2023春九年級數(shù)學(xué)下冊24.6.2正多邊形的性質(zhì)學(xué)案（新版）滬科版

PAGEPAGE324．6.2正多邊形的性質(zhì)學(xué)前溫故1．正三角形有三條對稱軸．2．正三角形ABC的邊長為a，那么其外接圓的半徑為eq\f(\r(3),3)a，內(nèi)切圓半徑為eq\f(\r(3),6)a.新課早知1．定理：任何正多邊形都有一個外接圓和內(nèi)切圓，這兩個圓同心．2．把一個正多邊形的外接圓和內(nèi)切圓的公共圓心叫做正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，內(nèi)切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距，正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角，正n邊形的每個中心角都等于eq\f(360°,n).3．正多邊形都是軸對稱圖形．如果正多邊形有偶數(shù)條邊，那么它又是中心對稱圖形．正多邊形的有關(guān)計算【例1】如圖，正n邊形邊長為a，邊心距為r，求：正n邊形的半徑R，周長P和面積S.分析：正多邊形都有一個外接圓，利用外接圓求解，將正多邊形的問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題．解：如圖，∵OM⊥AB于M，∴AM＝BM＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)a.在Rt△AOM中，R＝eq\r(OM2＋AM2)＝eq\r(r2＋(\f(1,2)a)2)＝eq\r(r2＋\f(1,4)a2).∵正n邊形邊長為a，∴正n邊形周長P＝na.∵△AOB的面積＝eq\f(1,2)AB×OM＝eq\f(1,2)ar，在正n邊形中，這樣的三角形共有n個，正n邊形面積S＝eq\f(1,2)nar.點撥：正n邊形的半徑R，邊心距r和邊長的一半恰好構(gòu)成直角三角形，在正n邊形中，共有2n個這樣的直角三角形．【例2】如圖(1)，求中心在坐標原點O，頂點A、D在x軸上，半徑為4cm的正六邊形ABCDEF的各個頂點的坐標．分析：根據(jù)正六邊形的半徑可直接得出點A和點D的坐標，連接OB、OC，構(gòu)造出直角三角形OBG，求出點B的坐標，根據(jù)正六邊形的對稱性可求出其他各頂點的坐標．解：連接OB、OC，如圖(2)．∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠BOC＝(eq\f(360,6))°＝60°.∵OB＝OC，∴△BOC為正三角形．又∵正六邊形關(guān)于y軸對稱，∴∠BOG＝30°.在Rt△BOG中，∠OGB＝90°，OB＝4cm，BG＝eq\f(1,2)BO＝2cm，OG＝eq\r(OB2－BG2)＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3)(cm)．∴點B的坐標為(－2，－2eq\r(3))．由正六邊形的軸對稱性和中心對稱性可知C(2，－2eq\r(3))、E(2,2eq\r(3))、F(－2,2eq\r(3))、A(－4,0)、D(4,0)．點撥：利用正多邊形的半徑、邊心距和邊長的一半組成的直角三角形是求正多邊形中的有關(guān)線段的長，解決正多邊形計算題的常用的方法．1．如圖，△PQR是⊙O的內(nèi)接正三角形，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，BC∥QR，那么∠AOQ等于()．A．60° B．65°C．72° D．75°答案：D2．以下軸對稱圖形中，對稱軸條數(shù)最少的是()．A．等邊三角形 B．正方形C．正六邊形 D．圓答案：A3．以下說法不正確的選項是()．A．圓內(nèi)接正n邊形的中心角為eq\f(360°,n)B．各邊相等，各角相等的多邊形是正多邊形C．各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形D．各角相等的多邊形是正多邊形答案：D4．正n邊形的周長為P，邊心距為r，求：正n邊形的面積S.解：周長P＝na(其中a表示正n邊形的邊長)，正n邊形面積S＝eq\f(1,2)nar，所以正n邊形面積S＝eq\f(1,2)nar＝eq\f(1,2)Pr.5．如圖，要在圓形的鐵片上剪出一個邊長為a的正三角形的鐵片，圓形鐵片的半徑至少是多少？解：連接OB、OC，過點O作OD⊥BC于點D.∵△BAC是正三角形，∴∠BOC=(eq\f(360°,3))°=120°.∵OB=OC，OD⊥BC于點D，∴∠BOD=60°，∠OBD=30°，BD=eq\f(1,2)BC=eq\f(1,2)