剛體的定軸轉(zhuǎn)動

1

剛體：在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體．(任意兩質(zhì)點間距離保持不變的特殊質(zhì)點組．)剛體的運動形式：平動、轉(zhuǎn)動．⑴剛體是理想模型⑵剛體模型是為簡化問題引進(jìn)的．說明：2

剛體平動質(zhì)點運動

平動：剛體中所有點的運動軌跡都保持完全相同．

特點：各點運動狀態(tài)一樣，如：等都相同．3轉(zhuǎn)動：分定軸轉(zhuǎn)動和非定軸轉(zhuǎn)動剛體的平面運動

4剛體的一般運動可看作：隨質(zhì)心的平動繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動+的合成5沿逆時針方向轉(zhuǎn)動一剛體轉(zhuǎn)動的角速度和角加速度角位移

角坐標(biāo)沿順時針方向轉(zhuǎn)動<0q0>q角速度矢量

方向:右手螺旋方向P’(t+dt).OxP(t)r.6角加速度

剛體定軸轉(zhuǎn)動(一維轉(zhuǎn)動)的轉(zhuǎn)動方向可以用角速度的正、負(fù)來表示.7(1)

每一質(zhì)點均作圓周運動，圓面為轉(zhuǎn)動平面；(2)

任一質(zhì)點運動均相同，但不同；定軸轉(zhuǎn)動的特點

(3)

運動描述僅需一個角坐標(biāo)．8二勻變速轉(zhuǎn)動公式

剛體繞定軸作勻變速轉(zhuǎn)動質(zhì)點勻變速直線運動

當(dāng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的角加速度

=常量時，剛體做勻變速轉(zhuǎn)動．9三角量與線量的關(guān)系10

例1在高速旋轉(zhuǎn)的微型電動機(jī)里，有一圓柱形轉(zhuǎn)子可繞垂直其橫截面并通過中心的轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)．開始起動時，角速度為零．起動后其轉(zhuǎn)速隨時間變化關(guān)系為：式中．求：(1)t=6s時電動機(jī)的轉(zhuǎn)速．(2)起動后，電動機(jī)在t=6s時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)．(3)角加速度隨時間變化的規(guī)律．11(2)

電動機(jī)在6s內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為解(1)

將t=6s

代入(3)

電動機(jī)轉(zhuǎn)動的角加速度為12例2在高速旋轉(zhuǎn)圓柱形轉(zhuǎn)子可繞垂直其橫截面通過中心的軸轉(zhuǎn)動．開始時，它的角速度，經(jīng)300s

后，其轉(zhuǎn)速達(dá)到18000r·min-1

．轉(zhuǎn)子的角加速度與時間成正比．問在這段時間內(nèi)，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過多少轉(zhuǎn)？解令，即，積分得13當(dāng)t=300s

時14由得在300s內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)15P*O:力臂

對轉(zhuǎn)軸z

的力矩

1

力矩

用來描述力對剛體的轉(zhuǎn)動作用．四力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量方向：垂直板面向外，大?。悍较颍捍怪卑迕嫦蚶?，大小：作用力與反作用力對同一點的力矩的矢量和為零。設(shè)：力偶力偶矩大小相等、方向相反、不在同一條直線上的一對力稱為力偶。合力矩：18O討論

（1）若力不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，把力分解為平行和垂直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個分量

其中對轉(zhuǎn)軸的力矩為零，故對轉(zhuǎn)軸的力矩19O（2）合力矩等于各分力矩的矢量和

（3）剛體內(nèi)作用力和反作用力的力矩互相抵消．20

例1

有一大型水壩高110m、長1000m,水深100m，水面與大壩表面垂直，如圖所示.求作用在大壩上的力，以及這個力對通過大壩基點Q且與x軸平行的力矩.QyOxyOhxL21

解設(shè)水深h，壩長L，在壩面上取面積元，作用在此面積元上的力yOhxyQyOxL22令大氣壓為，則代入數(shù)據(jù)，得yOhxyL23QyOyh

對通過點Q的軸的力矩代入數(shù)據(jù)，得：24O2

轉(zhuǎn)動定律

（1）單個質(zhì)點與轉(zhuǎn)軸剛性連接25（2）剛體

質(zhì)量元受外力，內(nèi)力外力矩內(nèi)力矩O26

剛體定軸轉(zhuǎn)動的角加速度與它所受的合外力矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動慣量成反比.轉(zhuǎn)動定律定義轉(zhuǎn)動慣量O27討論（1）（2）（3）

=常量轉(zhuǎn)動定律283

轉(zhuǎn)動慣量J

的意義：轉(zhuǎn)動慣性的量度.

轉(zhuǎn)動慣量的單位：kg·m229

質(zhì)量離散分布

J的計算方法

質(zhì)量連續(xù)分布

：質(zhì)量元

：體積元例題1

求質(zhì)量為m，半徑為R的均勻圓環(huán)的對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量。解：設(shè)線密度為λ；例題2求質(zhì)量為m、半徑為R的均勻薄圓盤對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量。

取半徑為r寬為dr的薄圓環(huán),解：設(shè)面密度為σ。例題3

求長為L、質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒對圖中不同軸的轉(zhuǎn)動慣量。解1）取A點為坐標(biāo)原點。在距A點為x處取dm=λdx。2）取C點為坐標(biāo)原點。在距C點為x

處取dm。32剛體的轉(zhuǎn)動慣量與以下三個因素有關(guān)：（3）與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)．凡提到轉(zhuǎn)動慣量必須指明它是對哪個軸的。（1）與剛體的體密度

有關(guān)．（2）與剛體的幾何形狀(及體密度

的分布)有關(guān)．說明334

平行軸定理

質(zhì)量為

的剛體，如果對其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量為，則對任一與該軸平行，相距為

的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量CO34質(zhì)量為m，長為L的細(xì)棒繞其一端的JP圓盤對P

軸的轉(zhuǎn)動慣量OO1d=L/2O1’O2O2’35竿子長些還是短些較安全？

飛輪的質(zhì)量為什么大都分布于外輪緣？36(2)為瞬時關(guān)系．(3)轉(zhuǎn)動中與平動中地位相同．(1)

,與方向相同．說明

轉(zhuǎn)動定律應(yīng)用37

例2

質(zhì)量為mA的物體A

靜止在光滑水平面上，和一質(zhì)量不計的繩索相連接，繩索跨過一半徑為R、質(zhì)量為mC的圓柱形滑輪C，并系在另一質(zhì)量為mB

的物體B上，B

豎直懸掛．滑輪與繩索間無滑動，且滑輪與軸承間的摩擦力可略去不計．(1)兩物體的線加速度為多少？水平和豎直兩段繩索的張力各為多少？(2)

物體B

從靜止落下距離y時，其速率是多少？38解

(1)

用隔離法分別對各物體作受力分析，取如圖所示坐標(biāo)系．ABCOO39OO40解得：41如令，可得

（2）

B由靜止出發(fā)作勻加速直線運動，下落的速率42穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾動時，細(xì)桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈O轉(zhuǎn)動．試計算細(xì)桿轉(zhuǎn)動到與豎直線成角時的角加速度和角速度．例3一長為l、質(zhì)量為m勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈O相接，并可繞其轉(zhuǎn)動．由于此豎直放置的細(xì)桿處于非m,lOmgθ43

解