diǎn)在上，，.（1）證明：平面；（2）若是中點(diǎn)，點(diǎn)在上，平面，求線段的長(zhǎng).【答案】（1）見解析（2）【分析】（1）由底面是平行四邊形，可得，利用線面平行的判定定理可得結(jié)果；（2）設(shè)過與平面平行的平面與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，由面面平行的性質(zhì)定理可得，，可證明平面，得到，由平行線的性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】（1）∵底面是平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面；（2）∵平面，∴可設(shè)過與平面平行的平面與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則，，又是平行四邊形，，∴，∴平面，∴，∵是中點(diǎn)，∴是中點(diǎn)，∵，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的判定定理與面面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用，屬于中檔題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個(gè)定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面.20．在△ABC中，角A，B，C，所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知sinA+sinC=psinB（p∈R）．且ac=b2．（1）當(dāng)p=，b=1時(shí)，求a，c的值；（2）若角B為銳角，求p的取值范圍．【答案】（1）a=1，c=或a=，c=1（2）＜p＜【詳解】（1）解：由題設(shè)并利用正弦定理得故可知a，c為方程x2﹣x+=0的兩根，進(jìn)而求得a=1，c=或a=，c=1（2）解：由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB=p2b2﹣b2cosB﹣，即p2=+cosB，因?yàn)?＜cosB＜1，所以p2∈（，2），由題設(shè)知p∈R，所以＜p＜或﹣＜p＜﹣又由sinA+sinC=psinB知，p是正數(shù)故＜p＜即為所求21．如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑：一種是從A處沿直線步行到C處；另一種是先從A處沿索道乘纜車到B處，然后從B處沿直線步行到C處，現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50m·min-1.在甲出發(fā)2min后，乙從A處乘纜車到B處，在B處停留1min后，再?gòu)腂處勻速步行到C處假設(shè)纜車的速度為130m·min-1，山路AC長(zhǎng)為1260m，經(jīng)測(cè)量，.（1）乙出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間后，乙在纜車上與甲的距離最短？（2）為使甲、乙在C處互相等待的時(shí)間不超過3min，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？【答案】（1）乙出發(fā)后，乙在纜車上與甲的距離最短；（2）乙步行的速度應(yīng)控制在（單位：）【解析】（1）依題意，可求得與，從而可求得；在中，利用正弦定理即可求得山路的長(zhǎng)，設(shè)乙出發(fā)min后，甲、乙距離為dm，此時(shí)，甲行走了，乙距離處，應(yīng)用余弦定理表示出，求得結(jié)果；（2）由正弦定理可求得，設(shè)乙的步行速度為，依題意，解不等式即可求得結(jié)果.【詳解】（1），，，，，.由，得，∴乙在纜車上的時(shí)間為.設(shè)乙出發(fā)min后，甲、乙距離為dm，則，∴當(dāng)時(shí)，即乙出發(fā)后，乙在纜車上與甲的距離最短.（2）由，得.乙從B處出發(fā)時(shí)，甲已經(jīng)走了，還需走710m才能到達(dá)C處，設(shè)乙步行的速度為，則，解得.∴為使甲、乙在C處互相等待的時(shí)間不超過3min，乙步行的速度應(yīng)控制在（單位：）的范圍內(nèi).【點(diǎn)睛】在運(yùn)用解三角形的知識(shí)解決實(shí)際問題時(shí)，首先要分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意正確畫出示意圖，從而將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題，解題中要注意體會(huì)正、余弦定理“聯(lián)袂”使用的好處.22．如圖，在三棱柱中，，，分別為，，的中點(diǎn)．(1)求證：平面平面；(2)若平面，求證：為的中點(diǎn)．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析．【分析】（1）由已知可得，得到平面，同理得到平面，再由面面平行的判定可得平面平面；（2）由公理及平面與平面平行的性質(zhì)得，則，由為的中點(diǎn)，可得為的中點(diǎn)．【詳解】（1）證明：如圖，，分別為，的中點(diǎn)，，平面，平面，平面，又，分別為，的中點(diǎn)，，又，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，平面，又，平面，平面平面；（2）